1. Determinare i minimi ed i massimi relativi della funzione z = x 2− xy + y 2 sotto la condizione

25 - Esercizi di riepilogo e di complemento

Minimi e massimi condizionati ed assoluti

1. Determinare i minimi ed i massimi relativi della funzione z = x ² − xy + y ² sotto la condizione

x ² + y ² − 4 = 0.

[[ ( √ 2 , − √

2) , (− √ 2 , √

2) punti di massimo; ( √ 2 , √

2) , (− √ 2 , − √

2) punti di minimo. I massimi valgono 6 , i minimi 2. ]

2. Determinare gli estremi relativi relativi della funzione f(x, y) = x ² + 5 y ² − 1

2 xy sotto la condizione

x ² + 4 y ² − 4 = 0.

[[ Il minimo ` e 9 − √ 2

2 , assunto nei punti

2 + √ 2 , 1

2

2 − √ 2



, −

2 − √ 2 , − 1

2

2 − √ 2



; il massimo ` e 9 + √ 2 2 , assunto nei punti −

2 − √ 2 , 1

2

2 + √ 2



,

2 − √ 2 , − 1

2

2 + √ 2



]

3. Determinare gli estremi assoluti della funzione

f(x, y) = (3x + 4y − 12)(y ² − 4x ² ) + 2

nel triangolo T delimitato dalle rette y − 2x = 0, y + 2x = 0, 3x + 4y − 12 = 0.

[[ Il min assoluto ` e − 914

55 , assunto nel punto − 24 55 , 128

55



; il max assoluto ` e 2 , assunto in tutti i punti della frontiera di T ]

4. Determinare gli estremi assoluti della funzione f(x, y) =

x ² + y ² + y ² − 1 nel cerchio x ² + y ²
9.

[[ Il min assoluto ` e −1, assunto nel punto (0, 0); il max assoluto `e 11, assunto nei punti (0, 3), (0, −3) ]

5. Determinare gli estremi relativi e assoluti della funzione f(x, y) = 3x ² + 4 y ² − 6x − 12 nel cerchio x ² + y ²
4.

[[ Il min assoluto e relativo coincidono, valgono −15, e sono assunti nel punto (1, 0); il max assoluto e relativo coincidono,

valgono 12 , e sono assunti nel punto (−2, 0) ]

6. Determinare gli estremi relativi e assoluti della funzione f(x, y) = −2x ³ − x ² − y ² + 5 nel rettangolo R di vertici V 1 (0 , 1), V 2 ( −1, 1), V 3 ( −1, −1), V 4 (0 , −1).

[[ Punti di min relativo: ( −1/3, 1), (−1/3, −1); punti di massimo relativo: (0, 0), (−1, 0). I minimi relativi valgono entrambi 107 /27, i massimi relativi valgono 5, 6 rispettivamente. ]

7. Determinare gli estremi assoluti della funzione

f(x, y) = x + y + 4 sin x sin y

nel quadrato Q di vertici V 1 (0 , 0), V 2 ( π, 0), V 3 ( π, π), V 4 (0 , π).

[[ Punto di min assoluto: V

(0 , 0); punto di massimo assoluto: (7π/12, 7π/12). Il minimo assoluto vale 0, il massimo assoluto vale

+ 2 + √

3. ]

8. Determinare gli estremi della funzione

f(x, y, z) = x ² + y ² + z ² sotto la condizione x + y + z + 1 = 0.

[[ Non ci sono max relativi, ed il sup ` e + ∞. Il punto di min relativo e assoluto `e (−1/3, −1/3, −1/3), e il minimo vale 1/3. ]