CAPITOLO 4 Onde Elettromagnetiche

(1)

CAPITOLO 4

Onde Elettromagnetiche

Politecnico di Bari Ingegneria Elettrica, Corso di Fisica 3 Prof. G. Iaselli

(2)

Nel vuoto

0 )

( ∇ E ! ⋅ ! = 0 )

( ∇ B ! ⋅ ! =

t B E

∂

= ∂

∧

∇

! !

!

0 ) 0

( µ ε

t E B

∂

− ∂

=

∧

∇

! !

! )

(

Equazioni di Maxwell Onde Elettromagnetiche

= 0 E

div !

= 0 B div !

t E B

rot ∂

− ∂

=

" !

t B E

rot ∂

= ∂

! !

0 0 ε

µ

(3)

t E B

∂

− ∂

=

∧

∇

! !

! )

(

Equazioni D’Alambert per onde EM Onde Elettromagnetiche

t E B

∂

∧ ∂

∇

−

=

∧

∇

∧

∇

! !

!

! ( )

) (

)

( B

E ! t ! !

!

! ∇ ∧

∂

− ∂

=

∧

∇

∧

∇

t B E

∂

= ∂

∧

∇

! !

!

0 ) 0

( µ ε

2 2 0

) 0

( t

E E

∂

− ∂

=

∧

∇

∧

∇

! !

!

! µ ε

E E

E ! ! ! ! !

!

! ₂

) (

)

( ∇ ∧ = ∇ ∇ ⋅ − ∇

∧

∇

t E

E ! !

2 0

0 2

2 = 1 ∇

∂

ε

µ

(4)

Onde Elettromagnetiche

E E

E ! ! ! ! !

!

! ₂

) (

)

( ∇ ∧ = ∇ ∇ ⋅ − ∇

∧

∇

) (

)

( B C B A C C A B

A ! ! ! ! ! ! ! ! !

⋅

−

⋅

=

∧

Proprietà del calcolo vettoriale

Da cui

C B A C

A B C

B

A ! ! ! ! ! ! ! ! ! ) (

) (

)

( ∧ = ⋅ − ⋅

∧

Dimostrazione……

Si può anche scrivere

Equazioni D’Alambert per onde EM

(5)

Onde Elettromagnetiche

t E

E ! !

2 0

0 2

2 = 1 ∇

∂

ε µ

x

x E

t

E ₂

0 0 2

2 = 1 ∇

∂

ε µ

y

y E

t

E ₂

0 0 2

2 = 1 ∇

∂

ε µ

z E z

t

E ₂

0 0 2

2 = 1 ∇

∂

ε µ

Ciascuna componente del campo elettrico soddisfa l’equazione D’Alambert

m/s 10 99792458 .

1 2

₈

0 0

⋅

=

= ^c ε µ v

Equazioni D’Alambert per onde EM

(6)

Onde Elettromagnetiche

t B

B ! !

2 0

0 2

2 = 1 ∇

∂

ε µ

x B x

t

B ₂

0 0 2

2 = 1 ∇

∂

ε µ

y

y B

t

B ₂

0 0 2

2 = 1 ∇

∂

ε µ

z

z B

t

B ₂

0 0 2

2 = 1 ∇

∂

ε µ

Ciascuna componente del campo elettrico soddisfa l’equazione D’Alambert

t B E

∂

= ∂

∧

∇

! !

!

0 ) 0

( µ ε

Analogamente da

Si ottiene

m/s 10 99792458 .

1 2

₈

0 0

⋅

=

= ^c ε µ v

Equazioni D’Alambert per onde EM

(7)

Onde Elettromagnetiche

In generale le equazioni

) (

0 t r k

e i

E

E ! = ^! ^⋅ ^! ⁻ ^ω

k

c !

ω /

=

E t c

E ! !

2 2 2

2 = ∇

∂

∂ c B

t

B ! !

2 2 2

2 = ∇

∂

) (

0 t r k

e i

B

B ! = ^! ^⋅ ^! ⁻ ^ω

z z y

y x

x u k u k u

k

k " ⌢ ⌢ ⌢

+ +

=

hanno come soluzione

dove k !

c!

