CAPITOLO 4
Onde Elettromagnetiche
Politecnico di Bari Ingegneria Elettrica, Corso di Fisica 3 Prof. G. Iaselli
Dispositivo di Hertz
Onde elettromagnetiche Esperienza di Hertz
Sorgente di alimentazione che alimenta tramite un trasformatore due sfere C1 e C2. Tali sfere vengono caricate fino al valore di innesco della scarica delle sfere più piccole.
Vengono emessi un campo elettrico E e un campo magnetico B che si propagano nello spazio
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Rocchetto di Ruhmkorff
2
Onde elettromagnetiche
Ricevitore Emettitore (Spinterometro)
Oscillazioni di pulsazione con L e C capacità ed induttanza del circuito equivalente LC
= 1 ω
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Circuito equivalente
3
Esperienza di Hertz
Onde elettromagnetiche
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4
Esperienza di Hertz
Piano conduttore riflettente
Facendo muovere il ricevitore lungo l’asse x si visualizzano scintille secondarie più o meno evidenti
E’ come se si fosse formata
una onda stazionaria di
campo magnetico
ε = d Φ B dt
Massimo nei ventri Frequenti scintille
Onde elettromagnetiche
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Distanza fra un nodo e un v e n t r e λ / 4 . P o s s i a m o calcolare la lunghezza d’onda
Inoltre dalla frequenza delle scintille secondarie possiamo calcolare ω e quindi ω/k
5
Esperienza di Hertz
Minimo nei nodi
Nessuna scintilla
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Nel vuoto
0 )
( ∇ E ! ⋅ ! = 0 )
( ∇ B ! ⋅ ! =
t B E
∂
= ∂
∧
∇
! !
!
0
) 0
( µ ε
t E B
∂
− ∂
=
∧
∇
! !
! )
(
Equazioni di Maxwell Onde Elettromagnetiche
= 0 E
div !
= 0 B div !
t E B
rot ∂
− ∂
=
" !
t B E
rot ∂
= ∂
! !
0
0 ε
µ
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t E B
∂
− ∂
=
∧
∇
! !
! )
(
Equazioni D’Alambert per onde EM Onde Elettromagnetiche
t E B
∂
∧ ∂
∇
−
=
∧
∇
∧
∇
! !
!
!
! ( )
) (
)
( B
E ! t ! !
!
! ∇ ∧
∂
− ∂
=
∧
∇
∧
∇
t B E
∂
= ∂
∧
∇
! !
!
0
) 0
( µ ε
2 2 0
) 0
( t
E E
∂
− ∂
=
∧
∇
∧
∇
! !
!
! µ ε
E E
E ! ! ! ! !
!
! 2
) (
)
( ∇ ∧ = ∇ ∇ ⋅ − ∇
∧
∇
t E
E ! !
2 0
0 2
2 = 1 ∇
∂
∂
ε
µ
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Onde Elettromagnetiche
E E
E ! ! ! ! !
!
! 2
) (
)
( ∇ ∧ = ∇ ∇ ⋅ − ∇
∧
∇
) (
) (
)
( B C B A C C A B
A ! ! ! ! ! ! ! ! !
⋅
−
⋅
=
∧
∧
Proprietà del calcolo vettoriale
Da cui
C B A C
A B C
B
A ! ! ! ! ! ! ! ! ! ) (
) (
)
( ∧ = ⋅ − ⋅
∧
Dimostrazione……
Si può anche scrivere
Equazioni D’Alambert per onde EM
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Onde Elettromagnetiche
t E
E ! !
2 0
0 2
2 = 1 ∇
∂
∂
ε µ
x
x E
t
E 2
0 0 2
2 = 1 ∇
∂
∂
ε µ
y
y E
t
E 2
0 0 2
2 = 1 ∇
∂
∂
ε µ
z E z
t
E 2
0 0 2
2 = 1 ∇
∂
∂
ε µ
Ciascuna componente del campo elettrico soddisfa l’equazione D’Alambert
m/s 10 99792458 .
1 2
80 0
⋅
=
=
= c ε µ v
Equazioni D’Alambert per onde EM
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Onde Elettromagnetiche
t B
B ! !
