Liceo Scientifico “G. Salvemini”

MATEMATICA - LEZIONE 5

Goniometria – Equazioni e disequazioni trigonometriche Relatore

prof. re CATELLO INGENITO

Sommario della lezione

 Angoli goniometrici

 Funzioni goniometriche

 Equazioni e disequazioni

trigonometriche

Gli angoli si possono misurare in .. GRADI

Un ANGOLO GRADO ° è la 360-esima parte di un angolo GIRO

Si divide in 60 ANGOLI PRIMI

‘

^.

Ogni ANGOLO PRIMO si divide in 60 ANGOLI SECONDI

‘’

RADIANTI

A B



La misura in radianti di un angolo al centro  che insiste su un arco AB di

una circonferenza di raggio r è: r

 AB



Un angolo di 1 radiante insiste su un arco di lunghezza = raggio !

Conversione gradi – radianti e viceversa:







_g

:

_r

 180  : ^



_g

 180 ^{ } 

^r



 

180

g r



 

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

2 1

2  y 

EQUAZIONE x

Intersezioni con gli assi cartesiani: VERTICI

Un angolo goniometrico

 ha il primo lato

coincidente con OA ed il secondo lato con un

raggio OP

O

(1 ; 0) (-1 ; 0)

(0 ; -1) (0 ; 1)

A P



La misura in radianti di

 è equivalente alla misura dell’arco AP

 AP



Verso positivo = antiorario +

-

Ad ogni punto P si associano  angoli che differiscono per multipli

di 2  (2k  )

 + 2k

) 90 2 ( 



) 270 2 (

3  

) 0 ( 0 

) 360 (

2   )

180 ( 



) 120 3 (

2  

) 300 3 (

5  

) 60 3 ( 



) 240 3 (

4  

Vertici

) 150 6 (

5  

) 330 6 (

11  

) 30 6 ( 



) 210 6 (

7  

) 135 4 (

3  

) 315 4 (

7   ) 45 4 ( 



) 225 4 (

5  

Angolo di 30° e associati

Angolo di 45° e associati

Angolo

di 60° e

associati

ANGOLI ELEMENTARI NEGATIVI

) 270 2 (

3  

 

) 90 2 (  

 

) 360 (

2  

 

) 180 (  

 

) 240 3 (

4  

 

) 60 3 (  

 

) 300 3 (

5  

 

) 120 3 (

2  

 

Vertici

) 210 6 (

7  

 

) 30 6 (  

 

) 330 6 (

11  

 

) 150 6 (

5  

 

) 225 4 (

5  

 

) 45 4 (  

 

) 315 4 (

7  

 

) 135 4 (

3  





Associati di 30°

Associati di 45°

Associati

di 60°

O A P



Consideriamo un angolo goniometrico 

L’ascissa e l’ordinata di P sono il cos  ^{ed il sen} 

P(cos  ; sen  )

I valori di sen  ^{ed di cos}   ^{[-1 , 1]}

Prolunghiamo OP fino ad intersecare le rette x = 1 e y = 1

nei punti T ed S

T

S

L’ordinata di T è la tg 

T(1 ; tg  )

L’ascissa di S è la cotg 

S(cotg  ; 1 )

Esempio

Odontoiatria 2007

50°

20°

Veterinaria 2012

Il confronto è solo tra gli angoli di 20° e 50°

Ma l’angolo di 20° è più vicino a 0° di quanto non lo sia 50° a 90° ..

RELAZIONI FONDAMENTALI

sen ²  ^{+ cos 2}  ^{= 1}





 

cos cot

1 sen

tg  g 





 

sen g tg 1 cos

cot  

 

cos sec  1

 

ec sen 1

cos 

Prof Sanitarie

ANGOLI ASSOCIATI

 _  2



  2 3

 _  2



  2 3



 









 2





 

Complementare di



Supplementare di



Opposto di



Esplemetare di



I valori goniometrici degli angoli associati ad



si deducono da quelli di



Vediamo qualche esempio



 



 



 



 

tg g

g tg

sen sen





 



 

 



 



 

 



 



 

 



 



 

cot 2 2 cot cos 2

2 cos

 

 

 



 























g g

tg tg

sen sen

cot cot

cos cos























 

 

 



 























g g

tg tg

sen sen

cot cot

cos cos





















 

 

 

    

























g g

g

tg tg

tg

sen sen

sen

cot )

( cot 2

cot

) ( 2

cos )

cos(

2 cos

) ( 2







































 senx  sen x sen x x

sen

²

(  )  

²



²

 

²

Il quesito chiede di individuare, tra quelle

proposte, la funzione dispari.

Ricordando le relazioni degli angoli opposti verifichiamo le

risposte

x

 ^x  ^{x x} -x

x

^{3 3 2}

3

( ) cos cos cos

cos     

 

²

 

²

2

) )

(( x sen x sen x

sen    

  ^cos   ^{cos( )}

cos )

)

cos((  x

³

  x

³

 x

³

  x

³

x

sen senx

x

sen

³

(  )  (  )

³

 

³

Esempio

Simulazione CISIA Ingegneria

Gli angoli 40° e 140°

sono supplementari

140° 40°

.. quindi hanno i coseni opposti

) 20 cos(

) 20 90

( )

70

(   sen      sen



 

 



 20

20 cos

20 70

20 sen tg

sen

sen

VALORI GONIOMETRICI DEGLI ANGOLI ELEMENTARI

) 90 2 ( 



) 270 2 (

3 

) 0 ( 0 

) 360 ( 2  )

180 ( 



) 120 3 (

2 

) 300 3 (

5



 ) 60 3 ( 



) 240 3 (

4  )

150 6 (

5 

) 330 6 (

11



 ) 30 6 ( 



) 210 6 (

7 

) 135 4 (

3 

) 315 4 (

7



 ) 45 4 ( 



) 225 4 (

5 

 cos  sen ^{tg cot}

0° 1 0 0 

30°

45° 1 1

60°

90° 0 1  0 180° -1 0 0  270° 0 -1  0 360° 1 0 0 

2 1 2

3

3

3 3

2 2

2 2

2 1

2 3

3 3 3

I valori degli altri angoli elementari si ricavano con le

regole degli angoli associati.