Equazioni D’Alambert per onde EM

(8)

Onde Elettromagnetiche

x

x E

t

E ₂

0 0 2

2 = 1 ∇

∂

ε µ

Consideriamo ad esempio l’equazione per una componente del campo elettrico

)

( ₂

2 2

2 2 2

2 x E y

E x

c E t

E _x _x _x _x

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

Assumiamo soluzioni del tipo

) (

0 t r k i x

x E e

E = ^! ^⋅ ^! ⁻ ^ω ^k ^k ^x û ^⌢ ^x ^k ^y û ^⌢ ^y ^k ^z û ^⌢ ^z

"

+ +

=

Sostituendo si trova

0 0

1 µ

= ε c

k c !

ω =

Equazioni D’Alambert per onde EM

(9)

Onde Elettromagnetiche

) (

0 t r k

e i

E

E ! = ^! ^⋅ ^! ⁻ ^ω

0 )

( ∇ E ! ⋅ ! = Ricordiamo che

= 0

∂ + ∂

∂

z E y

E x

E x y _z

) (

0 t r k i x

x E e

E = ^! ^⋅ ^! ⁻ ^ω

) (

0 t r k i y

y E e

E = ^! ^⋅ ^! ⁻ ^ω

) (

0 t r k i z

z E e

E = ^! ^⋅ ^! ⁻ ^ω

Sostituendo

= 0 +

+ _y _y _z _z

x

x E ik E ik E

ik

= 0

⋅ E k " !

P roprietà onde EM

k !

(10)

Onde Elettromagnetiche

) (

0 t r k

e i

B

B ! = ^! ^⋅ ^! ⁻ ^ω

0 )

( ∇ B ! ⋅ ! = Ricordiamo che

= 0

∂ + ∂

∂

z B y

B x

B x y _z

) (

0 t r k i x

x B e

B = ^! ^⋅ ^! ⁻ ^ω

) (

0 t r k i y

y B e

B = ^! ^⋅ ^! ⁻ ^ω

) (

0 t r k i z

z B e

B = ^! ^⋅ ^! ⁻ ^ω

Sostituendo

= 0

⋅ B k " !

= 0 +

+ _y _y _z _z

x

x B ik B ik B

ik

P roprietà onde EM

k !

(11)

Onde Elettromagnetiche

= 0

⋅ B E ! !

t E B

∂

− ∂

=

∧

∇

! !

! )

(

t E B

z y

x ∂

− ∂

=

∂ ∧

∂

∂ !

) ! ,

, (

B i

E ik

ik

ik _x _y _z ! !

) (

) ,

,

( ∧ = − − ω

B E

k " ! !

ω

=

∧

B kE = ω

cB E =

P roprietà onde EM

k !

(12)

Onde Elettromagnetiche

B E

k " ! !

ω

=

∧ ) 1 (

E k

E B

E ! ! ! " !

∧

=

∧ ω

) 1 (

k E E E

E

k ! " " " " !

⋅

−

⋅

= ω ω

c k E E

k " ₂ ² ⌢

1 =

= ω

k ⌢ B

E ! !

∧ nella direzione di propagazione

P roprietà onde EM

(13)

Onde elettromagnetiche

E e B si propagano nel vuoto con la velocità

I moduli dei campi sono legati dalla relazione B = E/c

E e B sono ortogonali tra loro ed alla direzione di propagazione Il prodotto vettoriale fornisce il verso di propagazione

m/s 10

3 1 ₀ ₀ = ⋅ ⁸

= ε µ c

B E ! !

∧

13 P roprietà onde EM

(14)

Onde EM piane

Onde Elettromagnetiche

Propagazione lungo asse x Campo elettrico lungo asse y Campo magnetico lungo asse z

z

B B B

cB E =

y t

kx

i u

e E

E " ₍ ₎ ⌢

0 − ω

= ^B ^" = ^B ₀ ^e ⁱ ⁽ ^kx ⁻ ^ω ^t ⁾ ^u ^⌢ _z

Caso semplificato

E ed B dipendono solo da x

(15)

Onde elettromagnetiche

uˆ

z

uˆ

x

uˆ

y

= 0

⋅ B E ! !