2 0
0 2
2 = 1 ∇
∂
∂
ε µ
x B x
t
B 2
0 0 2
2 = 1 ∇
∂
∂
ε µ
y
y B
t
B 2
0 0 2
2 = 1 ∇
∂
∂
ε µ
z
z B
t
B 2
0 0 2
2 = 1 ∇
∂
∂
ε µ
Ciascuna componente del campo magnetico soddisfa l’equazione D’Alambert
t B E
∂
= ∂
∧
∇
! !
!
0
) 0
( µ ε
Analogamente da
Si ottiene
m/s 10 99792458 .
1 2
80 0
⋅
=
=
= c ε µ v
Equazioni D’Alambert per onde EM
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Onde Elettromagnetiche
In generale le equazioni
) (
0
t r k
e i
E
E ! = ! ⋅ ! − ω
k
c !
ω /
=
E t c
E ! !
2 2 2
2 = ∇
∂
∂ c B
t
B ! !
2 2 2
2 = ∇
∂
∂
) (
0
t r k
e i
B
B ! = ! ⋅ ! − ω
z z y
y x
x u k u k u
k
k " ⌢ ⌢ ⌢
+ +
=
hanno come soluzione
dove k !
c!
Equazioni D’Alambert per onde EM
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Onde Elettromagnetiche
x
x E
t
E 2
0 0 2
2 = 1 ∇
∂
∂
ε µ
Consideriamo ad esempio l’equazione per una componente del campo elettrico
)
( 2
2 2
2 2
2 2 2
2
x E y
E x
c E t
E x x x x
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∂
∂
Assumiamo soluzioni del tipo
) (
0
t r k i x
x E e
E = ! ⋅ ! − ω k k x u ⌢ x k y u ⌢ y k z u ⌢ z
"
+ +
=
Sostituendo si trova
0 0
1 µ
= ε c
k c !
ω =
Equazioni D’Alambert per onde EM
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Onde Elettromagnetiche
) (
0
t r k
e i
E
E ! = ! ⋅ ! − ω
0 )
( ∇ E ! ⋅ ! = Ricordiamo che
= 0
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
z E y
E x
E x y z
) (
0
t r k i x
x E e
E = ! ⋅ ! − ω
) (
0
t r k i y
y E e
E = ! ⋅ ! − ω
) (
0
t r k i z
z E e
E = ! ⋅ ! − ω
Sostituendo
= 0 +
+ y y z z
x
x E ik E ik E
ik
= 0
⋅ E k " !
P roprietà onde EM
k !
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Onde Elettromagnetiche
) (
0
t r k
e i
B
B ! = ! ⋅ ! − ω
0 )
( ∇ B ! ⋅ ! = Ricordiamo che
= 0
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
z B y
B x
B x y z
) (
0
t r k i x
x B e
B = ! ⋅ ! − ω
) (
0
t r k i y
y B e
B = ! ⋅ ! − ω
) (
0
t r k i z
z B e
B = ! ⋅ ! − ω
Sostituendo
= 0
⋅ B k " !
= 0 +
+ y y z z
x
x B ik B ik B
ik
P roprietà onde EM
k !
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Onde Elettromagnetiche
t E B
∂
− ∂
=
∧
∇
! !
! )
(
(ik y E z − ik z E y ) = i ω B x
B E
k " ! !
ω
=
∧ kE = ω B
P roprietà onde EM
( !
∇ ∧ !
E)
x= − ∂ B !
x∂t
(ik z E x − ik x E z ) = i ω B y
( !
∇ ∧ !
E)
y= − ∂ ! B
y∂t
(ik x E y − ik y E x ) = i ω B z
( !
∇ ∧ !
E)
z= − ∂ ! B
z∂t
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Onde Elettromagnetiche
= 0
⋅ B E ! !
t E B
∂
− ∂
=
∧
∇
! !
! )
( k " ∧ E ! = ω B !
B kE = ω
cB E =
P roprietà onde EM
k !
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Onde Elettromagnetiche
B E
k " ! !
ω
=
∧ ) 1 (
E k
E B
E ! ! ! " !
∧
∧
=
∧ ω
) 1 (
) 1 (
k E E E
E
k ! " " " " !
⋅
−
⋅
= ω ω
c k E E
k " 2 2 ⌢
1 =
= ω
k ⌢ B
E ! !
