Sorgenti di Campo Magnetico g p g

Sorgenti di Campo Magnetico g p g

Un conduttore (filo) percorso da una corrente genera un campo magnetico ! Quale?

Quale?

Prima legge elementare di Laplace:

D t t tt i fi it i di fil Dato un tratto infinitesimo di filo ds , percorso da una corrente i, il campo dB prodotto in un punto P distante r da ds vale:

k_m = 10^-7 T m /A ! (H/m) k_m = μ₀/ 4π

μ₀ = 4π k_m = 1.26 10^-6 H/m

u_r

Direzione e verso di B: prodotto vettoriale, regola della mano destra

P i i l l i di id i i i fi i i i i i il dB Per un circuito qualunque, lo si divide in tratti infinitesimi e si integra il dB

Campo magnetico prodotto da una carica in moto Campo magnetico prodotto da una carica in moto

n dτ : numero di portatori in dτ. Divedendo dB per n dτ si ottiene il campo prodotto da una singolo portatore

Campi magnetici prodotti da circuiti particolari

Filo rettilineo lungo 2a, percorso da una corrente i

P di ll’ di d l fil

Prendiamo un punto sull’asse mediano del filo, a distanza R dal filo.

Un tratto infinitesimo di filo ds, di ascissa s, produce un campo infinitesimo

un campo infinitesimo

Notiamo che :

+

Campo entrante nel foglio!

Integrando da -a a a si ottiene il campo prodotto dal filo. (cos (π-θ₁) = -cosθ₁)

-cosθ₁

(cosθ₁ = a/r ) 2

Campo totale del filo, lungo 2 a:

B

Se facciamo tendere a all’infinito,

Il campo magnetico prodotto da un filo rettilineo indefinito è tangente a g

circonferenze che hanno come centro il filo stesso. Il verso è dato dalla regola filo stesso. Il verso è dato dalla regola della mano destra e la sua intensità cala

con il raggio Vi li bil l li t di f con il raggio. Visualizzabile con la limatura di ferro

Spira circolare

Campo magnetico prodotto da una spira circolare, percorsa dalla corrente i in un punto P lungo l’asse percorsa dalla corrente i , in un punto P lungo l asse, distante x dal centro della spira.

Prendiamo un elemento infinitesimo ds che genera

un campo infinitesimo dB ( ds ⊥ r ) ^• _r

θ

θ

x

θ

dato che : dato che :

al centro della spira x = 0 al centro della spira, x 0

per x >> R

C f i il l i di di l l i Confrontiamo questo campo con il campo elettrico di un dipolo elettrico

B

hanno la stesa forma.

Allora chiamiamo m Momento di dipolo magnetico della spirap g p

Valgono formule analoghe a quelle che abbiamo visto per il Momento di dipolo elettrico:

dipolo elettrico:

Campo prodotto dal dipolo magnetico

Attenzione alla differenza fondamentale:

Le linee di campo di E non sono chiuse (E conservativo) quelle di B sì (B solenoidale)

Solenoide rettilineo Solenoide rettilineo

Filo conduttore avvolto a elica cilindrica stretta Filo conduttore avvolto a elica cilindrica stretta (piccolo passo)

Raggio R , lunghezza d, N spire:

n = N/d = numero di spire per unità di lunghezza ( lunghezza totale del filo L = N 2 π R)

P di t tt i fi it i d di l id

Prendiamo un tratto infinitesimo, dx, di solenoide, contiene ndx spire. Il campo dB prodotto in un punto P sull’asse x, di ascissa x₀, è:

parallelo all’asse x ma

Sommando su tutte le spire = integrando in Sommando su tutte le spire = integrando in dφ , da φ₁ (prima spira) a φ₂ (ultima spira)

(φ’₂ = π - φ₂)

Se si prende l’origine delle x nel centro del solenoide (OP = x), si ha ( cosφ₁ = (d/2 +x)/((d/2 +x)² +R²)^½ )

B ha il massimo per x = 0, centro del solenoide

poi cala simmetricamente poi cala simmetricamente.

Al centro delle spire più esterne ( x = ± d/2) si ha :

Se d >> R, in tutto il solenoide:

Formula “standard” per Bp

Azioni elettrodinamiche tra fili percorsi da corrente Azioni elettrodinamiche tra fili percorsi da corrente

Prendiamo due fili rettilinei, paralleli abbastanza vicini da poterli considerare indefiniti (L >> r ), percorsi dalle correnti i₁ e i₂ .