u x

EB B

E ! × ! = ˆ

Bc E =

15 Onde EM piane

y t

kx

i u

e E

E " ₍ ₎ ⌢

0 − ω

= ^B ^" = ^B ₀ ^e ⁱ ⁽ ^kx ⁻ ^ω ^t ⁾ ^u ^⌢ _z

(16)

Onde EM piane

Onde Elettromagnetiche

z t kx i z y

t kx i

y e u E e u

E

E " ⌢ ₍ ₎ ⌢

0 )

(

0 ⁻ ω + ⁻ ω

=

z t kx i z y

t kx i

y e u B e u

B

B " ⌢ ₍ ₎ ⌢

0 )

(

0 − ω + − ω

=

z

E

B B

B E

E

In generale

Propagazione lungo asse x Campo elettrico nel piano y-z Campo magnetico nel piano y-z

B E ! !

⊥

E ed B dipendono solo da x

(17)

Onde EM piane

Onde Elettromagnetiche

z

E

B B

B E

E

Ricordando

E ed B dipendono solo da x

B E

k " ! !

ω

=

∧

y

z B

kE = ω

−

si ottiene

u x

k k " ⌢

=

z

y B

kE = ω

da cui

c B _y = − E ^z

c B _z = E ^y

z y

z y u

c u E

c

B ! = − E ˆ + ˆ

(18)

Onde EM piane

Onde Elettromagnetiche

z z y

y u E u

E

E ! = ˆ + ˆ

z y

z y u

c u E

c

B ! = − E ˆ + ˆ

Se

Si verifichi che

= 0

⋅ B E ! !

cB E =

ne propagazio di

direzione nella

B E ! !

∧

(19)

Onde EM piane

Onde Elettromagnetiche

t E B

∂

− ∂

=

∧

∇

! !

! )

( ( ) ^∇ ^! ^× ^E ^!

^x

⁼ ^∂ _∂ ^E _y

^z

⁻ ^∂ _∂ ^E _z

^y

⁼ ⁻ ^∂ _∂ ^B _t

^x

^⇒ ^∂ _∂ ^B _t

^x

⁼ ⁰

( ) ^∇ ^! ^× ^E ^!

^y

⁼ ^∂ _∂ ^E _z

^x

⁻ ^∂ _∂ ^E _x

^z

⁼ ⁻ ^∂ _∂ ^B _t

^y

^⇒ ^∂ _∂ ^B _t

^y

⁼ ^∂ _∂ ^E _x

^z

( ) ^∇ ^" ^× ^E ^!

^z

⁼ ^∂ _∂ ^E _x

^y

⁻ ^∂ _∂ ^E _y

^x

⁼ ⁻ ^∂ _∂ ^B _t

^z

^⇒ ^∂ _∂ ^B _t

^z

⁼ ⁻ ^∂ _∂ ^E _x

^y

t B E

∂

= ∂

∧

∇

! !

!

0 ) 0

( µ ε

( ) ^∇ ^×

^z

⁼ ^∂ _∂ ^B _x

^y

⁻ ^∂ _∂ ^B _y

^x

⁼ ^∂ _∂ ^E _t

^z

^⇒ ^∂ _∂ ^E _t

^z

⁼ ^∂ _∂ ^B _x

^y

0 0 0

0

B 1

µ µ ε

! ε

!

( ) ^∇ ^×

^y

⁼ ^∂ _∂ ^B _z

^x

⁻ ^∂ _∂ ^B _x

^z

⁼ ^∂ _∂ ^E _t

^y

^⇒ ^∂ _∂ ^E _t

^y

⁼ ⁻ ^∂ _∂ ^B _x

^z

0 0 0

0

1 B ^! ε µ ε µ

!

( ) ^∇ ^! ^× ^B ^!

^x

⁼ ^∂ _∂ ^B _y

^z

⁻ ^∂ _∂ ^B _z

^y

⁼ ^ε

⁰

^µ

⁰

^∂ _∂ ^E _t

^x

^⇒ ^∂ _∂ ^E _t

^x

⁼ ⁰

(20)

