HOMEWORK 1
1.1 Considerate le seguenti coppie di dati relative alle variabili “peso corporeo”
(misurato in kg.) e “statura” (misurata in cm.) rilevate su 10 studenti
peso statura 86 186 78 175 74 176 82 187 90 185 72 175 76 179 92 195 82 170 80 172
a) calcolare i tre quartili per entrambe le variabili b) calcolare il peso medio e la statura media
c) individuare quale delle due variabili presenta la variabilità maggiore
Per la sola variabile “peso corporeo” determinare:
d) l’indice di asimmetria 𝑎3 =𝑚̅3
𝑠3 e) l’indice di curtosi 𝑎4 =𝑚̅4
𝑠4
Soluzione
Variabile peso corporeo (P) La sequenza dei pesi, ordinata in modo non decrescente, è
72 74 76 78 80 82 82 86 90 92
a) Il primo quartile occupa il 3° posto e corrisponde quindi all’intensità 76 Il secondo quartile occupa il 5° posto e corrisponde quindi all’intensità 80 Il terzo quartile occupa l’8° posto e corrisponde quindi all’intensità 86 b) La media risulta pari a 81.2
c) per confrontare la variabilità del peso (P) e della statura (S) occorre determinare i due coefficienti di variazione
Il secondo momento ordinario è pari a m2p = 6632.8 La varianza è uguale a 𝑠𝑝2 =39.36
Quindi
𝐶𝑉𝑝 = √39.36
81.2 ≈ 0.0773 d)
Per calcolare il terzo momento centrale si calcolano gli scarti dalla media -9.2 -7.2 -5.2 -3.2 -1.2 0.8 0.8 4.8 8.8 10.8
e poi si elevano al cubo
-778.688 -373.248 -140.608 -32.768 -1.728 0.512 0.512 110.592 681.472 1259.712
La media di questi scarti al cubo risulta 𝑚̅3𝑝 = 72.576, per cui si ottiene
𝑎3𝑝 =𝑚̅3𝑝
𝑠𝑝3 = 72.576
(39.36)3/2 ≈ 0.2939
e)
In maniera analoga, calcolando la media degli scarti elevati alla quarta potenza si ottiene il valore del quarto momento centrale 𝑚̅4𝑝 che va poi diviso per il quadrato della varianza, così da ottenere
𝑎4𝑝 =𝑚̅4𝑝
𝑠𝑝4 ≈ 1.9896
Variabile statura (S)
La sequenza dei valori, ordinata in modo non decrescente, è
170 172 175 175 176 179 185 186 187 195
a) Il primo quartile occupa il 3° posto e corrisponde quindi all’intensità 175 Il secondo quartile occupa il 5° posto e corrisponde quindi all’intensità 176 Il terzo quartile occupa l’8° posto e corrisponde quindi all’intensità 186 b) La media risulta pari a 180
c) Il secondo momento ordinario è pari a m2s = 32456.6 La varianza è uguale a 𝑠𝑠2 =56.6
Quindi
𝐶𝑉𝑠 =√56.6
180 ≈ 0.0418
Si può quindi concludere che la variabile peso presenta una variabilità più elevata della variabile statura
1.2 La tabella successiva riporta la distribuzione del numero dei componenti di 200 famiglie italiane, separatamente per ripartizione geografica
Componenti Nord Centro Sud+Isole
1 19 2 10
2 23 12 18
3 24 14 11
4 18 14 7
5 16 8 4
100 50 50
a) per ciascun gruppo disegnare il boxplot basato sui tre quartili.
b) determinare la distribuzione complessiva delle 200 unità statistiche, senza tener presente la ripartizione geografica
c) calcolare media e varianza di tale distribuzione.
d) per i tre gruppi distinti calcolare:
- la moda - la media - la varianza
e) sulla base della media e della varianza calcolate per i singoli gruppi determinare la media e la varianza per tutte le 200 unità statistiche, controllando che si ottengano i risultati ottenuti al punto c).
