Liceo Scientifico “G. Salvemini”

Corso di preparazione per i test di ammissione universitari

MATEMATICA - LEZIONE 4

Funzioni – Esponenziali e Logaritmi Relatore

prof. re CATELLO INGENITO

Sommario della lezione

 Funzioni: definizioni e proprietà

 Funzioni reali

 Funzione esponenziale

 Funzione logaritmica

Definizione di FUNZIONE

Dati 2 insiemi A e B

si dice FUNZIONE una RELAZIONE che associa agli elementi di A un solo valore di B

x₁

x₃ x₂

x₄

x₅ ..

A

y₁

y₃ y₂

y₄

y₅ ..

B

A DOMINIO f(A)

CODOMINIO

insieme degli elementi di B associati a d

almeno un elemento di A

y = f(x)

Definizione estesa: f: x  A  y = f(x)  B argomento o x:

variabile indipendente

immagine o y:

variabile dipendente

Tipi di FUNZIONE

Una FUNZIONE si dice INIETTIVA quando ad elementi distinti del

DOMINIO corrispondono elementi distinti del CODOMINIO

x₁ ≠ x₂  f(x₁) ≠ f(x₂)

x₁ x₃ x₂ x₄

A

y₁ y₃ y₂

y₄ y₅

B

Possono esserci elementi di B non associati

Una FUNZIONE si dice

SURIETTIVA SU B quando tutti gli elementi del CODOMINIO sono associati ad almeno un

elemento del DOMINIO

 y  B  x  A / y = f(x)

x₁ x₃ x₂ x₄

A

y₁ y₃ y₂

B

Un elemento di B può essere associato a più

elementi di A

Una FUNZIONE si dice

BIUNIVOCA (BIETTIVA) se è sia INIETTIVA che SURIETTIVA

x₁ x₃ x₂

A

y₁ y₃ y₂

B

Esiste una CORRISPONDENZA

BIUNIVOCA tra gli elementi di

A e quelli di B

Funzione Inversa

Una FUNZIONE BIUNIVOCA è INVERTIBILE

x₁ x₃ x₂

A

y₁ y₃ y₂

B

E’ possibile definire la sua FUNZIONE INVERSA

f: x  A  y = f(x)  B

x₁ x₃ x₂

A

y₁ y₃ y₂

f^-1: x  B  y = f^-1(x)  A B

Funzioni composte

Una FUNZIONE può essere COMPOSTA

da altre funzioni:

x₁ x₃ x₂ x₄

A

y₁ y₃ y₂

y₄

B

c

z₁ z₃

z₂

f: x  A  y = f(x)  B g: x  B  z = g(y)  C

x₁ x₃ x₂ x₄

A

y₁ y₃ y₂

y₄

B

c

z₁ z₃

z₂

y = f(g(x)) o

y = f  g (x)

fg : x  A  y = f(g(x))  C

f(x) g(x)

f(g(x))

Funzioni REALI

Se DOMINIO e CODOMINIO di una FUNZIONE sono SOTTOINSIEMI di R ..

x₁ x₃ x₂ x₄ x₅ ..

A

y₁ y₃ y₂ y₄ y₅ ..

f(x) B R

.. la funzione di dice REALE (di variabile REALE)

Se A = N la funzione si dice SUCCESSIONE

  ^a

Esempio di successione:







 







 



4 ,...

, 5 3 , 4 2 , 3 1 2

N

n n

n

Classificazione delle FUNZIONI REALI

Funzione Condizione

CALCOLO DEL DOMINIO delle FUNZIONI REALI

) (

) (

x g

x

y  f g(x)  0

n f x

y  ( ) n pari ^{f (x)  0}

) ( log f x

y  _a f (x)  0 ))

( ( f x tg

y  ^{f (x)  }₂ ^k ))

( (

cot g f x

y  ^{f (x) k}

 

 ^{( )}

arccos

) (

x f y

x f arcsen y





1 ) (

1 

 f x

)

) (

(x ^{g x} f

y  ^{f (x)  0}

NEL CASO DI FUNZIONI COMPOSTE O DI

OPERAZIONI DI FUZNIONI IL DOMINIO E’ L’INTERSEZIONE DEI DOMINI DELLE SINGOLE

FUNZIONI





 ..

2 1

D D

ESEMPI DI CALCOLO DEL DOMINIO

x y  x² 1









  0 1 0

2

x x

x ^D_f ^













log ³  

 x

y _a x³ 1 2  0 x³ 1 2 x³ 1 2



 



 ; 1  ³ 3; Df

 

3

3



 

x

x arcsen

y 



















0 3

1 3

1 3

x x x





 

f  D

Grafico di una funzione

Il GRAFICO di una funzione (reale) è l’insieme dei punti (x ; f(x)) su un sistema ortogonale di assi cartesiani

(x ; f(x))

Proprietà del grafico di una funzione

MASSIMO

minimo minimo

Flesso Flesso

Illimitata superiormente

limitata inferiormente

f(x) > 0 f(x) > 0 f(x) > 0

f(x) < 0 f(x) < 0

PROPRIETA’ delle Funzioni REALI

Una funzione si dice CRESCENTE in un intervallo se:

x1 < x2  f(x1)  f(x2)

Una funzione si dice DECRESCENTE in un intervallo se:

x1 < x2  f(x1)  f(x2)

Una funzione CRESCENTE O DECRESCENTE in un intervallo SI DICE MONOTONA nell’intervallo