Ogni tratto dl₂ risente della forza dF₁₂ dovuta al campo magnetico B₁ prodotto dalla corrente i₁

magnetico B₁ prodotto dalla corrente i₁

P i ità di l h l f l

Per ogni unità di lunghezza la forza vale

attrattiva (> 0) se u₁ e u₂ sono paralleli, repulsiva se sono antiparalleli

La grandezza elettrica fondamentale La grandezza elettrica fondamentale

Coulomb: impossibile da realizzare praticamente

Ampere: più semplice, ma come definirlo senza passare per il Coulomb?

data F₁₂

Definizione della Conferenza Internazionale dei Pesi e Misure, 1960:,

“L’intensità di corrente di 1 A è quella che circolando in due fili

ttili i ll li di t ti 1 dà l f

rettilinei paralleli distanti r = 1 m dà luogo a una forza F = μ_o/2π = 2 10^-7 N

per metro di ciascun conduttore”

La Legge di Ampere La Legge di Ampere

Dato un filo rettilineo percorso da una corrente i (uscente dal foglio), il campo B è sempre tangente alla circonferenza di raggio r

Prendiamo uno spostamento ds lungo la

circonferenza e consideriamo il prodotto scalare

Per un arco finito CD integriamo tra 0 e θ

L’integrale dipende solo da θ e non dal cammino specifico.

Se si va da D a C il risultato è Se si va da D a C il risultato è

Se si percorre un un circuito chiuso

Si possono avere due casi:

Si possono avere due casi:

1) La linea chiusa contiene il filo percorso da corrente 1) La linea chiusa contiene il filo percorso da corrente,

“concatena la corrente”

2) La linea chiusa non contiene il filo percorso da corrente, non “concatena” alcuna corrente

Questo risultato vale per qualunque linea chiusa anche non piana e Questo risultato vale per qualunque linea chiusa, anche non piana, e anche per molti conduttori percorsi da correnti diverse.

Si enuncia, quindi, il Teorema di Ampere:

“La circuitazione del campo magnetico B lungo un percorso C è uguale La circuitazione del campo magnetico B lungo un percorso C è uguale alla somma di tutte le correnti concatenate con C, moltiplicata per μ₀ “

Se non ci sono correnti concatenate

F l l d l T di A

Forma locale del Teorema di Ampere

Applichiamo il teo di Stokes alla circuitazione di B Applichiamo il teo. di Stokes alla circuitazione di B

Σ è una superficie qualsiasi che ha C come contorno.

Attraverso Σ passano le varie i concatenate con C Quindi possiamo scrivere.

Q p

j sarà diversa da zero solo dove il conduttore interseca Σ

usando le due relazioni si passa da usando le due relazioni si passa da

a Σ Σ

Dato che Σ è una superficie qualsiasi, i due integrandi devono essere uguali, quindi

che è la forma locale del Teorema di Ampere che è la forma locale del Teorema di Ampere

∇ x B e j sono perpendicolari a B

∇ x B e j sono perpendicolari a B

Esempi Esempi

1) Filo indefinito di raggio R percorso dalla corrente i. Determinare B in funzione di r

B ha simmetria cilindrica tangente, quindi la legge di Ampere diventa: (r ≥ R)

All’interno del filo (r < R), se j è uniforme = i / π R², la corrente concatenata a circonferenza di raggio

r è j j π r² , quindi, q

2) Solenoide rettilineo indefinito Calcolare B

Calcoliamo la circuitazione di B lungo un circuito rettangolare (ABCD) con il lato AB sull’asse del cilindro .

Per simmetria B deve essere parallelo all’asse e Per simmetria B deve essere parallelo all asse e uniforme. Supponiamo, pure, che B sia nullo f ori dal solenoide Q indi

fuori dal solenoide. Quindi

3) Solenoide toroidale ( toro = ciambella!)

N spire, r_int e r_est, corrente i.

Trovare B

Per simmetria le linee di campo di B sono

i f t i h

circonferenze concentriche.

solo se r_{i t} ≈ r _t≈ r _d solo se r_int ≈ r_est ≈ r_med

P i tà ti h d ll t i Proprietà magnetiche della materia

Come si comportano i materiali in presenza di un campo magnetico ?