Soluzione
a) I tre boxplot assumono la forma riportata nella figura successiva
b) Considerando tutte le 200 unità, la distribuzione della variabile X “numero di componenti” è riportata nella tabella successiva
X Frequenza
1 31
2 53
3 49
4 39
5 28
200
c) Gli indici richiesti assumono i valori seguenti
𝑥̅ = 1 × 31 + 2 × 53 + 3 × 49 + 4 × 39 + 5 × 28
200 = 2.9
𝑚2 = 1 × 31 + 4 × 53 + 9 × 49 + 16 × 39 + 25 × 28
200 = 10.04
𝑠𝑥2=1.63
d) Per le diverse ripartizioni si ottengono i risultati seguenti Nord: Moda: MN =3
Media: 𝑥̅𝑁=2.89
Media dei quadrati: m2N =10.15 Varianza: 𝑠𝑁2 =1.7979
Centro: 2 mode: MC =3 e 4 Media: 𝑥̅𝐶=3.28
Media dei quadrati: m2C =12 Varianza: 𝑠𝐶2 =1.2416
Sud+Isole: Moda: MSI =2 Media: 𝑥̅𝑆𝐼=2.54
Media dei quadrati: m2SI =7.86 Varianza: 𝑠𝑆𝐼2 =1.4084
e)
𝑥̅ = 𝑥̅𝑁 × 𝑛𝑁 + 𝑥̅𝐶 × 𝑛𝐶 + 𝑥̅𝑆𝐼 × 𝑛𝑆𝐼 𝑛
𝑥̅ = 2.89 × 100 + 3.28 × 50 + 2.54 × 50
200 = 2.9
𝑠𝑏2 =(𝑥̅𝑁 − 𝑥̅)2× 𝑛𝑁 + (𝑥̅𝐶 − 𝑥̅)2× 𝑛𝐶 + (𝑥̅𝑆𝐼 − 𝑥̅)2× 𝑛𝑆𝐼 𝑛
𝑠𝑏2 =(2.89 − 2.9)2× 100 + (3.28 − 2.9)2× 50 + (2.54 − 2.9)2× 50
200 = 0.06855
𝑠𝑤2 = 𝑠𝑁2 × 𝑛𝑁 + 𝑠𝐶2× 𝑛𝐶 + 𝑠𝑆𝐼2 × 𝑛𝑆𝐼 𝑛
𝑠𝑤2 = 1.7979 × 100 + 1.2426 × 50 + 1.4084 × 50
200 = 1.56145
𝑠2 = 𝑠𝑏2 + 𝑠𝑤2 = 1.56145+0.06855=1.63
1.3 La tabella successiva riporta la distribuzione del reddito medio annuo X (espresso in migliaia di euro) di 200 famiglie italiane
X Frequenze 0 − 5 24 5 − 15 42 15 − 30 52 30 − 50 70 50 − 100 8
100 − 300 4
200 a) disegnare l’istogramma
b) determinare la classe modale
c) calcolare la media aritmetica e la varianza
In una indagine effettuata in Inghilterra su 200 famiglie si è ottenuto un reddito medio annuo pari a 28.85 migliaia di sterline, con una deviazione standard pari a 25.32 migliaia di sterline.
d) confrontare le medie e le deviazioni standard dei redditi medi annui delle due indagini esprimendo i risultati in euro, sapendo che all’epoca 1 euro equivaleva a 0.9239 sterline
Soluzione
a) Gli elementi utili per disegnare l’istogramma sono riportati nella tabella successiva
Reddito
(in migliaia di euro)
Valore centrale Frequenza relativa densità
0 − 5 2.5 0.12 0.0240
5 − 15 10.0 0.21 0.0210
15 − 30 22.5 0.26 0.0173
30 − 50 40.0 0.35 0.0175
50 − 100 75.0 0.04 0.0008
100 − 300 200.0 0.02 0.0001
1.00
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
0 50 100 150 200 250 300
densità
Reddito (in migliaia di euro)
b) La classe modale è la prima: (0, 5000] euro c) La media risulta pari a 29.25 migliaia di euro Il secondo momento dall’origine è pari a 1738.375 Per cui la varianza è uguale a 882.8125
d) Dal cambio euro-sterlina: 1€ = 0.9239₤ si ottiene che il reddito medio annuo sulle 200 famiglie inglesi, pari a 28.85 migliaia di sterline, corrisponde a 28.85/0.9239 31.23 migliaia di euro.
Il reddito medio annuo delle 200 famiglie inglesi è quindi superiore al reddito medio annuo delle 200 famiglie italiane
La deviazione standard del reddito medio per le famiglie italiane risulta all’incirca pari a √882.8125 ≈ 29.71 migliaia di euro
La deviazione standard per le famiglie inglesi, pari a 25.32 migliaia di sterline, corrisponde a 25.32/0.9239 ≈ 27.41 migliaia di euro per cui la variabilità risulta leggermente minore per le famiglie inglesi
