Liceo Scientifico “G. Salvemini”

Corso di preparazione per i test di ammissione universitari

MATEMATICA - LEZIONE 1 ALGEBRA

Relatore

Sommario della lezione

 Insiemi numerici e potenze

 Espressioni algebriche

 Scomposizione e frazioni algebriche

 Equazioni e disequazioni

 Valori assoluti e radici

INSIEMI NUMERICI

CLASSIFICAZIONE DEI NUMERI REALI

RETTA REALE

ESISTE ANCHE UNA EQUIVALENZA TRA LA RELAZIONE D’ORDINE STRETTO DEI NUMERI REALI E DEI PUNTI DELLA RETTA

PROPRIETA’ DELLE 4 OPERAZIONI

Numeri primi e numeri composti

• Un numero naturale >1 si dice primo se è divisibile soltanto per se stesso e per 1.

• Un numero naturale >1 che non è primo si dice composto.

• Teorema fondamentale dell’aritmetica:

Ogni numero composto ammette un’unica

rappresentazione come prodotto di fattori

primi, a meno dell’ordine di fattori

M.C.D

• Massimo comune divisore. Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri interi è il più grande numero naturale tra i divisori comuni a tutti i numeri dati.

• Algoritmo per il calcolo del MCD. Per calcolare il massimo comune divisore tra due o più numeri, non eccessivamente grandi, si scompongono in fattori primi i numeri e si moltiplicano i fattori comuni, una sola volta, con il minimo esponente.

• Esempio: MCD(150,120) = 30. Infatti, 150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

; 120

M.C.D

• Algoritmo di Euclide per il calcolo del MCD. Per il calcolare il massimo comune divisore tra due numeri naturali a e b, si controlla se b è zero. Se lo è, il MCD è a.

Se non lo è, si divide a : b. Indicato con r il resto della divisione si ha: se r = 0, il MCD è b, altrimenti si ripete il procedimento con i numeri b ed r.

• Esempio: Per calcolare MCD(150,120) si divide 150:120, si ha quoziente 1, resto 30. Si divide 120:30 si ha quoziente 4 resto 0. Il MCD è 30.

• Numeri coprimi. Due numeri si dicono primi tra di loro o

coprimi se non hanno nessun divisore comune eccetto 1

m.c.m

• Il minimo comune multiplo tra due o più numeri interi è il più piccolo tra i multipli comuni a tutti i numeri dati.

• Algoritmo per il calcolo del mcm. Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri non eccessivamente grandi, si scompongono in fattori primi i numeri e si moltiplicano i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con il massimo esponente.

• Esempio: mcm(18,20) = 180 Infatti, 18 = 2 ⋅ 3

e 20

Proprietà delle potenze

Proprietà delle potenze

0

Una derivata:

Una buona palestra per il calcolo algebrico:

le derivate (e gli integrali!) Calcoliamo la seguente:

Esempio:

Architettura 2008

Esempio:

Odontoiatria 2002

Ricorda che

0

Potenze di 10

Esempio:

Medicina 2003

x = 3 × 10

and y = 5 × 10

where m and n are integers.

Which of the following is an expression, in scientific notation, for xy?

A) 1.5 × 10

B) 1.5 × 10

C) 8 × 10

D) 15 × 10

E) 1.5 × 10

Esempio:

Medicina in Inglese 2016

Somma algebrica di potenze

• Due o più potenze si possono sommare algebricamente solo se sono simili, cioé se hanno la stessa base e lo stesso esponente:

2·3

+ 3·3

= 5·3

• Per sommare algebricamente potenze non simili ma con la stessa base, trasformarle prima in potenze simili:

5·3

- 3·3

= 5·3·3

- 3·3

= 15·3

- 3·3

= 12·3

• Potenze con base diversa non si possono sommare:

17

+ 7

= invariato

Esempio:

Veterinaria 2011

31

30 3

3

3  

Proporzioni Una proporzione è

un’uguaglianza di rapporti.

Esempio di proporzione geometrica

Proporzionalità diretta

• la formula che le lega ha la forma: y = k x

Due variabili y e x sono direttamente

proporzionali se il loro

rapporto è costante:

Proporzionalità inversa

• la formula che le lega ha la forma: y = k / x

• il grafico è una ramo di iperbole equilatera.