∧ nella direzione di propagazione
P roprietà onde EM
Onde elettromagnetiche
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E e B si propagano nel vuoto con la velocità
I moduli dei campi sono legati dalla relazione B = E/c
E e B sono ortogonali tra loro ed alla direzione di propagazione
Il prodotto vettoriale fornisce il verso di propagazione
m/s 10
3
1 0 0 = ⋅ 8
= ε µ c
B E ! !
∧
18
P roprietà onde EM
Onde EM piane
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Onde Elettromagnetiche
Propagazione lungo asse x Campo elettrico lungo asse y Campo magnetico lungo asse z
z
B B B
cB E =
y t
kx
i u
e E
E " ( ) ⌢
0 − ω
= B " = B 0 e i ( kx − ω t ) u ⌢ z
Caso semplificato
E ed B dipendono solo da x
Onde elettromagnetiche
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uˆ
zuˆ
xuˆ
y= 0
⋅ B E ! !
u x
EB B
E ! × ! = ˆ
Bc E =
20
Onde EM piane
y t
kx
i u
e E
E " ( ) ⌢
0 − ω
= B " = B 0 e i ( kx − ω t ) u ⌢ z
Onde EM piane
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Onde Elettromagnetiche
z t kx i z y
t kx i
y e u E e u
E
E " ⌢ ( ) ⌢
0 )
(
0 − ω + − ω
=
z t kx i z y
t kx i
y e u B e u
B
B " ⌢ ( ) ⌢
0 )
(
0 − ω + − ω
=
z
E
B B
B E
E
In generale
Propagazione lungo asse x Campo elettrico nel piano y-z Campo magnetico nel piano y-z
B E ! !
⊥
E ed B dipendono solo da x
Onde EM piane
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Onde Elettromagnetiche
z
E
B B
B E
E
Ricordando
E ed B dipendono solo da x
B E
k " ! !
ω
=
∧
y
z B
kE = ω
−
si ottiene
u x
k k " ⌢
=
z
y B
kE = ω
da cui
c B y = − E z
c B z = E y
z y
z y u
c u E
c
B ! = − E ˆ + ˆ
Onde EM piane
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Onde Elettromagnetiche
z z y
y u E u
E
E ! = ˆ + ˆ
z y
z y u
c u E
c
B ! = − E ˆ + ˆ
Se
Si verifichi che
= 0
⋅ B E ! !
cB E =
ne propagazio di
direzione nella
B E ! !
∧
Onde EM piane
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Onde Elettromagnetiche
t E B
∂
− ∂
=
∧
∇
! !
! )
( ( ) ∇ ! × E !
x= ∂ ∂ E y
z− ∂ ∂ E z
y= − ∂ ∂ B t
x⇒ ∂ ∂ B t
x= 0
( ) ∇ ! × E !
y= ∂ ∂ E z
x− ∂ ∂ E x
z= − ∂ ∂ B t
y⇒ ∂ ∂ B t
y= ∂ ∂ E x
z( ) ∇ " × E !
z= ∂ ∂ E x
y− ∂ ∂ E y
x= − ∂ ∂ B t
z⇒ ∂ ∂ B t
z= − ∂ ∂ E x
yt B E
∂
= ∂
∧
∇
! !
!
0
) 0
( µ ε
( ) ∇ ×
z= ∂ ∂ B x
y− ∂ ∂ B y
x= ∂ ∂ E t
z⇒ ∂ ∂ E t
z= ∂ ∂ B x
y0 0 0
0
B 1
µ µ ε
! ε
!
( ) ∇ ×
y= ∂ ∂ B z
x− ∂ ∂ B x
z= ∂ ∂ E t
y⇒ ∂ ∂ E t
y= − ∂ ∂ B x
z0 0 0
0
1
B ! ε µ ε µ
!