Onde EM piane

Onde Elettromagnetiche

x E t

B _y _z

∂

= ∂

∂

∂ E ^z E ^z e ⁱ ⁽ ^kx ^t ⁾ u ⌢ ^z

0 − ω

=

∫ ^∂ _∂

= dt

x B _y E ^z

) (

0 t kx i z

z ikE e

x

E ₋ _ω

∂ =

∂

) (

∫ 0 ⁻

= ikE e dt

B _y _z ⁱ ^kx ^ω ^t ^B ^y ⁼ ⁻ ⁱ ² ^kE _ω ⁰ ^z ∫ ^e ⁱ ⁽ ^kx ⁻ ^ω ^t ⁾ ^d [ ⁱ ⁽ ^kx ⁻ ^ω ^t ⁾ ]

) 0 z i ( kx t

y kE e

B ^ω

ω ⁻

= _y ⁰ ^z e ⁱ ⁽ ^kx ^t ⁾ c

B = E ⁻ ^ω

(21)

Onde EM piane

Onde Elettromagnetiche

y t kx i y

y E e u

E ⁽ ⁾ ⌢

0 − ω

=

∫ ^∂ _∂

−

= dt

x B _z E ^y

) (

0 t kx i y

y ikE e

x

E ₋ _ω

∂ =

∂

) (

∫ 0 ⁻

−

= ikE e dt

B _z _z ⁱ ^kx ^ω ^t ^B ^z ⁼ ⁱ ² ^kE _ω ⁰ ^y ∫ ^e ⁱ ⁽ ^kx ⁻ ^ω ^t ⁾ ^d [ ⁱ ⁽ ^kx ⁻ ^ω ^t ⁾ ]

) 0 y i ( kx t

z kE e

B ^ω

ω ⁻

−

= _z ⁰ ^y e ⁱ ⁽ ^kx ^t ⁾

c

B = − E ⁻ ^ω x

E t

B z y

∂

− ∂

∂ =

∂

(22)

Equazioni di Maxwell

Politecnico di Bari Ingegneria Elettrica, Corso di Fisica Sperimentale Prof. G. Iaselli

Assumiamo che il campo elettrico E e il campo magnetico B dipendano, in un dato sistema di riferimento cartesiano, solo dal tempo e dalla coordinata x, assumendo pertanto lo stesso valore nei punti di un piano ortogonale all’asse x.

In questa ipotesi sono nulle tutte le derivate parziali rispetto a y e z 0

0 ) E

( =

∂

⇒ ∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

⋅

∇ x

E z

E y

E x

E

x y _z _x

!

( ) ^∇ ^! ^× ^E ^!

^x

⁼ ^∂ _∂ ^E _y

^z

⁻ ^∂ _∂ ^E _z

^y

⁼ ⁻ ^∂ _∂ ^B _t

^x

^⇒ ^∂ _∂ ^B _t

^x

⁼ ⁰ ( ) ^∇ ^! ^× ^E ^!

^y

⁼ ^∂ _∂ ^E _z

^x

⁻ ^∂ _∂ ^E _x

^z

⁼ ⁻ ^∂ _∂ ^B _t

^y

^⇒ ^∂ _∂ ^B _t

^y

⁼ ^∂ _∂ ^E _x

^z

( ) ^∇ ^" ^× ^E ^!

^z

⁼ ^∂ _∂ ^E _x

^y

⁻ ^∂ _∂ ^E _y

^x

⁼ ⁻ ^∂ _∂ ^B _t

^z

^⇒ ^∂ _∂ ^B _t

^z

⁼ ⁻ ^∂ _∂ ^E _x

^y

E _x (x, t), E _y (x, t), E _z (x, t)

Proprietà onde EM

(23)

Similmente

B _x (x, t), B _y (x, t), B _z (x, t)

( ) ^∇ ^×

^z

⁼ ^∂ _∂ ^B _x

^y

⁻ ^∂ _∂ ^B _y

^x

⁼ ^∂ _∂ ^E _t

^z

^⇒ ^∂ _∂ ^E _t

^z

⁼ ^∂ _∂ ^B _x

^y

0 0 0

0

B 1

µ µ ε

! ε

!

( ) ^∇ ^×

^y

⁼ ^∂ _∂ ^B _z

^x

⁻ ^∂ _∂ ^B _x

^z

⁼ ^∂ _∂ ^E _t

^y

^⇒ ^∂ _∂ ^E _t

^y

⁼ ⁻ ^∂ _∂ ^B _x

^z

0 0 0

0

1 B ^! ε µ ε µ

!

