2 La media `e minore della mediana ma `e un caso eccezionale

COGNOME NOME Matr.

Corso di Matematica per le Scienze Sociali anno accademico 2002/03 (nuovo ordinamento)

Prova di esame 5 novembre 2003

Per ogni domanda a risposta multipla c’`e una risposta esatta. Se si d`a la risposta corretta si ottengono 2 punti; per ogni risposta errata si toglie 1/2 punto. Gli errori alle domande a risposta aperta non vengono penalizzati.

Domanda 1

Il numero di figli per coppie sposate segue la seguente distribuzione

numero figli 0 1 2 3 4 5

frequenza 0, 22 0, 3 0, 3 0, 1 0, 06 0, 02 Calcolate la media del numero di figli per coppia sposata.

Domanda 2

Con riferimento ai dati dellla domanda precedente, si ha

2 La media `e maggiore della mediana come succede spesso nelle distribuzioni asimmetriche.

2 La media `e uguale alla mediana perch´e indicano la stessa quantit`a.

2 La media `e minore della mediana ma `e un caso eccezionale.

2 La mediana non si pu`o calcolare perch´e i dati non sono ordinati.

Domanda 3

Uno sondaggio sulle radio preferite da giovani e anziani ha portato alla seguente tabella (G=giovane, A=anziano, R=preferisce i canali della RAI, P=preferisce le radio private).

G A

R 320 300 P 250 130

1000 Allora

2 I giovani preferiscono i canali della RAI pi`u di quanto li preferiscano gli anziani.

2 I canali radio preferiti e l’et`a sono due qualit`a indipendenti.

2 La probabilit`a che un anziano preferisca le radio private `e circa il 13%.

2 La probabilit`a che un giovane preferisca i canali della RAI `e circa il 56%.

Domanda 4

Calcolare l’area sotto la curva y = 2x³+ 2 (e sopra l’asse x) fra le ascisse x = −1 e x = 1?

2 4 2 1

4+−1

4 2 1

4+ 2 2 1

2 Domanda 5

La funzione f (x) `e continua e soddisfa le condizioni f⁰(x) < 0 per x ∈ (0, 1) e f (1) = 1. Quante soluzioni con x ∈ (0, 1) ha l’equazione f (x) = 0?

2 0 2 1 2 2 2 non ci sono elementi sufficienti per rispondere

Domanda 6

Ci sono due urne: l’urna A contiene contiene 12 palline rosse e 4 bianche; l’urna B contiene 6 palline bianche e 6 rosse. Scegliamo, a caso, una delle due urne ed estraiamo da questa una pallina. Qual

`e la probabilit`a di estrarre una pallina bianca?

2 1/2 2 3/8 2 5/14 2 1/4

Esercizio 1. Il gestore di una piscina ha provato diversi prezzi del biglietto di ingresso, ottenendo i seguenti risultati:

prezzo (in Euro) numero di biglietti venduti

5 3.000

6 2.600

7 2.400

Sulla base di questi dati si vuole trovare una funzione B(x) che dia il numero di biglietti venduti in funzione del prezzo.

1. Stimare la derivata della funzione B(x) in x = 6 con la regola dei tre punti.

2. Scrivere l’equazione della retta tangente in x = 6 usando questo valore approssimato per la derivata. Approssimando la funzione B(x) con questa retta tangente, quanti biglietti si venderebbero al prezzo di 8 euro?

Facoltativo. Trovare i coefficienti A e B perch´e la funzione f (x) = 2.600 + A(x − 6) + B(x − 6)²sia tale che f (5), f (6) e f (7) siano esttamente uguali al numero di biglietti venduti a quei prezzi. Quanto vale f⁰(6)? Quanto vale f (8)?

Esercizio 2. Un modellino telecomandato viene lanciato verso l’alto al tempo x = 0. Successi- vamente, la sua altezza sul terreno `e descritta dalla funzione h = f (x) = 3x + 2x<sup>2</sup>−x<sup>3</sup>, dove x `e misurata in minuti e h in decametri; naturalmente, tale funzione va considerata solo per x > 0 e finch´e f (x) > 0.

1. In quale intervallo l’altezza del modellino `e positivo?

2. Tracciare un grafico approssimato di f ristretta a questo intervallo?

3. Qual `e l’altezza massima raggiunta dal modellino e a quale tempo essa viene raggiunta?

4. Qual `e la velocit`a verticale del modellino nel momento in cui tocca il terreno?

Facoltativo. In quale istante il modellino raggiunge la massima velocit`a verticale?

[N.B.: si ricorda che la velocit`a `e la derivata della funzione spostamento, e quindi la velocit`a verticale

`e la derivata della funzione altezza.]

Esercizio 3. Le temperature massime rilevate dall’osservatorio metereologico di Manhattan nella scorsa settimana sono le seguenti:

giorno temperatura (in Fahrenheit)

luned`ı 52

marted`ı 59

mercoled`ı 57

gioved`ı 54

venerd`ı 54

sabato 54

1. Calcolare la media, la mediana e la deviazione standard delle temperature massime della settimana.

2. Quale dovrebbe essere la temperatura massima della domenica perch`e la media generale diventi di 55 Fahrenheit?

3. Quali sono la media e la deviazione standard, calcolate in gradi Celsius?

[N.B.: si ricorda che, posta TC la temperatura in gradi Celsius eTF la temperatura in Fahrenheit, vale la relazione TC =5

9(TF−32).]