Esempi:

2 1 3

cos 2   



²¹⁰



 ³ tg

2 2 4

5  



 



  sen



⁶⁰



  ³ sen

y= senx R  [-1;1]

y= cosx R  [-1;1]

y= arcsenx y= sen

^-1

x

 ^  ^ _ ^ _ ^

; 2 1 2

;

1  

y= arccosx y= cos

^-1

x

 ^{ 1 ; 1}    ^{ 0 ; }

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

y= tgx ^{R k  R}

 



 

 

  

2

y= cotgx ^{R }   ^{k   R}

y= arctgx

y= tg

^-1

x ^{ }

 

  

 ; 2

2

 R 

y= arccotgx

y= cotg

^-1

x R   0 ;  

Quale fra le seguenti affermazioni è corretta?

A) cos(arccos(x)) = x

B) sen(arcsen(x)) = sen(x) C) cos(arcsen(x)) = sen(x) D) cos(arccos(x)) = cos(x) E) cos(arcsen(x)) = x

Prof Sanitarie 2011

Ricorda che è sempre vero che:

f(f

^-1

(x)) = x

FORMULE GONIOMETRICHE

Formule di ADDIZIONE E SOTTRAZIONE











 sen sen

sen (  )  cos  cos











 sen sen

sen (  )  cos  cos











  )  cos cos  sen sen cos(











  )  cos cos  sen sen cos(







 

 tg tg

tg tg tg



 

 ) 1

 (





 

 tg tg

tg tg tg



 

 ) 1 (

Formule di DUPLICAZIONE





 2 cos

2 sen

sen 





 cos

^{2 2}

2

cos   sen



 

₂

1 2 2

tg tg tg

 



 

1 cos

2

²



 

 2

2

1  sen



Formule di BISEZIONE

2 cos 1

cos  2   

2 cos 1

2



  

sen

) 90 2 ( 



) 270 2 (

3





) 0 ( 0 

) 360 ( 2



 )

180 ( 



senx = m -1  m  1

y = m



 = arcsen(m)

SOLUZIONE:











k x

k x

2 2











ESEMPIO:

2

 2 senx





 

k x

k x

4 2 3

4 2









L'equazione sen x = -1

A) ammette come soluzione x = 90 gradi;

B) non ammette soluzioni;

C) ammette come soluzione x = 180 gradi;

D) ammette come soluzione x = 270 gradi E) ammette come soluzione x = 360 gradi.

Esempio Medicina 1999

) 90 2( 



) 270 3( 

) 0 ( 0 

) 360 ( 2  )

180 ( 



x  2 k 

2

3 



) 90 2 ( 



) 270 2 (

3





) 0 ( 0 

) 360 ( 2



 )

180 ( 



cosx = m -1  m  1 x = m



 = arccos(m)

-

SOLUZIONE:



 ^k

x    2

ESEMPIO:

2 cos x   1



 k

x 2

3

2 





EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE ELEMENTARI

) 90 2 ( 



) 270 2 (

3





) 0 ( 0 

) 360 ( 2



 )

180 ( 



tgx = m m  R

·

P (1 ; m)



 = arctg(m)

SOLUZIONE:



 k x  

ESEMPIO:

3

 3

 tgx

 

k x   

6

COMBINANDO:

SI RISOLVONO

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

TRIGONOMETRICHE RICONDUCIBILI A QUELLE ELEMENTARI

EQUAZIONI

TRIGONOMETRICHE ELEMENTARI

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

ALGEBRICHE

RELAZIONI E FORMULE

GONIOMETRICHE

ESEMPIO

SOLUZIONE:

0 2 sen

²

x  senx 



k x 

2 0

1  



 senx senx

) 0 ( 0 

y = -1/2 y = 0

 





k x

k x

6 2 6 2 7













 k 180 x



















360 30

360 210

k x

k

x

SOLUZIONE:

0 cos

2

cos x  x 

 

k

x 2

2 



2 / 1

1 4

3 1 4

8 1

cos 1 

 

 





  x

x = 1/2 x = -1

 

k

x 2

3 





0 cos

1 cos

2

²

x   x 







 90 k 360 x









 60 k 360

x

Data l'equazione trigonometrica sen 2x = 1 posso affermare che il valore dell'angolo x, con –180° ≤ x ≤ 180°, è di:

A) 45°

B) –45°

C) 180°

D) 90°

E) –90°

Esempio Prof sanitarie 2008

 90



90

0



180

2x  90 

Risolviamo sen ² x = 1 →

senx = ± 1 → x = 90° e 270° e associati

ESEMPIO

SOLUZIONE:

0 1

2 senx  

2

 2 senx

2

 2 y





 

k x

k 2

4 2 3

4    















 360 135 360

45 k x k

SOLUZIONE:

0

2

x  3 

tg  3  tgx  3

 

 

k x

k   



 3 3















 60 k 180 x 60 k 180

TEST IN AULA

LOGICA NUMERICA SU

MATEMATICA

Fine lezione

Grazie per l’attenzione !