Liceo Scientifico “G. Salvemini”

Corso di preparazione per i test di ammissione universitari

MATEMATICA - LEZIONE 3 GEOMETRIA ANALITICA

Relatore

prof. re CATELLO INGENITO

Sommario della lezione

 Piano cartesiano e retta

 Sezioni coniche

 Coniche sul piano cartesiano

PIANO CARTESIANO

A (x₁ ; y₁)

A

B

B (x₂ ; y₂) Lunghezza del segmento AB



 



AB    

Punto medio M del

segmento AB 



 



  

; 2 2

2 1

2

1 x y y

M x

M

Se i segmenti sono paralleli agli assi meglio usare le formule:

A’ B’

1

' 2

'B x x

A  

A’’

B’’

1

'' 2

''B y y

A  

Siano A e B 2 punti del piano:

Esempio

Medicina Odontoiatria 2012

(13,12)

(0,1)

(0,0)

Il triangolo ha base = 1 e altezza = 13 ..

Esempio

Veterinaria 2004

L’ordinata è sicuramente positiva, quindi ..

Equazione della retta

Forma implicita: ax + by + c = 0

Forma esplicita:

b m   a

y = mx + q

Coefficiente angolare

b

q   c Intercetta

x = k x = 0

y = k

y = 0

ax + by = 0 y = mx

x - y = 0 y = x x + y = 0

y = -x

A(x₁;y₁)

B(x₂;y₂)

COEFFICIENTE ANGOLARE

E’ la tangente dell’angolo che la retta forma col semiasse positivo delle x

ax + by + c = 0

Come si calcola:

b m   a

y = mx + q Coefficiente della x nella forma esplicita

Nella forma implicita Conoscendo le

coordinate di due punti della

retta: ^{2 1}

1 2

x x

y m y



 

 0

m m  0 ^{m  } m 0

Esempio

Veterinaria 2017

2 1

2 1

2 2 2

1 5 3

y y m x x

  

   

 

PARALLELISMO E PERPENDICOLARITA’

Siano date due rette r: ax + by + c = 0 e s: a’x + b’y + c’ = 0

m = m’

Siano r e s parallele

Condizione di parallelismo:

' ' b a b

a 

m·m’=-1

Siano r e s perpendicolari

Condizione di perpendicolarità:

aa’+bb’=0

SISTEMI LINEARI

 















0 0

1 1

1

x b y c

a

c by

ax

rette sul piano cartesiano

Il sistema è

determinato se le due rette sono incidenti

(m  m’)

1 1

b a b

a  



1

1 b

b a

a 

Il sistema è impossibile se le due rette sono

parallele (m = m’)

1 1

b a b

a  



1 1

1 c

c b

b a

a  

Il sistema è indeterminato se le due rette sono

coincidenti

1 1

1 c

c b

b a

a  

Retta per 2 punti - Fasci

A

B Retta passante per due punti

1 2

1 1

2

1

x x

x x

y y

y y



 





A

A (x₁ ; y₁) B (x₂ ; y₂)

Fasci di rette proprio

y – y₀ = m(x - x₀)

improprio

 0



by k ax

y = mx +k

Esempio Ingegneria 2005

(0 ; 0) 

 (2 ; 2)

Punto medio: M (1 ; 1)

m_asse = -1

Equazione dell’asse:

y – 1 = -1(x – 1)

Distanza punto - retta

Siano assegnati una retta r di equazione ax + by + c = 0 ed un punto A(x₀ ; y₀)

La distanza del punto A dalla retta r è:

2

) 2

; (

b a

c by

r ax A

d ^{o o}





 

A

ESEMPIO

0 2 1 2

1

2    



 y  x y x

Retta AB

5 5 2 5

2 4

1

2  





Distanza OH Metodo 1 – Geometria Analitica

H

5 4

1 

Ipotenusa AB

5 5 2 5

2 

 

 AB OA OB

Altezza relativa all’ipotenusa OH Metodo 2 – Geometria Piana

Architettura 2012

Esempio

Ingegneria 2005

(-4;2)

x = 2



Esempio

Ingegneria 2005

Esempio

Medicina 2016

LE SEZIONI CONICHE

Sono le sezioni formate da piani che intersecano un CONO CIRCOLARE RETTO:

CIRCONFERENZA

ELLISSE

PARABOLA

IPERBOLE

CIRCONFERENZA

C(;)

r

P(x;y)

E’ il luogo dei punti P(x;y) equidistanti dal centro C(;)

Equazione:

(x - )² + (y - )² = r² x² + y² + ax + by + c = 0 Formule inverse:



 



 

; 2 2

b

C a a b c

c

r  



 



 



 



 







2 2

2 2

2

 2



 0 Condizione di realtà

ESEMPIO Medicina 2017

CIRCONFERENZA E RETTA

C(;)

Una retta del piano rispetto ad una circonferenza può essere:

SECANTE Condizione:

d < r -  > 0





















0 0

2

2 y ax by c

x

c by

ax

TANGENTE Condizione:

d = r -  = 0

ESTERNA Condizione:

d > r -  < 0

Esempio Scienze 2012

Le

coordinate di P sono:

2 2 2  PH 

H O

OP = 2

) 2

; ( 2

P

2

2 (0 2)

) 2 2

(   



PQ  4  2  4 2  2  8  4 2

ESEMPIO Veterinaria 2006

Sostituiamo le coordinate del punto

alle incognite:

1 + 1/4 + 2 - 3 > 0, quindi il punto è

esterno.

