Tutorato di Calcolo Scientifico e Metodi Numerici
Corso di Laurea Triennale in Informatica
Esercitazione 9 (14/05/2021)
1. Si consideri il sistema lineare Ax = b dove
A =
α 0 α2 0 α 12
α 2
1
2 α
, b =
1 4 0
si determinino i valori del parametro per cui A `e definita positiva e si studi la convergenza del metodo di Gauss-Seidel al variare di α ∈ R. Posto α = 3, si dica, motivando oppor- tunamente la risposta, se il metodo di Jacobi `e convergente e si calcoli la prima iterata del metodo di Jacobi a partire dal vettore iniziale x(0) = [1, 0, 1]T.
SOLUZIONE.
A `e definita positiva per α >
√ 3
3 . Il metodo di Gauss-Seidel converge per α < −
√ 3
3 ∨
α >
√3
3 . Per α = 3 il metodo di Jacobi converge essendo A diagonalmente dominante in senso stretto. La prima iterata `e x(1) = [−1/6, 7/6, −1/2]T.
2. Determinare l’intervallo [k, k +1] dove k `e un intero positivo che contiene la radice positiva dell’equazione
cos(3x) + x2− 2x − 3 = 0.
Calcolare le prime due iterate del metodo di bisezione a partire dall’intervallo trovato e le prime due iterate del metodo di Newton a partire da x0 = k + 1. Qual `e l’ordine di convergenza dei metodi?
SOLUZIONE.
La radice dell’equazione data si trova nell’intervalo [3, 4]. Le iterate richieste per il metodo di bisezione sono c1 = 7/2 = 3.5, c2 = 13/4 = 3.25 e c3 = 25/8 = 3.125. Scegliendo come punto iniziale x0 = 3 il metodo di Newton fornisce le iterate x1 = 3.2321 e x2 = 3.22851.
L’ordine di convergenza del metodo di bisezione `e p = 1 mentre quello di Newton `e p = 2 poich`e la radice `e semplice.
3. Costruire, tramite la base canonica, il polinomio che interpola la funzione f (x) = sin(πx) + β cos(πx), β ∈ R
in x0 = −1, x1 = 0 e x2 = 1. Calcolare l’errore di interpolazione in x = 12 e determinare il valore di β per cui `e nullo.
SOLUZIONE.
p2(x) = β(1 − 2x2), err = |1 − β/2| = 0 per β = 0
1
