Liceo Scientifico “G. Salvemini”

Corso di preparazione per i test di ammissione universitari

MATEMATICA - LEZIONE 2 Geometria

Relatore

Sommario della lezione

 Poligoni

 Circonferenza e cerchio

 Similitudini

 Triangoli rettangoli

 Isometrie ed equivalenze

 Solidi

TRIANGOLI

Criteri di congruenza

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti:

2 lati e 1 angolo compreso 1 lato e 2 angoli

3 lati

L’angolo esterno ..

SUPPLEMENTARE dell’ANGOLO ADIACENTE ..

è uguale alla SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI non ADIACENTI

TRIANGOLI ISOSCELE ED EQUILATERO

Ha due lati uguali

Ha gli angoli alla base uguali

Ha tre lati uguali

Ha tre angoli di 60°

Esempio dai test di ammissione

Medicina - Odontoiatria 2014

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

C

G

I

O

Punto di’intersezione delle ALTEZZE = ORTOCENTRO O Punto di’intersezione delle BISETTRICI = INCENTRO I

(centro della CIRCONFERENZA INSCRITTA)

Punto di’intersezione delle MEDIANE = BARICENTRO G Punto di’intersezione

degli

ASSI = CIRCOCENTRO C

(centro della CIRCONFERENZA

CIRCOSCRITTA)

Retta di Eulero

Angoli interni di un poligono

Dato un poligono di n lati ..

la somma degli angoli interni è:

(n - 2) · 180°

Triangolo = 180° Quadrangolo = 360°

Ogni lato

aggiunge 180°

POLIGONI REGOLARI

Hanno n lati e n angoli uguali Angolo =

n

n  2 )  180  (

TRIANGOLO EQUILATERO

 = 60°

QUADRATO

 = 90°

PENTAGONO REGOLARE

 = 104°

ESAGONO REGOLARE

 = 120°

Esempio dai test di ammissione

Veterinaria 2012

A D

F E

60°

CIRCONFERENZA E CERCHIO

La CIRCONFERENZA è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto centro. Il CERCHIO è la figura piana compresa.

C r

L’asse di una corda passa per il centro

L’asse di un segmento è anche il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento

PROPRIETA’

Raggio e retta tangente in un punto sono perpendicolari

L’angolo alla circonferenza che insiste su una corda (arco) è la metà dell’angolo al

centro corrispondente



2

Misura della circonferenza =

2  r

CIRCONFERENZA E POLIGONI

Il triangolo inscritto in una SEMICIRCONFERENZA è rettangolo.

Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se ha gli angoli opposti

supplementari (somma = 180°).



180°-

 180°-

Un quadrilatero è circoscrivibile ad

una circonferenza se ha la somma dei

lati opposti uguali.

MISURA DEGLI ANGOLI

Gli angoli si possono misurare in .. GRADI

Un ANGOLO GRADO ° è la 360-esima parte di un angolo GIRO

Si divide in 60 ANGOLI PRIMI ‘^.

Ogni ANGOLO PRIMO si divide in 60 ANGOLI SECONDI ‘’

RADIANTI

A B



La misura in radianti di un angolo al centro  che insiste su un arco AB di

una circonferenza di raggio r è: r

 AB



Un angolo di 1 radiante insiste su un arco di lunghezza = raggio !

Conversione gradi – radianti e viceversa:







:

 180  :

_g  180^^r



 

180

g r



 

AREA DI FIGURE PIANE

2 h A  b 

TRIANGOLO

RETTANGOLO

h b A  

PARALLELOGRAMMO

TRAPEZIO

) ( B b h A   

CERCHIO

r

A ^ 

SEGMENTO CIRCOLARE DI AMPIEZZA  (RADIANTI)

r

A _ 

2

2 1

d A d 



ROMBO

Esempio dai test di ammissione

Veterinaria 2015

5 2 20

16

4   

 L

5 8 5

2

4  



P

Esempio dai test di ammissione

Ingegneria 2005

Esempio Medicina 2003

2 ) 2 (

2 )

2 ( a x b a x b b

a 

 



 2 a  2 x  a

2 x  a

NB – Non conviene calcolare l’area del parallelogrammo con il prodotto di base e altezza !

Meglio fare la differenza tra l’area del rettangolo e le aree dei due

triangoli:

POLIGONI SIMILI

Due poligoni sono simili se hanno i lati corrispondenti proporzionali

Criteri di similitudine dei triangoli Due triangoli sono simili se hanno:

2 coppie di lati proporzionali e 1 angolo congruente

3 angoli congruenti

TEOREMA DELLA BISETTRICE

AC : CD = AB : BD

La bisettrice di un TRIANGOLO divide il LATO OPPOSTO in SEGMENTI PROPORZIONALI AGLI ALTRI DUE LATI.