Una funzione si dice

STRETTAMENTE CRESCENTE in un intervallo se:

x1 < x2  f(x1) < f(x2)

Una funzione si dice

STRETTAMENTE DECRESCENTE in un intervallo se:

x1 < x2  f(x1) > f(x2)

PROPRIETA’ delle Funzioni REALI Funzione periodica

Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0,

se, per qualsiasi numero k intero, si ha:

f(x) = f(x + kT)

Funzione pari

Una funzione y = f (x) si dice pari se:

f(-x) = f(x)  x A

SIMMETRICA RISPETTO ALL’ASSE Y

Funzione DISPARI

Una funzione y = f (x) si dice dispari se:

f(-x) = -f(x)  x A

SIMMETRICA RISPETTO ALL’ORIGINE

Grafico della funzione inversa

Il grafici di f e di f ^–1 sono simmetrici

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante (y = x).

x3

y 

3 x y 

Esempio

Esempio (Scienze 2012)

Procediamo per tentativi:

n n

n n

n

f 6

) 3 2 (

3 )

(    

6 2

)

(n  n  n  f

3 )

2 (

3 ) 2 1 (

3 )

( )

1

(n  f n  n    n   f

FUNZIONE ESPONENZIALE

Sia a R , a > 0 , a 1 Si definisce

funzione esponenziale:

f: x  R  y = a^x  ]0 ; +[

Grafici a > 1

Strettamente crescente

0 < a < 1

Strettamente decrescente Biunivoca (invertibile)

DEFINIZIONE DI LOGARITMO

Se b = a^c

Approssimiamo:

c = log_ab

32 

log₂ 1 5 ^{log5 625 4} ₃ ⁵  9 log 1

5 3 2

log ⁵

2

3   



 



  ^



 1.000.000 000

. 000 .

1

log₁₀ Log 6

78

log₂ ^{6  log}₂ ^{64 log}₂ ^{78 log}₂^{128 7}

Esempi:

Approssimiamo: Log980.000.000 8  Log980000000 9

FUNZIONE LOGARITMICA

Sia a R , a > 0 , a 1 Si definisce

funzione LOGARITMICA:

f: x  ]0 ; +[ y = log_ax  R

Grafici

a > 1 Strettamente crescente

0 < a < 1

Strettamente decrescente Biunivoca

La funzione INVERSA della FUNZIONE ESPONENZIALE

GRAFICI ESPONENZIALE E LOGARITMICO

Grafici sullo stesso piano cartesiano

Base NATURALE

Il numero irrazionale e , detto numero di NEPERO, è la BASE NATURALE (NEPERIANA)

delle funzioni esponenziale e logaritmica

71 , 1 2

1

lim  



 

 

 

n

n n

e

e

y  ^{y  log}

^{x  ln x}

Esponenziali (Potenze) Logaritmi

PROPRIETA’

0 1

a log_a1  0

m n m

n a a

a   ^ log_a(nm)  log_a n  log_a m

m n m

n

a a

a _

 n m

m n

a a

a log log

log  

 

a log

log 

n n

a^  a1

a b Loga

Logb a

b b

c c

a ln

ln log

log  log  

m n m n

a a 

a

a¹  log_a a 1

b a

b

a log

log  1

Esempi (prof sanitarie)

Esempio (Farmacia 2013)

Esempio

(Simulazione CISIA Ingegneria 2007 )

Equazioni esponenziali

a ^{f (x)}  a^g(x)  f (x)  g(x)

0 0 log

) (

) (





 

 N

N N

x f

e impossibil N

a

a x

f

3 1

2 2

2 2

2

4^x1  ^x1  ^2x2  ^x1  x   x   x 

e impossibil

x^  1

3 ⁴

4 2

ln 2

ln 4

4  2      

 x x

e^x

Esempio

(Medicina 2017 )

Disequazioni esponenziali

1 0

1 )

( ) ( )

(

) ( ) ( )

) (

( ^{( )}

) (













 



 a

a x

g x

f

x g x

a f a ^{f x g x}

1 0

0 1

1 10

10^x21  ^x1  x²   x   x²  x    x 

) 0

(  N  impossibile N 

a ^{f x} a ^{f (x)}  N  x R N  0

1 0

1 log

) ( )

(

log )

( )

) (

) (

(













 



 a

a N

N x

f

x N f

a

a x a

f

5 log 3 5

2

3

 2



 x

x

Equazioni logaritmiche

















) ( )

(

0 )

(

0 )

( )

( log

) ( log

x g x

f

x g

x f x

g x

f _a

a

 





 



a

f x a

x N f

x

f ( )

0 )

) ( ( log

3 5

1

0 5

0 1

) 5

( log )

1 (

log_{2 2}  



























 x

x x

x x

x x

Disequazioni logaritmiche

























 









1 0

1 )

( ) ( )

(

) ( ) ( )

(

0 )

(

0 )

( )

( log

) ( )

( log

a a x

g x

f

x g x

f

x g

x f x

g x

f _a

a





































1 0

1 )

( )

(

) ( )

(

0 )

( )

( )

( log

a a a

x f

a x

f

x f N

x f

N N a

Esempi (prof sanitarie)

2 1 4

4 1 2

log 1 ²

1

4 x    x  ^  

0 0

2 5

5^2x  ⁰  x   x 

Esempio (Odontoiatria 2003)

k x

k x

k x

















10

10 10

log

0 log

0

log _{y = -k}

Esempio (Medicina 2003)

Corso di preparazione per i test di ammissione universitari

Fine lezione

Grazie per l’attenzione !