Prendiamo un solenoide indefinito: B₀ =

Definiamo il vettore H = B/μ₀ = n i Riempiano completamente il solenoide con un materiale omogeneo

con un materiale omogeneo

Misuriamo B all’interno del materiale: B risulta parallelo a B₀ e

k_m (numero puro) si chiama permeabilità magnetica relativa (a quella del vuoto) del materiale Allora

del vuoto) del materiale. Allora

definiamo permeabilità magnetica assoluta del materiale

h l t di i i di

μ ha le stesse dimensioni di μ₀

H (= n i) dipende dal circuito, μ descrive le proprietà magnetiche del mezzo

e sono valide per circuiti di qualunque forma e sono valide per circuiti di qualunque forma

Allora se un circuito è immerso in un mezzo di permeabilità magnetica relativa k_m allora la legge Ampere-Laplace diventa.

La legge di Ampere diventa

Chiamiamo suscettività magnetica:

= (B –B₀)/B₀

Definiamo un nuovo vettore: il vettore magnetizzazione

allora

l’i t ità d l ti l l id i ò i

l’intensità del campo magnetico nel solenoide si può scrivere

il d t i i ò d i d di il secondo termine si può vedere in due modi

μ₀ (χ_mn ) i come se ci fossero altre χ_mn spire per unità di lunghezza μ₀ n (χ_m i) come se nelle n spire per unità di lunghezza circolasse

una extra corrente χ_m i

In effetti si può dire che sulla superficie esistono delle correnti di origine

L i di id i i d d ll i l

Le sostanze si dividono in tre categorie, a seconda della risposta al campo magnetico esterno:

1) Sostanze Diamagnetiche

Caratterizzate da k_m < 1 χ_m < 0, B < B₀

Le correnti amperiane circolano in verso opposto a quelle nel solenoide.

M è t H Eff tt lt i l ( 10 ⁵) M è opposto a H. Effetto molto piccolo ( ≈ -10^-5)

2) Sostanze Paramagnetiche) g

Caratterizzate da k_m > 1 χ_m > 0, B > B₀

Le correnti amperiane circolano nello stesso verso di quelle nel solenoide.

M è concorde con H. Effetto piccolo ( ≈ 10^-4) M è concorde con H. Effetto piccolo ( 10 )

χ_m dipende dalla temperatura secondo la I legge di Curie : ρ è la densità e C è la Costante di Curie

3) Sostanze ferromagnetiche (FM)) g ( )

Sostanze FM: Fe, Co, Ni, qualche TR, loro leghe (metalli) Sostanze FM: Fe, Co, Ni, qualche TR, loro leghe (metalli)

In questi metalli k_m e χ_m non sono costanti ma dipendono fortemente da H e dalla storia. k_m sta nel range 10³ – 10⁵ (>0) quindi B >>B₀

(Correnti Amperiane concordi con i vera e molto intense) (Correnti Amperiane concordi con i vera e molto intense)

La relazione tra H e B (B(H)) non è

univoca e non può essere prevista a priori.

Va misurata.

Poi M (H) = B(H) /( ) ( ) μμ₀₀ - H

Ciclo di Isteresi (simmetrico):( ) M_sat, M_r, H_m , H_c

M_r = B_r /μ₀ M_r B_r /μ₀

Il ciclo si “stabilizza” dopo vari cicli.

Il ciclo si stabilizza dopo vari cicli.

Inizialmente materiale “vergine”

( ff dd t l t t i

(raffreddato lentamente senza campi magnetici)

B / H k B / H / k 1 t tti f i i di H μ = B / H , k_m = B /μ_oH = μ/μ_o , χ_m = k_m -1 sono tutti funzioni di H

seconda Legge di Curie: gg T_C temperatura di Curie.

Al di sotto di T_C χ non è definita al di sopra il FM diventa

Ciclo di isteresi = Diagramma di stato

Al di sotto di T_C χ_m non è definita, al di sopra il FM diventa paramagnetico

Ciclo di isteresi = Diagramma di stato

dipende da natura e composizione del materiale.

Materiali magnetici “duri” e “ dolci”

duri : memorie ; dolci: trasformatori

Lavoro per magnetizzare un volume unitario: dW = B dH Area B(H) = energia dissipata per unità di volume

Meccanismo di Magnetizzazione e Correnti Amperiane Meccanismo di Magnetizzazione e Correnti Amperiane

N li i i d ibili i i i di i di di l

Negli atomi esistono due possibili origini di un momenti di dipolo magnetico (m.d.m.):

a) gli elettroni che ruotano attorno al nucleo corrispondono a microscopiche spire con relativo m.d.m. (orbitale)

b) ogni elettrone possiede un suo m.d.m. intrinseco (spin)

In presenza di un campo magnetico gli elettroni modificano le orbite In genere in un atomo tutti i momenti, orbitale e di spin, si compensano In presenza di un campo magnetico gli elettroni modificano le orbite