( ) ^∇ ^! ^× ^B ^!

^x

⁼ ^∂ _∂ ^B _y

^z

⁻ ^∂ _∂ ^B _z

^y

⁼ ^ε

⁰

^µ

⁰

^∂ _∂ ^E _t

^x

^⇒ ^∂ _∂ ^E _t

^x

⁼ ⁰

0 0 )

B

( =

∂

⇒ ∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

⋅

∇ x

B z

B y

B x

B

x y _z _x

!

Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM

(24)

La componente E _x (x, t) del campo elettrico è costante.

Un campo del genere potrebbe essere prodotto da una distribuzione di cariche stazionarie; dato però che non consideriamo l’esistenza di sorgenti di questo tipo, in quanto interessati a campi variabili nel tempo, concludiamo che:

E _x (x, t) = 0

= 0

∂

∂ E _x x

= 0

∂

∂ E _x t

= 0

∂

∂ B _x x

= 0

∂

∂ B _x t

Analogamente, dall’esclusione di correnti stazionarie, si conclude che:

B _x (x, t) = 0

Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM

(25)

t B x

E _z _y

∂

= ∂

∂

t B x

E _y _z

∂

− ∂

∂ =

∂

x B t

E _z _y

∂

= ∂

∂

0 0

1 µ ε

x B t

E _y _z

∂

− ∂

∂ =

∂

εµ 1

t x

B x

E z y

∂

= ∂

∂

∂ ²

2 2

x t

B t

E _z _y

∂

= ∂

∂

∂ ²

0 0 2

2 1

µ ε

2 2

0 0 2

2 1

x E t

E _z _z

∂

= ∂

∂

µ ε

Derivando rispetto a x

Derivando rispetto a t si ha:

Derivando rispetto a t

Derivando rispetto a x si ha:

2 2

0 0 2

2 1

x B t

B _z _z

∂

= ∂

∂

µ ε

2 2 2

t B x

t

E _y _z

∂

− ∂

∂ =

∂

2 2

0 0

2

1 x B t

x

E

_y _z

∂

− ∂

∂ =

∂

µ ε

Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM

(26)

Equazioni di Maxwell

2 2

0 0 2

2 1

x E t

E _y _y

∂

= ∂

∂

µ

ε ²

2 0 0 2

2 1

x B t

B _y _y

∂

= ∂

∂

µ ε

Se invertiamo l’ordine delle derivate, si ottiene

Ognuna delle componenti del campo elettrico E e del campo magnetico B soddisfa all’equazione differenziale delle onde piane:

t v x

t ²

2 0

0 2

2 2 2

2 1

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

∂ ξ

µ ε ξ

ξ (ξ = E _y , E _z , B _y , B _z )

m/s 10 99792458 .

1 2 ₈

0 0

⋅

=

= ^c ε µ v

Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM

(27)

Equazioni di Maxwell

Supponiamo il campo elettrico solo lungo l’asse y

Le soluzioni dell’equazione d’Alambert devono essere del tipo:

y y u E E ! = ˆ

y

y x ct u

E

E ! = ( − ) ˆ

z z

y

y x ct u B x ct u

B

B ! = ( − ) ˆ + ( − ) ˆ

t B x

E _y _z

∂

− ∂

∂ =

Da ∂

Definito u = x – ct l’argomento delle funzioni, si ottiene:

= 1

∂

∂ u x ∂ u ∂ t = − c

u E x

u u

E x

E t

B _z _y _y _y

∂

− ∂

∂ =

∂

− ∂

∂ =

− ∂

∂ =

∂

Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM

(28)

Integrando

u E t

B _z _y

∂

− ∂

∂ =

∂

costante

∫ ^∂ _∂ ⁼ ⁻ ∫ ^∂ _∂ ⁼ 1 ∫ ^∂ _∂ ⁼ ⁺

= c

du E u E dt c

u dt E

t

B _z B ^z ^y ^y ^y

c B _z = E ^y

t B x

E z y

∂

= ∂

∂

Analogamente da

c B _y = − E ^z

= 0

Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM

(29)

Più in generale se si trova

z z y

y u E u

E

E ! = ˆ + ˆ

z z y

y u B u

B

B ! = ˆ + ˆ ^z _y ^y u _z

c u E

c

B ! = − E ˆ + ˆ

( )

B c cB E

c E B E

c E E

c E B

B

B _y _z _y _z

=

= +

=

,

1 2 2 2

2 2

2 ( )

0 B E

B 1 E

=

⋅

⇒

+

−

= +

=

⋅

!

y z z

y z

z y

y E E E E

B c E B

Inoltre E

x y

z

Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM

(30)

Calcoliamo il prodotto vettoriale fra E e B

z z y

y u E u

E

E ! = ˆ + ˆ

z y

z y u

c u E

c

B ! = − E ˆ + ˆ

( )

x x

2 x

2 x 2 2

z y

x

uˆ uˆ

uˆ B

E

1 uˆ 0

0 uˆ uˆ

uˆ B

E

EB c cB

E

E c E

c E c

E

E _y _z

z y

=

×

⇒ +

=

−

=

×

!

Onde Elettromagnetiche Proprietà onde EM

(31)

Onde EM in mezzi materiali

0 )

( ∇ E ! ⋅ ! =

0 )

( ∇ B ! ⋅ ! =

t B E

∂

= ∂

∧

∇

! !

! ⁾ µε

t (

E B

∂

− ∂

=

∧

∇

! !

! )

(

1 2

= v

µε

In un mezzo di costante dielettrica e e permeabilità magnetica m (ma sempre in assenza di sorgenti):

Onde Elettromagnetiche

(32)

r r r

r

v c

µ ε µ

ε µ

ε

εµ ⁼ ⁼

= 1 1 1

0 0

c v <

= 1 µ r

r

v c

= ε

v r

n = c = ε

Nella maggioranza dei mezzi ordinari

Definiamo

n Z Z Z

r

0 0 =

=

= ε ε

µ

Ω

=

= 377

0 0 ε µ 0

Z

Indice di rifrazione del mezzo

Impedenza del vuoto

Impedenza del mezzo

Onde Elettromagnetiche Onde EM in mezzi materiali

(33)

Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting

33

(34)

Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting

34

(35)

Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting

35

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Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting

La presenza di un campo elettrico e di un campo di induzione magnetica in un mezzo omogeneo e isotropo comporta la presenza di una certa quantità di energia distribuita nello spazio, la cui densità per il campo elettrico e magnetico è data da:

0 2 2

0 2

1 2

1 ε ^E ^B µ

u = +

0 1 ε 0 µ

= c

c B = E

2 0 E u = ε

0 2

µ u = B

L’energia associata all’onda è per metà dovuta al campo di induzione magnetica e per metà dovuta al campo elettrico

dt c

E cdt

u ud

dU = τ = Σ = ε ₀ ² Σ

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Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting

dt c

E cdt

u ud

dU = τ = Σ = ε ₀ ² Σ

Potenza che attraversa S P = dU / dt = ε ₀ E ² c Σ

Definiamo il vettore S S ! _o E ₂ c !

ε

=

La potenza è il flusso del vettore S = ! ⋅ Σ ! S P

u x

EB c

B E

S 1 ₂ ˆ

0 0

µ ^∧ ⁼ ε

= ! !

!

Vettore di Poynting

[ ] ^S ⁼ [ ^Watt/m

²

]

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Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting

u x

EB c

B E

S 1 ₂ ˆ

0 0

µ ^∧ ⁼ ε

= ! !

!

x

x E c u

c u E E c

S ! = ε ₀ ² ˆ = ε ₀ ² ˆ

Intensità= densità di energia _* velocità

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Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting

( ^∧ ) ^⋅ ^Σ

= ! ! !

d B E

dP

0 1 µ

Integrando su una superficie finita Σ, la potenza istantanea che la attraversa è data dal flusso di S

( ^∧ ) ^⋅ ^Σ

= Σ

⋅

= ∫ ∫

Σ Σ

!