( ) ∇ ! × B !
x= ∂ ∂ B y
z− ∂ ∂ B z
y= ε
0µ
0∂ ∂ E t
x⇒ ∂ ∂ E t
x= 0
Onde EM piane
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Onde Elettromagnetiche
x E t
B y z
∂
= ∂
∂
∂ E z E z e i ( kx t ) u ⌢ z
0 − ω
=
∫ ∂ ∂
= dt
x B y E z
) (
0
t kx i z
z ikE e
x
E − ω
∂ =
∂
) (
∫ 0 −
= ikE e dt
B y z i kx ω t B y = − kE 0 z
ω e i(kx−
ω t )
d i(kx [ − ω t) ]
∫
B y = − kE 0 z ω e
i(kx − ω t )
B y = − E 0 z
c e i(kx − ω t )
Onde EM piane
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Onde Elettromagnetiche
y t kx i y
y E e u
E ( ) ⌢
0 − ω
=
∫ ∂ ∂
−
= dt
x B z E y
) (
0
t kx i y
y ikE e
x
E − ω
∂ =
∂
) (
∫ 0 −
−
= ikE e dt
B z z i kx ω t B z = kE 0 y
ω e
i(kx − ω t )
d i(kx [ − ω t) ]
∫
B z = kE 0 y
ω e i(kx− ω t ) B z =
E 0 y
c e i(kx− ω t ) x
E t
B z y
∂
− ∂
∂ =
∂
Equazioni di Maxwell
Politecnico di Bari Ingegneria Elettrica, Corso di Fisica Sperimentale Prof. G. Iaselli
Assumiamo che il campo elettrico E e il campo magnetico B dipendano, in un dato sistema di riferimento cartesiano, solo dal tempo e dalla coordinata x, assumendo pertanto lo stesso valore nei punti di un piano ortogonale all’asse x.
In questa ipotesi sono nulle tutte le derivate parziali rispetto a y e z 0
0
) E
( =
∂
⇒ ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
⋅
∇ x
E z
E y
E x
E
x y z x!
!
( ) ∇ ! × E !
x= ∂ ∂ E y
z− ∂ ∂ E z
y= − ∂ ∂ B t
x⇒ ∂ ∂ B t
x= 0 ( ) ∇ ! × E !
y= ∂ ∂ E z
x− ∂ ∂ E x
z= − ∂ ∂ B t
y⇒ ∂ ∂ B t
y= ∂ ∂ E x
z( ) ∇ " × E !
z= ∂ ∂ E x
y− ∂ ∂ E y
x= − ∂ ∂ B t
z⇒ ∂ ∂ B t
z= − ∂ ∂ E x
yE x (x, t), E y (x, t), E z (x, t)
Proprietà onde EM
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Similmente
B x (x, t), B y (x, t), B z (x, t)
( ) ∇ ×
z= ∂ ∂ B x
y− ∂ ∂ B y
x= ∂ ∂ E t
z⇒ ∂ ∂ E t
z= ∂ ∂ B x
y0 0 0
0
B 1
µ µ ε
! ε
!
( ) ∇ ×
y= ∂ ∂ B z
x− ∂ ∂ B x
z= ∂ ∂ E t
y⇒ ∂ ∂ E t
y= − ∂ ∂ B x
z0 0 0
0
1
B ! ε µ ε µ
!
( ) ∇ ! × B !
x= ∂ ∂ B y
z− ∂ ∂ B z
y= ε
0µ
0∂ ∂ E t
x⇒ ∂ ∂ E t
x= 0
0
0 )
B
( =
∂
⇒ ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
⋅
∇ x
B z
B y
B x
B
x y z x!
!
Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM
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La componente E x (x, t) del campo elettrico è costante.