A

B

C D

TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

AB

+ AC

= BC

A

B C

H

AH = Altezza relativa all’ipotenusa

BC AC AH  AB 

TEOREMA DI PITAGORA

I triangoli ABC, ABH e CAH sono SIMILI

I° TEOREMA DI EUCLIDE AB

= BH · ^{BC AC}

^{= CH} · ^BC

II° TEOREMA DI EUCLIDE AH

= BH · HC

TERNE PITAGORICHE

X

Z

Y

TERNE INTERE PRIMITIVE

X Y Z

3 4 5

5 12 13

7 24 25

8 15 17

X

+ Y

= Z

TERNE INTERE DERIVATE

nX nY nZ

Esempio dai test di ammissione

Veterinaria 2012

Esempio dai test di ammissione

Medicina 2017

A

B C

H

6 12

Applichiamo il 2° T. Euclide:

6 12 72 6 2 AH     cm

AREA =

6 2 18

2 2 54 2 AH BC

    cm

APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA

2 l

d 

ALTEZZA DEL TRIANGOLO EQUILATERO DIAGONALE DI UN QUADRATO

d l

h l

3

2

h  l 3

3

l  2h

Esempio dai test di ammissione

Veterinaria 2017

Il triangolo ha come ipotenusa il diametro della circonferenza ed è la metà di un triangolo equilatero:

4 BC  cm

Quindi

4 3 4

2 2 8 3

AC BC

    cm

4 3 AC  cm

Area =

Esempio dai test di ammissione

Architettura 2010

Detto 2L il lato del quadrato tale rapporto è:

2 2 )

2

(

 



 L  L



Esempio dai test di ammissione

Medicina 2007

2r 2r

r

Esempio dai test di ammissione

Architettura 2015

ISOMETRIE

Sono trasformazioni geometriche che conservano le distanze tra i punti ( e quindi anche AREA, FORMA, ECC.):

ROTAZIONE TRASLAZIONE

SIMMETRIA ASSIALE SIMMETRIA PUNTUALE

EQUIVALENZA DI FIGURE PIANE

Due figure sono EQUIVALENTI se hanno la stessa AREA

Esempi di figure EQUIVALENTI:

VOLUMI E SUPERFICI DI SOLIDI

l

V 

CUBO di lato l

abc V 

PARALLELEPIPEDO di dim. a,b,c

CILINDRO di raggio di base r

e altezza h

h r V  

rh S

 2 

SFERA diraggio r

3

3 4 r V  

4 r2

S 



CONO

h r

V ²

3 1



ra S_L 



PIRAMIDE

h A V _base

3

 1

a P

S_L  _base

SOLIDI PLATONICI E FORMULA DI EULERO

I SOLIDI PLATONICI HANNO LE FACCE FORMATE DA POLIGONI REGOLARI UGUALI TRA LORO

SONO SOLO 5

FORMULA DI EULERO (VALIDA PER TUTTI I POLIEDRI)

FACCE + VERTICI – SPIGOLI = 2

Esempio dai test di ammissione

Cisia - Scienze

Esempio dai test di ammissione

Veterinaria 2005

TEST IN AULA

30 min

Siano dati due triangoli rettangoli simili. Se il primo ha cateti di lunghezza 3 e 4 cm, e il secondo ha area pari al quadruplo dell'area del primo, qual è la lunghezza dell'ipotenusa del secondo triangolo?

A) 10 cm B) 16 cm C) 12 cm D) 20 cm E) 5 cm

QUESITO 1 Medicina 2016

Dalla relazione A' = 4A si ricava che il fattore di similitudine è 2. Avendo il primo triangolo ipotenusa = 5 cm il secondo avrà ipotenusa = 10 cm.

Lanciando contemporaneamente due dadi non truccati, che probabilità vi è di ottenere "nove"?

A) 1/8 B) 1/6 C) 1/4 D) 1/9 E) 1/12

QUESITO 2 Medicina 2016

Casi favorevoli = 4 (5-4)(4-5)(6-3)(3-6) Casi possibili = 36. P = 4/36 = 1/9

Un gruppo è costituito da 20 maschi con età media pari a 25 anni e da 10 femmine con età media pari a 37 anni. Qual è l’età media dell’intero

gruppo?