! !

d B E

d S P

0

1 µ

Il vettore S ha direzione e verso coincidenti con quelli della velocità di propagazione dell’onda e il suo modulo rappresenta l’energia elettromagnetica che per unità di tempo passa attraverso l’unità di superficie ortogonale alla direzione di propagazione

In generale

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Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting

u y

t kx

E

E ! = ₀ cos( − ω ) ˆ

Consideriamo

) (

cos ²

2 0

0 cE kx t

S = ε − ω

Calcoliamo il valore medio < S >= ε ₀ c < E ₀ ² cos ² ( kx − ω t ) >

2 0 0 0

2 2

0 0 2

) 1 (

1 cos

cE dt

t T kx

cE S

T ω ε

ε − =

>=

< ∫ ^Intensità

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Onde elettromagnetiche Vettore di Poynting

Densità media di energia

c E

I

S )

2 ( 1 ε ₀ ₀ ²

=

>=

<

Velocità

Nel caso più generale

z z

y

y kx t u E kx t u

E

E ! = ₀ cos( − ω ) ˆ + ₀ cos( − ω ) ˆ

) 2 (

1 ₂

0 2

0 0 c E y E z

I

S >= = +

< ε

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Onde elettromagnetiche Onda sferica

u r

t kr

r E t

r

E ! ( , ) = ₀ ( ) cos( − ω ) ˆ

Potenza media attraverso una sfera di raggio r

2 2

0 0 (r) 4 2

1 cE r

P >= ε π

<

2 2 0 0

2 1

r c E I = ε

42 E(r, t) ! = (E ₀ / r ² )cos(kr − ω ^{t) ˆu} _r

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Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione

Oltre a trasportare energia, le onde elettromagnetiche possono anche trasportare quantità di moto, ovvero è possibile esercitare una pressione detta di “radiazione” su un oggetto illuminandolo.

Superficie piana Σ ortogonale alla direzione di propagazione dell’onda. Una carica elettrica con densità superficiale σ è distribuita sulla superficie

La forza di Lorentz per unità di superficie, esercitata dai campi che costituiscono l’onda, è

( ^E ^v ^B )

F ! ! ! !

× +

= _σ

σ σ

υ _σ è la velocità comunicata alle cariche dalla forza elettrica

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Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione

Potenza assorbita per unità di superficie:

E v v

B v

v E v

F ! _σ ⋅ ! _σ = σ ! ⋅ ! _σ + σ ! _σ × ! ⋅ ! _σ = σ _σ

E !

σ σ v!

Questa risulta sempre positiva perché e sono in ogni istante paralleli e concordi.

In media l’energia assorbita per unità di tempo e per unità di superficie, cioè l’intensità ceduta dall’onda, vale:

>

<

= v E

I σ _σ

A questo assorbimento non corrisponde un effetto meccanico globale sulla superficie perché il campo è parallelo alla superficie.

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Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione

B v B

v

F ! _σ = σ ! _σ × ! = σ _σ

>

<

>=

< F σ v _σ B

Invece la forza magnetica dà origine ad un effetto meccanico, pur non assorbendo energia in quanto sempre ortogonale a v! _σ

Essa è normale alla superficie Σ ed è concorde con cioè con qualunque sia il segno di σ.

B E ! !

× uˆ

x

c I c

v E

F >= < >=

< σ _σ

Forza media per unità di superficie

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Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione

Questa forza media per unità di superficie corrisponde ad una pressione media, detta pressione di radiazione, che viene esercitata dall’onda sulla superficie Σ

c P

_rad

= I

In conclusione, se l’onda cede alla superficie Σ l’energia I, essa cede anche la quantità di moto I/c

Se l’onda viene completamente riflessa la quantità di moto trasferita sarà doppia rispetto al caso precedente, ovvero:

c P

_rad

2 I

=

Se l’onda viene parzialmente riflessa e parzialmente assorbita, la quantità di moto trasferita è compresa tra I/c e 2I/c

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Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione

Nel caso in cui l’onda piana incidente formi un angolo θ con la normale alla superficie Σ, si ha una riduzione della pressione di radiazione. A parità della sezione dell’onda incidente l’area colpita è maggiore e quindi la pressione diminuisce di un fattore cosθ. Inoltre va considerata solo la componete cosθ della radiazione.

Completo assorbimento:

θ cos 2

c P _rad = I

θ cos 2

2 c P _rad = I Completa riflessione:

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Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione

L’azione della pressione di radiazione è stata messa in evidenza con la bilancia di torsione (esperimento di Nichols e Hull -1903)

La pressione di radiazione provoca una rotazione dei bracci della bilancia di un angolo θ

Nota: nel contenitore che contiene lo strumento è praticato un vuoto spinto, in quanto se ci fosse aria o un altro gas si osserverebbe una rotazione in senso contrario.