Un campo del genere potrebbe essere prodotto da una distribuzione di cariche stazionarie; dato però che non consideriamo l’esistenza di sorgenti di questo tipo, in quanto interessati a campi variabili nel tempo, concludiamo che:
E x (x, t) = 0
= 0
∂
∂ E x x
= 0
∂
∂ E x t
= 0
∂
∂ B x x
= 0
∂
∂ B x t
Analogamente, dall’esclusione di correnti stazionarie, si conclude che:
B x (x, t) = 0
Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM
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t B x
E z y
∂
= ∂
∂
∂
t B x
E y z
∂
− ∂
∂ =
∂
x B t
E z y
∂
= ∂
∂
∂
0 0
1 µ ε
x B t
E y z
∂
− ∂
∂ =
∂
εµ 1
t x
B x
E z y
∂
∂
= ∂
∂
∂ 2
2 2
x t
B t
E z y
∂
∂
= ∂
∂
∂ 2
0 0 2
2 1
µ ε
2 2
0 0 2
2 1
x E t
E z z
∂
= ∂
∂
∂
µ ε
Derivando rispetto a x
Derivando rispetto a t si ha:
Derivando rispetto a t
Derivando rispetto a x si ha:
2 2
0 0 2
2 1
x B t
B z z
∂
= ∂
∂
∂
µ ε
2 2 2
t B x
t
E y z
∂
− ∂
∂ =
∂
∂
2 2
0 0
2
1
x B t
x
E
y z∂
− ∂
∂ =
∂
∂
µ ε
Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM
Equazioni di Maxwell
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2 2
0 0 2
2 1
x E t
E y y
∂
= ∂
∂
∂
µ
ε 2
2
0 0 2
2 1
x B t
B y y
∂
= ∂
∂
∂
µ ε
Se invertiamo l’ordine delle derivate, si ottiene
Ognuna delle componenti del campo elettrico E e del campo magnetico B soddisfa all’equazione differenziale delle onde piane:
t v x
t 2
2 0
0 2
2 2 2
2 1
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
∂ ξ
µ ε ξ
ξ (ξ = E y , E z , B y , B z )
m/s 10 99792458 .
1 2 8
0 0
⋅
=
=
= c ε µ v
Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM
Equazioni di Maxwell
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Supponiamo il campo elettrico solo lungo l’asse y
Le soluzioni dell’equazione d’Alambert devono essere del tipo:
y y u E E ! = ˆ
y
y x ct u
E
E ! = ( − ) ˆ
z z
y
y x ct u B x ct u
B
B ! = ( − ) ˆ + ( − ) ˆ
t B x
E y z
∂
− ∂
∂ =
Da ∂
Definito u = x – ct l’argomento delle funzioni, si ottiene:
= 1
∂
∂ u x ∂ u ∂ t = − c
u E x
u u
E x
E t
B z y y y
∂
− ∂
∂ =
∂
∂
− ∂
∂ =
− ∂
∂ =
∂
Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM
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Integrando
∂B z
∂t = − ∂E y
∂u
costante
∫ ∂ ∂ = − ∫ ∂ ∂ = 1 ∫ ∂ ∂ = +
= c
du E u E dt c
u dt E
t
B z B z y y y
c B z = E y
t B x
E z y
∂
= ∂
∂
∂
Analogamente da
c B y = − E z
= 0
Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM
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Più in generale se si trova
z z y
y u E u
E
E ! = ˆ + ˆ
z z y
y u B u
B
B ! = ˆ + ˆ z y y u z
c u E
c
B ! = − E ˆ + ˆ
( )
B c cB E
c E B E
c E E
c E B
B
B y z y z
=
=
=
= +
= +
=
,
,
1
2 2 2
2 2
2 2
2
( )
0 B E
B 1 E
=
⋅
⇒
+
−
= +
=
⋅
!
!
!
!
y z z
y z
z y
y E E E E
B c E B
Inoltre E
x y
z
Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM
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Calcoliamo il prodotto vettoriale fra E e B
z z y
y u E u
E
E ! = ˆ + ˆ
z y
z y u
c u E
c
B ! = − E ˆ + ˆ
( )
x x
2 x
2
x 2 2
z y
x
uˆ uˆ
uˆ B
E
1 uˆ 0
0
uˆ uˆ
uˆ B
E
EB c cB
E
E c E
c E c
E
E
E y z
z y
z y
=
=
=
×
⇒ +
=
−
=
×
!
!
!
!
Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM
Onde EM in mezzi materiali
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0 )
( ∇ E ! ⋅ ! =
0 )
( ∇ B ! ⋅ ! =
t B E
∂
= ∂
∧
∇
! !
! ) µε
t (
E B
∂
− ∂
=
∧
∇
! !
! )
(
1 2
= v
µε
In un mezzo di costante dielettrica ε e permeabilità magnetica µ (ma sempre in assenza di sorgenti):
Onde Elettromagnetiche
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r r r
r
v c
µ ε µ
ε µ
ε
εµ = =
= 1 1 1
0 0
c v <
= 1 µ r
r
v c
= ε
v r
n = c = ε
Nella maggioranza dei mezzi ordinari
Definiamo
n Z Z Z
r
0 0 =
=
= ε ε
µ
Ω
=
= 377
0 0 ε µ 0
Z
Indice di rifrazione del mezzo
Impedenza del vuoto
Impedenza del mezzo
Onde Elettromagnetiche Onde EM in mezzi materiali
Si formano onde stazionarie
y
o kx ωt u
E
E ! = 2 sin( ) cos( ) ˆ
Onde elettromagnetiche
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y
o kx ωt u
E
E ! = sin( − ) ˆ
38
Esperienza di Hertz
Il campo elettrico nel conduttore
deve essere nullo. Il piano
conduttore rappresenta un nodo
dell’onda stazionaria
Onde elettromagnetiche
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39
Esperienza di Hertz
y
o kx ωt u
E
E ! = 2 sin( ) cos( ) ˆ
c B 0 = E 0
u z
t sen c kx
B ! = 2 E 0 cos( ) ( ω ) ˆ t
B x
E y ∂ = −∂ z ∂
∂ / /
ε = d Φ B
dt = 2E 0 Σ ω
c cos(kx)cos( ω t)
Massimo nei ventri ε = 2 E 0 Σ ω / c
Minimo nei nodi ε = 0
Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting
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La presenza di un campo elettrico e di un campo di induzione magnetica in un mezzo omogeneo e isotropo comporta la presenza di una certa quantità di energia distribuita nello spazio, la cui densità per il campo elettrico e magnetico è data da:
0 2 2
0 2
1 2
1
ε E B µ
u = +
0
1 ε 0 µ
= c
c B = E
2 0 E u = ε
0 2
µ u = B
L’energia associata all’onda è per metà dovuta al campo di induzione magnetica e per metà dovuta al campo elettrico
40
u = 1
2 ε 0 E ! ⋅ !
E + 1 2
B ! ⋅ ! B µ 0
Possiamo anche scrivere
Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting
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41
u = 1
2 ε 0 E ! ⋅ !
E + 1 2
B ! ⋅ ! B µ 0
∂u
∂t = ε 0 E ! ⋅ ∂ E !
∂t + B !
µ 0 ⋅ ∂ B !
∂t
( !
∇ ∧ !
E) = − ∂ B !
∂t ( !
∇ ∧ !
B) = µ
0ε
0∂ E !
∂t Ricordando che
∂u
∂t = 1 µ 0 (
E ! ⋅( !
∇ ∧ !
B) − !
B ⋅( !
∇ ∧ ! E))
∂u
∂t = 1 µ 0
∇⋅( ! !
B ∧ ! E)
Utilizzando la proprietà
∇ ⋅( ! !
A
1∧ !
A
2) = !
A
2⋅( !
∇ ∧ !
A
1) − !
A
1⋅( !
∇ ∧ !
A
2)
Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting
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42
∂u
∂t = 1 µ 0
∇⋅( ! !
B ∧ ! E)
Calcoliamo l’energia per unità di tempo in un volume τ
∂U
∂t = 1 µ 0
∇⋅( ! !
B ∧ ! E)
sup ∫ d τ
F ! ⋅ d !
sup Σ
"∫ = ( ∫ τ ∇⋅ ! F)d ! τ
Per il teorema della divergenza
∂U
∂t = 1 µ 0 (
B ! ∧ ! E)
∫ Σ ⋅ d Σ ! ′
Σ ! !
′ Σ τ
( !
B ∧ !
E)
Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting
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43
∂U
∂t = 1 µ 0 (
B ! ∧ ! E)
∫ Σ ⋅ d Σ ! ′
∂U
∂t = 1 µ 0 (
E ! ∧ ! B)
∫ Σ ⋅ d Σ !
Σ ! !
′ Σ τ
( !
E ∧ ! B) d !
Σ = −d ′ ! Σ ( !
B ∧ !
E) = −( !
E ∧ ! B)
Energia per unità di tempo entrante nel volume τ attraverso la superficie Σ
Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting
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44
∂U
∂t = 1 µ 0 (
E ! ∧ ! B)
∫ Σ ⋅ d Σ !
∂U
∂t∂Σ = 1 µ 0 (
E ! ∧ !
B) Intensità delle onde EM
S ! = 1 µ 0 (
E ! ∧ !
B) Vettore di Poynting Potenza
[ ] S = [ Watt/m
2]
Σ ! !
′ Σ τ
( !
E ∧ !
B)
Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting
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La presenza di un campo elettrico e di un campo di induzione magnetica in un mezzo omogeneo e isotropo comporta la presenza di una certa quantità di energia distribuita nello spazio, la cui densità per il campo elettrico e magnetico è data da:
0 2 2
0 2
1 2
1
ε E B µ
u = +
0
1 ε 0 µ
= c
c B = E
2 0 E u = ε
0 2
µ u = B
L’energia associata all’onda è per metà dovuta al campo di induzione magnetica e per metà dovuta al campo elettrico
dt c
E cdt
u ud
dU = τ = Σ = ε 0 2 Σ
45
Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting
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dt c
E cdt
u ud
dU = τ = Σ = ε 0 2 Σ
Potenza che attraversa Σ P = dU / dt = ε 0 E 2 c Σ
Definiamo il vettore S S ! o E 2 c !
ε
=
La potenza è il flusso del vettore S = ! ⋅ Σ ! S P
u x
EB c
B E
S 1 2 ˆ
0 0
µ ∧ = ε
= ! !
!
Vettore di Poynting
[ ] S = [ Watt/m
2]
46
Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting
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u x
EB c
B E
S 1 2 ˆ
0 0
µ ∧ = ε
= ! !
!
x
x E c u
c u E E c
S ! = ε 0 2 ˆ = ε 0 2 ˆ
Intensità= densità di energia * velocità
47
( ∧ ) ⋅ Σ
= Σ
⋅
= ∫ ∫
Σ Σ
!
!
!
! !
d B E
d S P
0
1 µ
Il vettore S ha direzione e verso coincidenti con quelli della velocità di propagazione dell’onda e il suo modulo rappresenta l’energia elettromagnetica che per unità di tempo passa attraverso l’unità di superficie ortogonale alla direzione di propagazione
Σ ! !
′ Σ τ
( !
E ∧ !
B)
Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting
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u y
t kx
E
E ! = 0 cos( − ω ) ˆ
Consideriamo
) (
cos 2
2 0
0 cE kx t
S = ε − ω
Calcoliamo il valore medio < S >= ε 0 c < E 0 2 cos 2 ( kx − ω t ) >
2 0 0 0
2 2
0
0 2
) 1 (
1 cos
cE dt
t T kx
cE S
T ω ε
ε − =
>=
< ∫ Intensità
48
Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting
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Densità media di energia
c E
I
S )
2
( 1 ε 0 0 2
=
>=
<
Velocità
Nel caso più generale
z z
y
y kx t u E kx t u
E
E ! = 0 cos( − ω ) ˆ + 0 cos( − ω ) ˆ
) 2 (
1 2
0 2
0
0 c E y E z
I
S >= = +
< ε
49
I = E 0 2 2Z 0
I = E 0 y 2
2Z 0 + E 0 z 2
2Z 0 = E 0 2 2Z 0
y
z
E 0 y E 0 z
E 0
Onde elettromagnetiche Onda sferica
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u r
t kr
r E t
r
E ! ( , ) = 0 ( ) cos( − ω ) ˆ
Potenza media attraverso una sfera di raggio r
< P >= 1
2 ε 0 cE 0 2 (r) 4 π r 2
2 2 0 0
2 1
r c E I = ε
50
E(r, t) ! = (E 0 / r 2 )cos(kr − ω t) ˆu r
Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione
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Oltre a trasportare energia, le onde elettromagnetiche possono anche trasportare quantità di moto, ovvero è possibile esercitare una pressione detta di “radiazione” su un oggetto illuminandolo.
Superficie piana Σ ortogonale alla direzione di propagazione dell’onda. Una carica elettrica con densità superficiale σ è distribuita sulla superficie
La forza di Lorentz per unità di superficie, esercitata dai campi che costituiscono l’onda, è
( E v B )
F ! ! ! !
× +
= σ
σ σ
υ σ è la velocità comunicata alle cariche dalla forza elettrica
51
Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione
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