A) 27 anni B) 31 anni C) 29 anni D) 30 anni E) 28 anni

QUESITO 3 Veterinaria 2016

Si consideri il gruppo costituito da 20 maschi con età media pari a 25 anni: dal momento che la media aritmetica di 20 numeri (ossia le età dei 20 maschi) si ottiene sommando i numeri e dividendo tale somma per 20, si ricava che la somma delle età dei 20 maschi è 25 x 20 = 500 . Ragionando allo stesso modo sul gruppo delle 10 femmine con età media pari a 37 anni, la somma delle età delle 10 femmine è 37 x 10

= 370 . Sommando 500 e 370 si ricava che la somma delle età delle 30 persone che costituiscono l’intero gruppo è 500 + 370 = 870.

Infine 30 numeri con somma 870 hanno media aritmetica pari a 870/30 = 87/3 = 29.

A rightangled triangle has an area of 18 cm². One of the two shorter sides is twice the length of the other one.

What is the length of the hypotenuse of the triangle?

QUESITO 4 Medicina in Inglese 2016

x 2x

2 3

18

2

 18   

 x x

A

    ^{3 2}

^{ 6 2}

^{ 18  72  90  3 10}

Ip 

QUESITO 5

f(2) = 2

In un negozio di abbigliamento Valeria acquista in saldo una gonna che reca come prezzo di listino 40 euro. Se lo sconto applicato è del 30% e se Valeria paga al negoziante con una banconota da 50 euro, quanto riceverà di resto?

A) 10 euro B) 15 euro C) 20 euro D) 22 euro E) 28 euro

QUESITO 6 Architettura 2016

28 40

3 , 0

40   

Valeria paga:

In una circonferenza di raggio unitario si vuole inscrivere un triangolo avente un lato uguale al diametro. Si dica quali fra le seguenti possono essere le lunghezze a e b degli altri due lati del triangolo.

QUESITO 7 Simulazione CISIA Economia 2010

Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo.

Quindi le misure due lati formano una terna pitagorica con 2.

Cioè a

+ b

= 4

10^-3 + 10^-5

A) < 10^-3 B) = 10^-8 C) > 10^-3 D) = 2∙10^-3 E) nessuna delle altre risposte è esatta

QUESITO 8 Farmacia

Sia b un numero diverso da 0. Se a è il triplo di b e c è la metà di b, qual è il rapporto tra 3c e 2a?

A) 1/6 B) 2/3 C) 3/2 D) 1/4 E) 1/2

QUESITO 9 CISIA

QUESITO 10 CISIA

a x

a a

x

    

QUESITO 11 CISIA

In un gruppo di 100 persone 51 parlano inglese, 36 francese, delle quali 12 sia inglese che francese. Quante di loro non parlano né inglese né francese?

A) 15 B) 13 C) 49 D) 25 E) 29

QUESITO 12 CISIA

QUESITO 13 CISIA

Un accogliente cartello all'ingresso del ristorante L'Oca Giuliva recita:

- Se si è in pochi, si mangia bene - Se si è in tanti, si spende poco

Il Signor Aquilotto, con la sua mente acuta, ne deduce logicamente che:

A) se si è in tanti, si mangia male B) per spendere poco bisogna essere in tanti C) se si è in pochi, si spende tanto D) per mangiar bene è necessario andarci in pochi E) se si mangia male non si è in pochi

QUESITO 14 CISIA

(Si è in pochi) → (Si mangia bene) Modus Tollens:

(Non si mangia bene) → (Non si è in pochi)

Il diagramma seguente mostra la frequenza del numero di componenti di un certo numero di famiglie. Se si sceglie una famiglia a caso tra queste, qual è la probabilità che sia composta da almeno 3 componenti?

A. Circa 65%

B. Circa 75%

C. Circa 85%

D. Circa 95%

E. I dati sono insufficienti

QUESITO 15 Bocconi

Sapendo che le diagonali di un trapezio ABCD si intersecano nel punto O formando i segmenti OB = 12 cm, OC = 2 cm e OD = 4 cm, il segmento OA misura:

A) 8 cm B) 6 cm C) 10 cm D) 14 cm E) 24 cm

QUESITO 16 Architettura 2017

x

Tracciamo l’altezza del trapezio:

h

h

Valgono i rapporti:

1 2 1

2

2

h h h x

x   h 

2

12 3

12 4 4

h h h

  h   3 6

2

x    x

Corso di preparazione per i test di ammissione universitari

Fine lezione

Grazie per l’attenzione !