Centro di massa

Dinamica dei sistemi di punti Forze interne ed esterne

n j

i m m

m m

m ₁ , ₂ ,... , ,...

Consideriamo n punti materiali di massa:

Le forze interne sono quelle scambiate tra i punti. La natura delle forze interne può essere qualsiasi, ad esempio tensioni dei fili, forze elastiche, elettriche e magnetiche, gravitazionali, etc.

Le forze esterne sono dovute all’interazione tra il sistema ed il mondo esterno

i , j j

,

i F

F = −

interagenti tra loro e con l’universo esterno

La forza F_i agente sull’i-esimo punto è data dalla risultante delle forze esterne agenti sul punto F_i^(E) e delle forze esercitate dagli altri n-1 punti: forze interne al sistema F_i^(I):

(I) i (E)

i

i F F

F = +

Per le forze interne per il III principio della dinamica :

Le forze esterne si possono indicare come:

,...

F ,

F ^{(E) (E)}

A.Romero Dinamica IV -Sistemi di punti 2

y

x

O

ri

rj j

Fi,

i

Fj,

Sommando vettorialmente tutte le forze interne ed esterne che agiscono sul sistema si ottiene:

∑

=

= +

=

i

E i E

E

I R R F

R

R ^{( ) ( ) ( ) ( )}

Forze interne ed esterne

In genere la risultante delle forze interne agenti sull’i-esimo punto F_i^(I) non è nulla, ma

la risultante di tutte le forze interne R^(I) del sistema è nulla,

perché in base al principio di azione e reazione esse sono uguali a due a due ed opposte.

∑

=

j , i

j , i )

I (

i F

Risultante delle forze interne agenti sull’i-esimo punto F

0

j i

j i i

I i

I =∑ =∑ =

, , )

) (

( F F

Risultante di tutte le forze interne del sistema R

Sistemi di punti

j j

j m

a = F

La posizione:

La velocità:

L’accelerazione:

n j

i r r

r r

r₁, ₂,... , ,...

n j

i v v

v v

v₁, ₂,... , ,...

n j

i a a

a a

a₁, ₂,... , ,...

y

ri

rj

vi

vj

Consideriamo n punti materiali: m ₁ , m ₂ ,... m i , m j ,... m n

Per ciascun punto P, è possibile definire in un sistema di riferimento inerziale:

La quantità di moto: ^{p1,p2,...pi,pj,...pn} con: p =j m vj j

con:

j j j

j r m v

L = ×

Il momento angolare: ^{L1,L2,...Li,Lj,...Ln} con:

2 j j j

,

k m v

2 E =1

L’energia cinetica: ^{Ek,1,Ek,2,...Ek,i,Ek.j,...Ek,n} con:

A.Romero Dinamica IV -Sistemi di punti 4

Sistemi di punti

y

O x

ri

rj

vi

vj

Consideriamo n punti materiali: m ₁ , m ₂ ,... m i , m j ,... m n

Per il sistema complessivo , è possibile definire inoltre le grandezze:

Quantità di moto totale: ⁼∑ ⁼∑

i

i i i

m v p

P _i

∑

∑ ^{= ×}

=

i

i i i

i r m v

L L

Momento angolare totale: i

∑

∑ ⁼

=

i

2 i i i

i , k

k m v

2 E 1

L’energia cinetica: E

Massa totale: = ∑

i mi

m

Centro di massa

∑

= ∑

i i i

i i

CM m

m r r

Si definisce centro di massa di un sistema di punti materiali il punto geometrico la cui posizione è individuata dal raggio vettore:

∑

∑

=

i i i

i i

CM m

m r r

n 2

1

n n 2

2 1 1

m ....

m m

m ...

m m

+ + +

+ +

= r + r r

NOTA: La posizione del centro di massa rispetto ai punti non dipende dal sistema di riferimento, le sue coordinate variano con il sistema scelto.