Due variabili y e x sono inversamente

proporzionali se il loro prodotto è costante:

xy = k

La percentuale è un rapporto che ha come denominatore 100.

In una classe di 25 persone 20 hanno il telefonino.

Quanti ragazzi in percentuale hanno il telefonino?

Monomi e Polinomi

Con le proprietà delle potenze si svolgono anche le operazioni con monomi e polinomi:

Stesse regole dei numeri

Prodotti notevoli

Potenza del binomio Triangolo di TARTAGLIA

n! = 1·2· … ·n

Esempio

Scomposizione di polinomi

Frazioni algebriche Semplificazione

divisori primi di x⁴- 8x²y²+ y⁴

divisori primi di x⁶-y⁶

Frazioni algebriche Somma algebrica

mcm

E(o)rrori da evitare!

2

3

x ² + y ² = (x + y)(x - y) x ² +2x +4 = (x + y)

Consideriamo un polinomio P(x) di grado > 1

Se P(x) ammette come divisore il binomio (x-a) ..

Es. P(x) = 3x³ + 8x² - 1

.. il valore razionale a appartiene necessariamente alle frazioni formate dai divisori del termine noto e dai divisori del primo

coefficiente. Tale valore detto zero o radice del polinomio, sostituito alla x, annulla il polinomio

Es.  1 -  1/3 P(1) = 3 + 8 – 1=10  0 P(-1) = -3 + 8 – 1 = 4  0 P(1/3) = 1/9 + 8/9 – 1 = 0 RESTI DELLA DIVISIONE TRA P(x) e (x-a)

Regola di Ruffini

Scomponiamo il polinomio con la REGOLA DI RUFFINI

3 8 0 - 1

1/3 3

1 9

3 3

1 0

3x³ + 8x² – 1 = (x - 1/3)(3x² + 9x + 3) =

(3x - 1)(x

+ 3x + 1)

Trinomio irriducibile perché non esistono due numeri relativi la

IDENTITA’ E DISUGUAGLIANZE

Esiste un’identità tra due espressioni algebriche:

A = B

se esse sono riconducibili alla stessa espressione

Una disuguaglianza tra due espressioni ha significato se esiste una relazione d’ordine tra le espressioni:

A < B A  B A > B A  B

Identità e disuguaglianze hanno un valore di verità:

VERO (VERIFICATA)

PROPRIETA’ DI IDENTITA’ E DISUGUAGLIANZE

1) I membri di una IDENTITA’ (DISUGUAGLIANZA) possono essere moltiplicati o divisi per un numero positivo senza cambiare valore

Es. 2x² – 4x + 2 = (<) 0  4x² – 8x + 4 =(<) 0x² – 2x + 1 =(<) 0

2) I membri di una IDENTITA’ possono essere moltiplicati o divisi per un numero negativo senza cambiare valore

Es. 2x² – 4x + 2 = 0  -4x² + 8x - 4 = 0  – x² + 2x - 1 = 0

3) Se si moltiplicano i membri di una DISUGUAGLIANZA per un numero negativo il segno cambia verso (il valore di inverte)

Es. 2x² – 4x + 2 < 0  -4x² + 8x - 4 > 0

4) In una IDENTITA’ (DISUGUAGLIANZA) al primo e al secondo membro si possono sommare o sottrarre gli stessi numeri reali

EQUAZIONI DI 1° GRADO

Applicando le precedenti proprietà risolviamo le equazioni di 1° grado:

ax + b =0 x =

a

 b

Risolvere un’equazione significa trovare uno o più valori reali che verificano l’identità. Verifica:

a + b =0 -b +b = 0 0 = 0 



 

 

a

b

DISEQUAZIONI DI 1° GRADO

ax + b >0 x >

a

 b

Analogo procedimento per





ax + b >0 x <

a

 b

Analogo procedimento per





FORME NON DETERMINATE

I metodi precedenti non si applicano se a = 0 Per le equazioni abbiamo due casi:

0x = 0



0x = b

della disuguaglianza:

0x < 0

0x  0

0x < 3

0x  -1

0x > 5

0x  10

SISTEMI LINEARI (EQU. DI 1° GRADO)

 















0 0

1 1

1

x b y c

a

c by

ax

rette sul piano cartesiano

Il sistema è

determinato se le due rette sono incidenti

(m  m’)

Il sistema è impossibile se le due rette sono

parallele (m = m’)

Il sistema è indeterminato se le due rette sono

coincidenti

Esempio:

Odontoiatria 2007

METODO DI SOSTITUZIONE

Forma canonica

METODO DEL CONFRONTO

Proprietà: una combinazione lineare di identità è ancora una identità vera.

MATRICE DEL SISTEMA LINEARE

Il sistema è determinato se la matrice del sistema è  0

0

1 1

b  a

b a

1

1 b

b a

a 

 















0 0

1 1

1

x b y c

a

c by

ax

METODO DI CRAMER

Ingegneria 2002

Impostiamo un sistema lineare: x = anni di Matteo oggi y = anni di Sara oggi













y x

y x

5 4

) 3 (

2 3











 2y 9 0 x

Il sistema è determinato ma potrebbe avere soluzioni non accettabili (negative). Tuttavia nessuna delle risposte è compatibile con questa

ipotesi, quindi la risposta è sicuramente:

 x  2y 9

Risolviamo comunque il

sistema con uno dei 4 x 15

SISTEMI LINEARI A TRE INCOGNITE

terzo

VALORE ASSOLUTO Sia a  R

Si definisce valore assoluto (o modulo) di a:

0 0





 

a a se

a

se

a a

Si definisce RADICE n-esima di un numero reale a, se esiste, il/i valore/i b:

a b

a

b 





indice radicando

dispari n

R a a

n

  

NON HA SIGNIFICATO

0

a

a

 a

a 

a

OPERAZIONI CON I RADICALI

OPERAZIONI CON I RADICALI

NB - Anche per i radicali, come per potenze e

Esempio:

Farmacia 2013

25 10 5

1000000

64

3 3 6

1 3

1



 



 



 

 

 



 

 

 





Sia n = 2 (o pari)

La semplificazione della radice n-esima è:







 







x

x

x

lim 1

2

x

n

x



Esempio: calcoliamo il seguente limite:

x x x

x x

x x



 

 

 

  

2 2

2

1 1

1 lim lim

1

1     

 

Razionalizzare un DENOMINATORE significa renderlo RAZIONALE

Caso

1

a

a b

a a a

b a

b   

Caso

2 a

a b

a a a

b a

b ^{n n m}

n n m n n m n m

n m





 





5

5 2

5 2

5 2

5 3 25

5 5 5

5 5 5

5   

5 

125 5

Esempio

Architettura 2012

5 10 10

10 10

2 10

2 10

4 4 ,

0     

Esempio

Architettura 2012

5 10 10

10 10

2 10

2 10

4 4 ,

0     

Esempio

Architettura 2007

5 5

) 1 2

(

5  a 

ax² + bx + c = 0

Formula risolutiva

completa:

a

ac b

b a

x b

2

4 2

2





 





 

Formula risolutiva

ridotta:

a b ac b

a b x

 



 



 





 





2

2 4 2

2











0 2 soluzioni reali distinte

ax² + bx = 0 Spuria:

a x b

x b

ax x bx

ax  

 







2 2 1

0 0

) (

Ammette sempre due radici reali di cui una

nulla ( > 0)

ax² + c = 0 Pura:

a x

  c

 























0 0 0

c a c a

c

opposte ( > 0) a

x    c

1 soluzione reale

doppia ( = 0) x  0

nessuna soluzione reale ( < 0)

ax² + bx + c = 0

>0

2 radici reali e distinte x₁ e x₂

a x b

x

s 



 

a x c

x

p 





=0

2 radici reali e coincidenti o una soluzione doppia x₁

ax² + bx + c = a(x – x₁)²

Esempio

Veterinaria 2017

Risolviamo:

Quali sono i due numeri tali che la loro somma è uguale a 17/4 e il loro prodotto è uguale a 1?

A) 3/4; 4/3 B) 6; 1/6 C) 4; 1/4 D) 3/8; 8/3 E) 16/4; 1

2 17 2

1 0 4 17 4 0 4

17 289 64 17 15 1 4

x x x x

x

       

  

   

Scomponiamo con il metodo di Ruffini:

ax

+ c = 0

a x c

a

c _n



















0 0 n pari

n

a x   c

n dispari

ax

+ bx

+ c = 0

t = x

at

+ bt + c = 0

Applicare le formule risolutive delle

Esempio

Medicina 2004

Il metodo più semplice è quello di provare le tre risposte con

gli zeri (radici):

a - 3 + 1 = 0  a = 2 !

Il sistema è di 2° grado.

Il grado di un sistema si calcola moltiplicando i gradi delle equazioni

Esempio

Medicina 2004

Metodo 1

Risolviamo il sistema:

Metodo 2

Tracciamo retta ed ellisse:

-3 3

-2

2 4

-4

 < 0

SEGNO DEL TRINOMIO DI 2° GRADO a > 0

caso radici p(x)>0 p(x)≥0 p(x)<0 p(x)≤0

 > 0

p(x) = ax

+ bx + c

 = 0

R x

     xR R

x

 x R

Sostituendo dei valori alla x p(x) assume un segno

Per studiare tale segno risolviamo

l’equazione associata:

ax

+ bx + c = 0

Segno del trinomio con la parabola

Le tabelle per lo studio del segno del trinomio si possono anche dimostrare utilizzando l’equazione della parabola y = ax² + bx + c

a > 0 – la parabola è rivolta verso l’alto

 > 0

x₁ x₂

 = 0

x₁

+

-

+ + +

 < 0

+

a < 0 – la parabola è rivolta verso il basso

 > 0  = 0

+ - -

 < 0

Esempio

Risolviamo insieme la disequazione:

2x

+ x – 1 > 0

1) Risolviamo prima l’equazione associata:

2x

+ x – 1 = 0

1 2 1 4

3 1

4

9 1

4

8 1

1

 



 



 





  x

2) Applichiamo la tabella del segno del trinomio con a > 0:

caso radici p(x)>0 p(x)≥0 p(x)<0 p(x)≤0

 > 0 ^x₁ ^{, x}₂ ^{x < x}₁ v x > x₂ x ≤ x₁ v x ≥ x₂ x₁ < x < x₂ x₁ ≤ x ≤ x₂

 = 0 ^x₁ ^{x ≠ x}₁ ^{X = X}₁

 < 0 ^- xR

R x



R x



R x



R x

 x R

3) Soluzione:

x < -1 V x > 1/2

Esempio

Risolviamo insieme la disequazione:

- x

– 3 ≤ 0

1) Risolviamo prima l’equazione associata:

x

+ 3 = 0

2) Applichiamo la tabella del segno del trinomio con a > 0:

caso radici p(x)>0 p(x)≥0 p(x)<0 p(x)≤0

 > 0 ^x₁ ^{, x}₂ ^{x < x}₁ v x > x₂ x ≤ x₁ v x ≥ x₂ x₁ < x < x₂ x₁ ≤ x ≤ x₂

 = 0 ^x₁ ^{x ≠ x}₁ ^{X = X}₁

 < 0 ^- xR

R x



R x



R x



R x

 x R

Cambiamo i segni, invertendo il verso della disuguaglianza :

x

+ 3 ≥ 0

x

= -3

Esempio

Risolviamo insieme la disequazione:

x

+ 6x + 9 > 0

1) Risolviamo prima l’equazione associata:

x

+ 6x + 9 = 0





9

6 ²

2  x   x    x    

x

2) Applichiamo la tabella del segno del trinomio con a > 0:

caso radici p(x)>0 p(x)≥0 p(x)<0 p(x)≤0

 > 0 ^x₁ ^{, x}₂ ^{x < x}₁ v x > x₂ x ≤ x₁ v x ≥ x₂ x₁ < x < x₂ x₁ ≤ x ≤ x₂

 = 0 ^x₁ ^{x ≠ x}₁ ^{X = X}₁

 < 0 ^- xR

R x



R x



R x



R x

 xR

3) Soluzione:

x ≠ -3

Esempio

Medicina 2017

Sostituiamo 1 nell’equazione:

L'equazione di secondo grado kx² – 3kx + (k + 1) = 0, con k ≠ 0, ha una soluzione uguale a –1 per:

A) k = –1/5 B) nessun valore di k C) k = –1 D) k = 1 E) k = 3

Disequazioni di grado > 2

Una disequazione P

(x) <> 0 con n > 2 deve essere scomposta in fattori:

P

(x) = A

(x)·B

(x).. <> 0 di grado massimo 2.

Il segno del polinomio P

(x) è il

prodotto dei segni dei suoi fattori.

Esempio

Scomponiamo:

2x

- x

- x < 0 x(2x

- x - 1) < 0

Studiamo i due fattori > 0

0 1 2

0

2   

 x x

x

2 1 1

0









 x x

x

Riportiamo sulla retta reale i segni dei 2 fattori:

R -1/2 0 1

x 2x² - x - 1

+ +

+ +

- -

- -

-

2x³ - x² - x

+ - +

Esempio

Scomponiamo la biquadratica come trinomio caratteristico :

x

- 5x

+ 4  0 (x

– 4)(x

- 1)  0

Studiamo i due fattori  0

0 1

0 4

2 2







 x x

1 1

2 2

















x x

x x

Riportiamo sulla retta reale i segni dei 2 fattori:

















R -2 -1 1

x² - 4 x² - 1

2

-

x⁴ - 5x² + 4

+ + - +

Esempio

(x+1)(x²-x+1)(4 – 3x²)  0

Scomponiamo:

4x

- 3x

+ 4 - 3x

 0

(x³ + 1)(4 – 3x²)  0

Studiamo i tre fattori  0

0 3

4

0 1

0 1

2 2













 x x x

x

3 3 3 2

3 2

1













 x

R x

x

Riportiamo sulla retta reale i segni dei 3 fattori:

-

4x³-3x⁵+4-3x²

+ + -

R -1

x+1 x² - x + 1

3 3 3 2

3

 2

4-3x²

Le soluzioni della disequazione (2 – x)(x + 1)x < 0 sono:

A) –1 < x < 0

B) x < –1 oppure 0 < x < 2 C)–1 < x < 0 oppure x > 2 D) x > 2

E) 0 < x < 1 oppure x > 2

Esempio Architettura 2016

-

P(x)

+ + -

R 0

x 2-x

2

1

x+1

Disequazioni algebriche fratte Per risolvere una disequazione fratta

scomporre eventualmente Numeratore e Denominatore

impostare uno studio dei segni di numeratore e denominatore:

La soluzione, come per quelle di grado superiore, ) 0

( )

( 

x Q

x P

m n

0 )

(

) 0 ( 0 )

(





 x Q

x P

m n

Esempio

Studiamo i due fattori > 0 _{3 2 0}

0 1







 x x

2 3 1





 x x

Riportiamo sulla retta reale i segni dei 2 fattori:

R -1 3/2

N D

+ +

+ + -

+

N/D

- + -

 3







2 0 3

1 



 x x

Esempio

Studiamo N  0 e D > 0 ¹⁶² ₄ ⁹₄ ⁰₀

2









 x x

x

2 4 3 4

3









 x

x x

Riportiamo sulla retta reale i segni di N e D:

4 0 4

9 16

2

2 





 x x

x

R -3/4 3/4 2

N D

N/D

+ - + +

Esempio

Studiamo N₁ e N₂  0 e D₁ e D₂ > 0

0 1

0 1

0 4

0 1 2

2 2 2

















x x x

x

Riportiamo ^sulla retta reale i segni di N₁, N₂, D₁ e D₂: 1 0

4 8

2

4 







 x

x x

x 0

) 1 )(

1 (

) 4 )(

1 2

(

2

2 









x x

x x

1 1

2 2

2 1























x x

R x

x x

x

R -2 1/2 1

N₂ D₁

-1 -2

D₂ N₁

N/D

- + - + - +

Esempio dai test di ammissione

3 0

6 2

7

2 







 x

x x

Architettura 2007

3 0 13 



x x30

La disequazione (x + 3)/(1 – 2x) > 0 è soddisfatta per:

A) x > –3

B) x < –1/2 o x > 3 C) –1/2 < x < 3

D) x < –3 o x > 1/2 E) –3 < x < 1/2

Esempio dai test di ammissione

Architettura 2017

Esempio dai test di ammissione

Architettura 2006

Sistemi di disequazioni

La soluzione è data dall’intersezione delle soluzioni del sistema:











...

0 )

(

0 )

( x B

x A

Esempio

Risolviamo le due disequazioni: 











0 2

1 x x

Riportiamo sulla retta reale le due soluzioni:















0 2

0 1

2 x

x x

R -2 -1 0

1 2

Esempio Risolviamo le tre disequazioni:

 

 























2 0

3 3

1 1

x x

x x x

Riportiamo sulla retta reale le tre soluzioni:















 

 















0 2

0 9

0 1

2 2 2

x x

x x

R -3 0 3

1 2

-1 1 2

3

Esempio

Verificato che la prima disequazione è impossibile …

 

 

















0 2

0 3

4

0 1

3 2

2 4

2

x x

x x

x

tutto il sistema è impossibile!

In generale se le soluzioni delle disequazioni di un sistema

Esempio Risolviamo separatamente le due disequazioni:

Riportiamo sulla retta reale le due soluzioni:



 



 

 

 1 0

7 2

0 3

3

x x

x

x

x

( x  3 )  0

Soluzione: x 3 x  0 0

3

2 0





 x

x

R 0 3

x² x-3

2 1 0

0 7 2







 x

x _R ^{-1 7/2}

D N

Soluzione:

2 1  7

 x

R -1 0 3

1 2

7/2

Equazioni e disequazioni irrazionali

n A ) ( x

è sempre ≥ 0 n pari

n A ) ( x

assume il segno di A(x) n dispari

 

In questi casi equazioni e disequazioni si risolvono senza imporre alcuna

Condizione di Esistenza alla RADICE

Equazioni e disequazioni irrazionali

E s e m p

i

Siano: n – un numero positivo A(x) e B(x) – polinomi in x Nei seguenti metodi, implicitamente o esplicitamente,

abbiamo la Condizione di Esistenza: A(x)  0







 )

( x n

A A ( x )   n  A ( x )  0 A ) ( x   n  

0 1

2  x   2  x   1 

3 1  



x x  1  0 x   1

2

2

 1  

x 

Equazioni e disequazioni irrazionali

)

( )

( x n A x n

A    A ( x )  n  A ( x )  n







 

 ₂

) (

0 )

) (

( A x n

x n A

x A

E s e m p

2 1 



x x  1  4 x  5

1 3

2  x  2  3 x  1 ₃

 1 x



   x

 1  0

Equazioni e disequazioni irrazionali

 

 













) ( )

(

0 )

(

0 )

( )

( )

(

2

x B

x A

x B

x A x

B x

A

Esempio:

1  x  x  1

 

 



















1 2

1

0 1

0 1

2

x

x x

x x

 0 x



























3 0

0 3

1 1

2 x x x

x

x x

Equazioni e disequazioni irrazionali

 

 













) ( )

(

0 )

(

0 )

( )

( )

(

2

x B

x A

x B

x A x

B x

A

Esempio:

x

x

x

 2 



 





 

 

3 3

2 0 2 0

x x x x



 







 

2 0 2 0

3

x x x

 

 













0 0

2

0

x x

x

x

Unione di disequazioni

La soluzione è data dall’unione delle soluzioni:

 ^{A ( x )  0}   ^{ B ( x )  0} 

NB – Nei metodi risolutivi delle disequazioni algebriche le soluzioni da unire sono disgiunte!

(Hanno intersezione nulla!)

Equazioni e disequazioni irrazionali

 



 





 



 

 ( ) ( )

0 )

( 0

) (

0 )

) ( ( )

(

x B

x A

x B x

A x x B

B x

A

Esempio:

x  4  2  x

 



 













 









x x

x

x x

x

4 4

4

0 2

0 4

0 2

2

  

 







 







5 0

2 4

2

x x x

x

Equazioni e disequazioni irrazionali

 

 













) ( )

(

0 )

(

0 )

( )

( )

(

x B x

A

x B

x A x

B x

A

Disequazioni più complesse vanno ricondotte ai casi

precedenti

Equazioni e disequazioni con modulo

Per i metodi successivi siano:

n – un numero positivo

 







 

0 0 N se

N

N se

N N

è sempre ≥ 0

) (x A

Ripetiamo la

definizione di modulo (valore assoluto)

Equazioni e disequazioni con modulo

E s e m p

i







 n x

A ) (

R x

n x

A ( )     







 n x

A ) (

1 2  x

 

1 5

2 x   

1

2

 2 x   x

Impossibile

Sempre verificata

Impossibile