ESEMPIO Veterinaria 2016

PARABOLA

Equazione della PARABOLA con ASSE parallelo all’asse y:

y= ax

+ bx + c

Formule inverse: 



 



   a a

V b

; 4 2

E’ il luogo dei punti P(x;y) equidistanti da un punto (Fuoco)

e una retta (direttrice)



 



  

 a a F b

4

;1

2 ^a

x b

a :   2

y a

d 4

:  1 

a > 0 – concavità verso l’alto a < 0 – concavità verso il basso

F d

P(x;y)

a

V

PARABOLA

Equazione della PARABOLA con ASSE parallelo all’asse x:

x= ay

+ by + c

Formule inverse: 



 



  

a b V a

; 2 4



 



    a b F a

; 2 4

1

a y b

a :   2

x a

d 4

: 1 



a > 0 – concavità verso destra a < 0 – concavità verso sinistra

Esempio

Medicina 2003

F d

Il vertice della parabola è ..

V (0 ; -1)

Esempio

Odontoiatria 2006

Tracciamo la parabola che ha

vertice V( 2 ; -1) ed è rivolta verso l’alto L’asse di simmetria della parabola è

x = 2

V (2 ; -1)

Esempio

Architettura 2016

Tracciamo la parabola che ha vertice V( 0 ; 4) ed è rivolta verso l’alto

V (0 ; 4)

ESEMPIO Veterinaria 2011

ELLISSE

E’ il luogo dei punti P(x;y) la cui somma delle distanze da due punti

(Fuochi) è costante

Equazione:

PF₁+ PF₂ = k

Vertici:

2

1

2 2

2

 

b y a

x

A₁

F₁

P(x;y)

A₂ B₁

B₂

F₂

A₁(-a ; 0) A₂(a ; 0) B₁(0 ; b) B₂(0 ; -b)

Fuochi:

a > b

F₁(-c ; 0) F₂(c ; 0) c² = a² - b²

Eccentricità

c a

e  0 < e < 1

ELLISSE con i fuochi sull’asse y

Equazione:

Vertici:

2

1

2 2

2

 

b y a

A₁ A₂

x

B₁

B₂

A₁(-a ; 0) A₂(a ; 0) B₁(0 ; b) B₂(0 ; -b)

Fuochi:

a < b

F₁(0 ; -c) F₂(0 ; c) c² = b² - a²

Eccentricità e  cb

LEGGI DI KEPLERO

1) I PIANETI SI MUOVONO SU ORBITE ELLITTICHE DI CUI IL SOLE OCCUPA

UNO DEI DUE FUOCHI

2) IL RAGGIO VETTORE SPAZZA AREE UGUALI IN TEMPI UGUALI

3) I QUADRATI DEI PERIODI DI RIVOLUZIONE SONO PROPORZIONALI

AI CUBI DEI SEMIASSI MAGGIORI

a k

T



Sono una conseguenza della LEGGE DI ATTRAZIONE

GRAVITAZIONALE

IPERBOLE

E’ il luogo dei punti P(x;y) la cui differenza delle distanze da due

punti (Fuochi) è costante

Equazione:

|PF₁- PF₂ |= k

Vertici:

2

1

2 2

2

 

b y a

x

A₁(-a ; 0) A₂(a ; 0)

Fuochi: F₁(-c ; 0) F₂(c ; 0)

c² = a² + b² Eccentricità

c a

e  e > 1

Asintoti: x

a y   b

P(x;y)

A₁ F₁

A₂

F₂

IPERBOLE con i fuochi sull’asse y

Equazione:

Vertici:

2

1

2 2

2

  

b y a

x

A₁(0 ; a) A₂(0 ; a)

Fuochi: F₁(0 ; -c) F₂(0 ; c)

c² = a² + b²

Eccentricità

cb

e  e > 1

Asintoti:

a x y   b

ALTRE EQUAZIONI DELL'IPERBOLE

Iperbole equilatera

2 2

2

y a

x   

Asintoti: y  x

Iperbole equilatera

riferita agli asintoti Funzione omografica

d cx

b y ax



 

k

xy 

Corso di preparazione per i test di ammissione universitari

Fine lezione

Grazie per l’attenzione !