Il nuovo momento produce un campo che si oppone a quello che lo ha Il nuovo momento produce un campo che si oppone a quello che lo ha provocato con un m.d.m. atomico

m = α H = α B /μ m_a = – α_a H = – α_a B /μ_o

B < B_oo : Diamagnetismo! ( Cfr. Di(a)elettrici )g ( ( ) )

Ma se i momenti orbitale e di spin non si compensano, l’atomo ha già un suo momento che si orienta secondo il campo esterno, rafforzandolo: B > B_{o :} Paramagnetismo Però l’agitazione termica si oppone all’allineamento,

i di il d i h l f

quindi il m.d.m. atomico ha la forma

Ferromagnetismog

Fenomeno di carattere quantistico. Grandissimi blocchi di atomi ti i t tti t t lli ti D i i di W i

paramagnetici tutti spontaneamente. allineati: Domini di Weiss.

Senza campo esterno i domini sono orientati a caso, ma con anche piccoli p p campi quelli favoriti crescono e gli altri si riducono, con enorme aumento di B e M, finchè tutto il materiale è un unico dominio.

B e M, finchè tutto il materiale è un unico dominio.

Il vettore magnetizzazione M Il vettore magnetizzazione M

Dato un volumetto τ che contiene N atomi/molecole, se sia applica , pp B_o = μ_o H, τ acquista m = N <m>

D fi i il V tt M ti i M

Definiamo il Vettore Magnetizzazione M

M = m/τ = N/τ <m> = n <m>

n densità di atomi/molecole

Diamagnetici: M = - nα_aH = χ_m H Paramagnetiche: M = χ_mH M è uniforme se è costante nel mezzo :

amorfi, a simmetria cubica, in B uniforme, ,

P di ili d M if ll l ll’

Prendiamo un cilindro con M uniforme e parallelo all’asse del cilindro.

Ora un disco di spessore infinitesimo dz. Dividiamolo in prismetti di area dΣ e volume dτ = dΣ dz. Ognuno ha momento magnetico

dm = M dτ = M dΣ dz u_z.

Potremmo sostituirlo con una spira di area dΣ percorsa da una corrente di

da una corrente di_m.

Se prendiamo due prismetti adiacenti, le correnti sui lati di contatto si annullano e restano solo le correnti sui lati

esterni. Continuando con tutti i prismetti del disco restano este . Co t ua do co tutt p s ett de d sco esta o solo le correnti sulla superficie esterna.

Tutto il disco equivale a una spira alta dh percorsa dalla corrente di_m = M dz Integrando su tutto il cilindro, si ha che esso equivale a una fascia alta h

percorsa dalla corrente (correnti Amperiane)

i_m = M h per cui M = i_m/ h = j_s,m

N.B. jj_{s ms,m} è una densità lineare di corrente, A/m, indica la corrente , , per unità di altezza del cilindro!

se indichiamo con u_n il versore del raggio del cilindro possiamo scrivere jp j_{s ms,m} = M x u_nn

essendo j_s,m tangente al cilindro.

Se calcoliamo la circuitazione di M lungo il

percorso indicato in figura, dato che M è diverso da zero solo nel cilindro

Dato che le linee di campo di B sono sempre chiuse (non esiste il mono-polo Dato che le linee di campo di B sono sempre chiuse (non esiste il mono polo magnetico !), il flusso di B attraverso una superficie chiuse è sempre nullo

e utilizzando il teorema delle divergenza e utilizzando il teorema delle divergenza

Queste sono le due forme della Legge di Gauss per il campo magnetico.

B è solenoidale.

Proprietà dei campi solenoidali: Se il flusso attraverso un sup. chiusa è nullo il Flusso attraverso una superficie aperta dipende solo dalla linea di

“contorno” della superficie stessa e non dalla sua forme o estensione.co to o de a supe c e stessa e o da a sua o e o este s o e.

Differenze tra campo elettrico, E, e campo magnetico B

Equazioni generali della magnetostatica in presenza di mezzi magnetizzati Legge di Ampere modificata per tener conto delle correnti Amperiane

(N B t è l t i i t d tt d M ll di d !)

(N.B. questa non è la estensione introdotta da Maxwell, vedi dopo!)

Ricordando che

Legge di Ampere per H Legge di Gauss per B

Magnete toroidale

Solenoide toroidale riempito di materiale con permeabilità magnetica relativa k_m. Calcolare H, B e M nel materiale.

Applichiamo la Legge di Ampere per H: