LAUREA IN SCIENZE MOTORIE

- EQUILIBRI TRASLAZIONALE E ROTAZIONALE - CENTRO DI MASSA E BARICENTRO

EQUILIBRIO dei CORPI RIGIDI

parte I

LAUREA IN SCIENZE MOTORIE

MOMENTO DI UNA FORZA

M F

r

 A

O



braccio 



x y

z

M = OA

 F = r  F

dimensioni [M] = [forza][L]

• unità di misura: S.I. newton^xm (Nm)

modulo F r sen f = F b direzione

verso

r, F

avanzamento vite che

ruota sovrapponendo r su F^{® ®}

® ®

3

EQUILIBRIO TRASLAZIONALE F

+ F

+ F

+ ... = 

_F

_{ R = 0}

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO

condizione insufficiente !!

F₁ + F₂ = 0

F + ( –F ) = 0

 

 

F –F^



corpo in rotazione

EQUILIBRIO ROTAZIONALE EQUILIBRIO ROTAZIONALE

M

+ M

+ M

+ ... = 

_M

_{ M}

_{= 0}

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO

O

A

B

F₁ F₂

M₁

M



 

r^₁



r^₂ y z

equilibrio rotazionale : esempio

M

= – M

5

EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO F



M_i ^_i  M^ _T = 0

CONDIZIONI DI EQUILIBRIO



F_1x + F_2x + F_3x + ... = R_x = 0 F_1y + F_2y + F_3y + ... = R_y = 0 F_1z + F_2z + F_3z + ... = R_z = 0

M_1x + M_2x + M_3x + ... = M_Tx = 0 M_1y + M_2y + M_3y + ... = M_Ty = 0 M_1z + M_2z + M_3z + ... = M_Tz = 0

6 relazioni scalari soddisfatte contemporaneamente

2 relazioni vettoriali

forze appartenenti stesso piano

semplificazione :

punto O appartenente al piano M direzione asse z^

M_1x = M_1y = 0 M_2x = M_2y = 0 M_3x = M_3y = 0

M_Ty = 0 M_Tx = 0 F_2z = 0

F_2z = 0 F_1z = 0

R_z = 0

equilibrio soddisfatto da 3 relazioni scalari

F₁ , F₂ , F₃ giacenti nello stesso piano

x y

z F₁

F₂ F₃ r₃

r₁ r₂

M₁ M₂ M^₃







  





O

3

7

CONDIZIONI di EQUILIBRIO di un SISTEMA MECCANICO

condizione di equilibrio traslazionale : F^₁ + F^₂ + F^₃ + ... = F



forze conservative L = F x = U₁ – U₂ = – U F = – U F = – grad U^ x

equilibrio : F = 0 U = 0

U = U₂ – U₁ = 0 U₁ = U₂

CONDIZIONI di EQUILIBRIO di un SISTEMA MECCANICO

U = 0

instabile

stabile

indifferente o

U

x U(x)

9

CENTRO DI MASSA CORPI PUNTIFORMI

x

y z

m1

m2

m₃

m₄

m₅ r₁

r₂

r₃

r₄

r₅ r_CM

CM

O

r_i (r_ix , r_iy , r_iz )















• centro di massa CM di un insieme di corpi con massa m_i (m_i concentrate in un punto)

• massa totale M = m₁ + m₂ + m₃ + ... = m_i

• distanze r^_i da origine O assi cartesiani



x

y z

m₁ m₂

m3

m₄

m5

r1

r2

r3

r4

r5

r_CM CM

O

r_i (r_ix ^, r_iy ^, r_iz )















(m_i concentrate in un punto )

definizione r (centro di massa) ^





M r_CM = m₁^r₁ + m₂^r₂ + m₃^r₃ + ... = m _i^r_i

11

CENTRO DI MASSA

• vettori r

i stessa direzione moduli r

• origine O in CM : M r i

CM



1 (–r

1) + m

2 r

2

r1

r2

m2

m1

=



r1 + r

2 = d

M = m ₁ + m₂ M r^_CM = m₁ ^r₁+ m₂ ^r₂ sistema a 2 corpi

x y

z CM

 origine O

m1 m

r 2

1 r

2

 

BARICENTRO

baricentro B = punto di applicazione della forza peso definizione coordinate baricentro r _B :







 

Mg r_B = m₁ g r₁ + m₂ g r₂ + m₃ g r₃ + ... = = m_i g r_i

piccole dimensioni

g = costante

r_B



forza peso applicata al baricentro

 

13

BARICENTRO

determinazione baricentro corpi estesi (metodo empirico)

A B

A

A' A' _B'

baricentro( ) posto su rette passanti per il cavo di

sospensione

sospensione del corpo da punti diversi ( ) corpo assume diverse posizioni di equilibrio

CENTRO DI MASSA

(distribuzione continua di massa) d = d(r) = densità del corpo

dm = d(r) dV CORPI ESTESI

dm r

M

O



M r_CM

M = dm = d(r) dV

V

  

M 

 

 

V

15

dm

r M

O

B r_B





M g^

dm g

(distribuzione continua di massa) d = d(r) = densità del corpo

dm = d(r) dV CORPI ESTESI

BARICENTRO

M = dm = d(r) dV

V

  

M 

M r_B = d(r) g r dV

  

V