∑

∑

=

i i i

i i

CM m

x m

In componenti x _∑

∑

=

i i i

i i

CM m

y m

y ∑

∑

=

i i i

i i

CM m

z m z

∑

∑

=

i i

i i

CM m

m r'

r' + =

= ∑

∑

i mi(ri O'O)

Ad esempio in figura è rappresentato il centro di massa nei due sistemi O e O’: _r'i=_ri +_O'O

O O' r

O O' (r

CM +

=

∑ +

∑

m m m

) m

i i i

A.Romero Dinamica IV -Sistemi di punti 6

Centro di massa - Esempio

Date le coordinate e le masse di tre punti: P₁ (3,-2, 0) , P₂ (-2, 4, -2) , P₃ (3,-2, 0) , m₁= 1 kg, m₂=3kg, m₃=2Kg, trovare il centro di massa

:

∑

∑

=

i i i

i i

CM m

m r r

n 2

1

n n 2

2 1 1

m ....

m m

m ...

m m

+ + +

+ +

= r + r r

∑

∑

=

i i i

i i

CM m

x m

x ∑

∑

=

i i i

i i

CM m

y m

y ∑

∑

=

i i i

i i

CM m

z m z

2 1 6

6 6 3 3

2 1

3 2 2 3 3

x_CM 1 − + =

+ = +

⋅ +

⋅

−

= ⋅

6 1 6 6

4 12 2 3

2 1

2 2 4 3 2

y_CM 1 − + − = =

+ = +

⋅

−

⋅ +

⋅

= −

6 1 6 6

0 6 0 3

2 1

0 2 2 3 0

z_CM 1 − = −

+ =

= − +

+

⋅ +

⋅

−

= ⋅

Centro di massa

∑

∑

∑ =

=

i i i

i i

i i

CM m m

m v P v

CM i

i

i m

m v v

P=∑ =

Se gli n punti sono in movimento normalmente la posizione del centro di massa cambia, ed è possibile dunque studiarne la variazione col tempo:

Quantità di moto totale: = ∑

i mivi

P

m

= P

massa totale: = ∑

i mi

m

La quantità di moto totale (prima definita) coincide con

la quantità di moto del centro di massa, considerato come un punto materiale che ha la posizione r_CM, velocità v_CM e massa pari alla massa totale del sistema.

∑

= ∑

=

i i i

i i CM

CM m

m dt

d dt

d r

v r

∑

= ∑

i i i

i i

m dt m dr

A.Romero Dinamica IV -Sistemi di punti 8

moto del centro di massa

Variazione della velocità del centro di massa.Derivando la velocità rispetto al tempo:

∑

∑

=

i i i

i i

m dt m dv

∑

∑

=

i i i

i i

m m a

m m

i

i

∑ i

=

a

(I) i (E) i i

i F F F

a = = +

Essendo: m

Sostituendo ( )

m m

i

) I ( i E i

i CM

∑ i

∑ ⁺

=

=

F F

F a

) (

∑

∑ ⁺

=

i I i

E

i i

) ( )

( F

F =R^(E)+R^(I) =R^(E)

)

R(

a_CM ^E m =

Il centro di massa si sposta come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne.

∑

∑

=

=

i i i

i i CM

CM m

m dt

d dt

d v

a v

( )

∑ ⁺

=

i

) I ( i E

CM _i

ma F^{( )} F

dt md

m _CM v^CM

a =

= (m )

dt d

vCM

=

) E

R(

dt

= dP

La risultante delle forze esterne è eguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sistema :Il moto del centro di massa è determinato solo dalle forze esterne. L’azione delle forze interne non può modificare lo stato del moto del centro di massa

Se il sistema di punti considerato è isolato o soggetto a forze esterne tali che la risultante è nulla:

) 0

E ( =

R = 0

dt

dP P = cost

Principio di conservazione della quantità di moto per un sistema di punti

Quando la risultante delle forze esterne è nulla, la quantità di moto totale del sistema rimane costante ed il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme o resta in quiete.

le quantità di moto dei vari punti in generale variano nel tempo

Il Principio di conservazione della quantità di moto di un sistema isolato discende dalla omogeneità dello spazio, non c’e sistema di riferimento privilegiato

Conservazione della quantità di moto

cost mv_CM =

cost mv_i ≠

Esempio: trovare moto del centro di massa di un insieme di punti soggetti solo alla gravità

Essendo le a_i = g: g

m gm m

m g

m m

a ^{i i}

i i

i i i

CM = = ^∑ = =

∑

∑ a

A.Romero Dinamica IV -Sistemi di punti 10

Si considerino due punti isolati, che possono interagire solo tra di loro:

Conservazione della quantità di moto

costante m

m_{1 1 2 2}

2 = + =

+

=p p v v

P ₁

0 m

m )

m m

dt ( d dt

d

2 2 1

1 2

2 1

1 + = + =

= v v a a

P F₁+ F₂ =0 F₁ =−F₂

Il principio di conservazione della quantità di moto per un sistema isolato di due punti, ha come conseguenza il fatto che le forze che si esercitano tra i due punti sono uguali in modulo e di verso opposto.

Il principio di conservazione della quantità di moto permette di definire dinamicamente la massa indipendentemente dalla forza peso.

Se si considerano due masse ferme agli estremi di una molla compressa CM fermo ⇒ P=0

0 m

m₁v₁+ ₂v₂ =

2 1 1

2 v

m v m = −

Centro di massa e Momento angolare

Ragionamenti analoghi a quelli fatti per la quantità di moto possono essere fatti per il momento angolare di un singolo punto e del centro di massa.

i i i

i r m v

L = ×

L L

v

r × = ∑ =

∑ i

i i

i i

i m

Anche in questo caso possiamo vederne il comportamento al variare del tempo:

∑

∑ ^{= ×}

=

i

i i i i

i m

dt d dt

d dt

dL L r v

A.Romero 12

Proseguendo con i calcoli.

=

×

=

= ∑ ∑

i

i i i i

i m

dt d dt

d dt

dL L r v

=

× +

×

= ∑ ∑

i

i i i i

i i i

dt m d dt m

d v

r r v

∑

∑

∑ × + × = ×

=

i i i

i i i i

i vi mivi r m a r F

∑

∑ ^{× + ×}

=

j i

j i i i

e i i

,

, )

( r F

F r

Centro di massa e Momento angolare

Essendo il sistema di riferimento inerziale:

) I ( i ) E ( i i i ia

m =F =F +F

= +

×

=∑

i

) I ( i ) E (

i ( i )

dt

dL r F F

=0

Ipotesi: il polo O rispetto a cui si calcola il momento L sia fisso

) I ( E)

( M

M +

=

i , j i j , i j (I)

j

i, r F r F

M = × + × =r_j×F_i,j −r_i ×F_i,j =(r_j −r_i)×F_i,j = r_i,j ×F_i,j

(I) 0

j i, =

M perchè

Momento delle forze interne Momento delle forze esterne

M^(I)=0 infatti se si calcola la somma dei momenti delle due forze interne rappresentate in figura:

j , i j

i, //

r F

r_i,j

Centro di massa e Momento angolare

) I ( E)

(

dt

dL =M +M

=0

) E ( i i

i E)

(

dt

dL M r F

∑ ^×

=

=

Teorema del momento angolare

Se il polo O, rispetto a cui si calcola il momento L è fisso nel sistema di riferimento inerziale, l’evoluzione nel tempo del momento angolare del sistema di punti è determinata dal momento delle forze esterne rispetto a O, mentre le forze interne non portano contributi

A.Romero Dinamica IV -Sistemi di punti 14

E se il polo O si muove con una certa velocità v_o?

o i

i i

dt OP d dt

dr v v

−

=

=

Teorema del momento angolare per un sistema di punti con O che si muove con velocità v_o

×∑

−

=

i i i

o ) E

( v mv

dt M L d

CM o

) E

( m

dt

dL =M −v × v

Centro di massa e Momento angolare

=

×

=

= ∑ ∑

i

i i i i

i m

dt d dt

d dt

dL L r v

=

× +

×

= ∑ ∑

i

i i i i

i i i

dt m d dt m

d v

r r v

=

× +

×

−

=∑ ∑

i i i i

i i o

i ) m

dt

dL (v v v r F =∑ − × +∑ × + =

i

) I ( i E i i i

i i o

i v ) m v r (F F )

(v

= +

× +

×

−

×

= ∑ ∑ ∑

i

) I ( i E i

i vi mivi vo miv_i ri (F F )

=0

) I ( )

E (

i vo × miv_i +M + M

− ∑

=0

Il termine _{vo × vm CM =0} Se O coincide con CM:

 v_o=0

 v_CM=0

 v_o//v_CM In tutti questi casi: ^(E)

dt

dL =M

Si muove sia O che P_i

In una situazione in cui valga:

0

se M^(E) = ^{= 0}

dt dL

Conservazione del momento angolare

0 m _CM

o × v =

v

Se il momento delle forze esterne è nullo, il momento angolare rimane costante

E) (

dt

dL =M L=costante

Il momento delle forze nei seguenti casi:

 Non agiscono forze esterne: sistema isolato. In questo caso M=0, per qualsiasi polo O, per cui valga:

 Il sistema non è isolato ma il prodotto vettoriale In questo caso M=0 rispetto ad un determinato O ma non rispetto a qualsiasi polo. In questo caso si ha conservazione del momento angolare solo se calcolato rispetto a quel dato polo O

dt 0

d _(E)

i i

i E)

( = × =

=^M ∑^{r F}

L

0 m _CM

o× v =

v

) 0

E ( i i

i × =

∑^{r F}

CM o

) E

( m

dt

dL M v v

×

−

=

A.Romero Dinamica IV -Sistemi di punti 16

Sistema di riferimento del centro di massa

Sistema di riferimento del centro di massa: è un sistema avente il centro di massa come origine e gli assi fissi nella direzione

degli assi di un sistema Oxy inerziale.

Il Sistema di riferimento del centro di massa è in genere non inerziale ma traslatorio

rCM

r' r= +

Dal teorema delle velocità relative con ωωω=0:ω ^v=v'+v_CM

Nel sistema del centro di massa O’=CM,  r'_CM =0 v'_CM =0 '

r y

x '

y

'

O x

r CM

i

rCM

m 0 m '

i i i

i i

CM= =

∑

∑ ^r'

r m 0

i

i

i =

∑ ^r'

m 0 m '

i i i

i i

CM= =

∑

∑ ^v'

v m 0

i

i

i =

∑ ^{v' m 0}

i

i

i =

=∑ ^v'

P'

Nel sistema del centro di massa la quantità di moto totale del sistema risulta nulla

0 m

i i i =

∑ a'

CM =0 a'

m 0 m '

i i i

i i

CM= =

∑

∑ ^a'

a

Sistema di riferimento del Centro di massa

2) Il teorema del momento angolare sussiste anche per il sistema non inerziale del centro di massa purché CM sia il polo rispetto a cui si calcolano i momenti

1) Il momento risultante è uguale al momento delle forze esterne senza il contributo di forze inerziali

La forza che agisce su ogni punto può essere espressa come:

i

m a'i

'

F_i = ^(E) _{i CM}

i ) I (

i F m a

F + −

=

e sommando su tutti i punti: ^(E) _CM

i i CM

) E

( ( m)a R ma

R − ∑ = −

∑m a'i i = =0

Perché a’_CM=0 Inoltre si può dimostrare che nel sistema del centro di massa:

) E ( i i

i E)

( r' F

M' ⁼∑ ^×

E) (

dt

dL' =M'

(a a_OO') F ma_OO' m

' a m '

Fr r r r r r

−

=

−

=

=

A.Romero Dinamica IV -Sistemi di punti 18

Teorema di König del momento angolare

Momento totale, considerando come polo l’origine O del sistema inerziale:

∑ ^×

=

i

i i

i m v

r L₀







+

=

+

=

i CM

i

i CM

i

'

'

v v

v

r r

r

con

( ⁺ )^{× ( + )=}

= ∑

i

i CM

i i

CM ^' m '

0 r r v v

L

CM '

0 r P L

L = × +

=

× +

× +

× +

×

= ∑ ∑ ∑ ∑

i

i i i i

CM i

i i

i i CM

i

CM i

CM m v r m v' mr^' v mr^' v'

r

I Teoremi di Konig forniscono per il momento angolare e per l’energia cinetica, una relazione tra il valore misurato in un sistema inerziale e quello misurato nel centro di massa.

' r y

x '

y

'

O x

r CM

i

rCM

=L’ momento angolare rispetto al CM

=P =0

CM L' L +

=

dove abbiamo definito il momento angolare del centro di massa:

Che rappresenta il momento, rispetto all’origine del sistema inerziale di un punto materiale che coincide con il centro di massa ed ha come massa la massa totale del sistema

P r

L_CM = _CM ×

CM '

0 =L +L

L Teorema di König

Teorema di König per l’energia cinetica







+

=

+

=

i CM i

i CM i

'

'

v v

v

r r

r

( ⁺ ) ⁼

=

=∑ ∑

i

2 i CM

i i

2 i i

cin m '

2 v 1

2m

E 1 v v

Consideriamo sempre il caso precedente e vediamo cosa succede per l’energia cinetica.

= +

+

= ∑ ∑ ∑

i i CM i

i

2 i i i

2 CM

i m v' m v v'

2 v 1

2m 1

∑

+

=

i

2 i i 2

CM

cin m v'

2 v 1

2m E 1

∑

=

i

2 i i

cin m v

2 E 1

Nel sistema inerziale: con:

E’_cin :calcolata nel sistema di riferimento del centro di massa E_CM: Energia cinetica del

centro di massa =0, perchè Σm_iv_i^’=0

cin CM

cin E E'

E = +

Teorema di König

A.Romero Dinamica IV -Sistemi di punti 20

Teorema dell’energia cinetica

Calcoliamo il lavoro associato al moto di un sistema di punti materiali.

Per il singolo punto P_i:

(int)

dWi

Il termine è formato da termini del tipo:

(

)

, i i

i , j j

j ,

i dr F dr F dr dr F dr

F + = − =

NOTA: la struttura di dW_i^(int) implica che il lavoro delle forze interne è legato al cambiamento delle distanze mutue tra i vari punti.

Se queste non possono variare come avviene nel corpo rigido (che vedremo dopo) ⇒ W^(int)=0 Γ_i

(int) i )

E ( i i

(int) i i

) E ( i i

i

i d d d dW dW

dW = F r = F r + F r = +

Sommando su tutti i punti e integrando lungo le traiettorie Γ_i percorse, si ottiene il lavoro totale:

(int) )

E

( W

W

W = +

Teorema dell’energia cinetica

i i

i d

dW =F r

∑

∑ −

=

i

2 A , i i i

2 B , i

i m v

2 v 1

2m W 1

Riprendiamo l’espressione del singolo dW_i:

Sommando su tutti i punti e integrando, si ottiene:

A , k B

,

k E

E −

= =

+ ^(int)

) E

( W

W

Se tutte le forze agenti sull’intero sistema sono conservative si ha la conservazione dell’energia meccanica del sistema

i i

i dr

dt v m d

= =m_iv_idv_i

cost E

E E

E

+

=

+

=

e nel caso in cui siano presenti forze non conservative p

k E

E

W = ∆ = −∆

(

) (

)

nc E E E E

L = + − +

A.Romero Dinamica IV -Sistemi di punti 22

Sistemi di forze applicati a punti diversi

Indichiamo con R la risultante delle forze applicate ad un sistema di n punti

E con M il momento risultante della forza calcolato rispetto al polo O

∑

=

i

Fi

R

∑ ^×

=

i

i i

O OP F

M

Se si calcola M rispetto al polo O’: ⁼∑ ^×

i

i i '

O r' F

M

∑ ^{+ ×}

=

i

i i

O (OO' r' ) F

OO' M

r' r= +

Tenendo conto che: ^{= ×}∑ ⁺∑ ^×

i

i i i

i r' F

F OO'

MO'

R OO'

M_O = × +

Il momento dipende dal polo scelto a meno che non sia R=0

Se R=0

MO'

M =₀

∑ ^×

=

i

i

i F

r

Sistemi di forze applicati a punti diversi:

coppia di forze

MO'

R OO'

M_O = × + Se R=0

MO'

M =_O

Coppia di forze: sistema formato da due forze uguali e di verso opposto, aventi in generale una diversa retta di azione

La distanza tra le due rette di azione è detta braccio della coppia: b

Nel caso di una coppia di forze R=0, perché le forze sono uguali ed opposte

M è indipendente dalla scelta del polo O

^{Calcolo M}P1 rispetto a P₁  modulo F.b.sen 90^o e il segno è quello della figura

M è un vettore con le seguenti caratteristiche:

 direzione ortogonale al piano individuato dalle forze

 verso dato dalla regola della mano destra