Perché?

Il disco nero assorbendo energia, cede calore al gas che lo circonda facendo aumentare la velocità quadratica media delle molecole, che tramite urti esercitano una pressione maggiore che sul disco speculare.

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Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione

Radiometro di Crookes

Il radiometro è costituito da un bulbo di vetro da cui l'aria è stata in gran parte rimossa, per formare un vuoto parziale. All'interno del bulbo, su una sede a basso attrito, c'è un rotore con diverse (di solito quattro) piastrine di metallo leggero poste in verticale. Le piastrine sono lucidate a specchio o dipinte di bianco su un lato, e nere sull'altro. Se esposto alla luce del sole, luce artificiale o radiazioni infrarosse (anche il calore di una mano posta vicino può essere sufficiente), le piastrine cominciano a ruotare senza nessun apparente motore che le spinga, nel senso di avanzamento del lato bianco.

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Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione

Vele solari

Alla distanza della Terra dal Sole la pressione di radiazione è pari a 10 ⁻⁵ Pa e decresce con il quadrato della distanza dalla sorgente di luce. Anche se la spinta è piccola, essa continuerà finché la sorgente luminosa splende e la vela è dispiegata.

Il meccanismo della vela solare viene utilizzato occasionalmente in combinazione con i sistemi di propulsione ordinari per le sonde e i satelliti. Ciò consente di risparmiare del carburante che altrimenti sarebbe destinato per le correzioni dell'assetto e le modificazioni dell'orbita. Per esempio il satellite geostazionario per le telecomunicazioni Eurostar E3000 della EAD Astrium usa dei pannelli di vele solari attaccati alle celle fotovoltaiche per scaricare il momento angolare trasversale, risparmiando così carburante. Alcune missioni senza equipaggio (come la Mariner 10) hanno sostanzialmente esteso la loro durata grazie a queste pratiche.

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Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione

Navicella di massa m, superficie della vela S , vela perfettamente riflettente

Calcolare m/S per cui la forza di attrazione del sole uguaglia la forza della pressione di radiazione

c P _rad 2 I

= ^F ^rad ⁼ ² _c ^I ^Σ ⁼ ₄ ² _π ^P _r ^Sole ² _c ^Σ ^F ^Grav ⁼ ^G ^mM _r ² ^Sole

2 Sole 1 . 5 10 3 kg/m

2 P

⇒ = = ⋅ ⁻

=

Sole rad

Grav Σ cGM

F m

F π

2 6 m 10

kg 1000

= ⇒ Σ ≈

m

Kg P

_Sole

= 3 . 8 ⋅ 10

²⁶

W M

_Sole

= 1 . 98 ⋅ 10

³⁰

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Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione

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Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione

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Onde elettromagnetiche Pressione di radiazione

Intensità sulla superficie della terra

2

1370 W/m

4 =

=

TS Sole

R I P

π

Nel caso della Terra la ‘sezione’ utile ai fini dell’intercettazione della radiazione solare corrisponde approssimativamente a un cerchio di raggio medio pari a 6367 km. Questo cerchio, considerata la distanza media della Terra dal Sole, se fosse disposto perpendicolarmente alla direzione di provenienza dai raggi solari e in assenza di atmosfera, riceverebbe una potenza radiante pari a 174 milioni di GW .

Per avere una idea dell’ordine di grandezza si pensi che in Italia l’intera potenza elettrica installata ammontava nel 2011 a “solo” 110 GW circa.

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Dispositivo di Hertz

Onde elettromagnetiche Produzione di onde EM

Sorgente di alimentazione che alimenta tramite un trasformatore due sfere C1 e C2. Tali sfere vengono caricate fino al valore di innesco della scarica delle sfere più piccole.

Vengono emessi un campo elettrico E e un campo magnetico B che si propagano nello spazio

Rocchetto di Ruhmkorff

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Onde elettromagnetiche Produzione di onde EM Ricevitore

Emettitore (Spinterometro)

Oscillazioni di pulsazione con L e C capacità ed induttanza del circuito equivalente ^LC

= 1 ω

Circuito equivalente

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