Capitolo 5
Calcolo delle caratteristiche geometriche ed inerziali del cassone
5.1 IntroduzioneIn prima analisi il cassone viene schematizzato con una geometria rettangolare cava i cui spessori vengono definiti dall'utente. Il dimensionamento viene effettuato discretizzando l'apertura alare con passo, arbitrariamente scelto, del 2,5% all'apertura alare e per ognuna di queste sezioni, vengono calcolate le caratteristiche geometriche ed inerziali. Al termine della procedura sarà possibile assegnare un peso iniziale alla configurazione alare, e i risultati geometrici ed inerziali saranno organizzati in strutture tipo “Array”, in modo da poter essere successivamente ripresi dal programma.
5.2 Dati di ingresso
Il file avvio rappresenta l'interfaccia con l'operatore; infatti è possibile inserire direttamente nell'editor i valori desiderati. I dati che possono essere inseriti per il dimensionamento del cassone alare sono i seguenti:
dati del cassone:
spessore dell'anima destra e sinistra al root e al tip [m]; spessore della flangia superiore e inferiore al root e al tip [m]; dati della centina:
numero di centine;
spessore della flangia della cantina al root e al tip [m]; spessore dell'anima della centina al root e al tip [m]; valore limite della tensione normale e tangenziale [Pa]; densità [kg/m3]
del longherone anteriore e posteriore del cassone ; delle centine;
Oltre a questi dati direttamente inseriti dall'utente, il programma carica i dati provenienti da ASD sulla geometria alare. Attraverso tali informazioni è possibile definire le caratteristiche geometriche ed inerziali del cassone e calcolare alla fine il peso del cassone di primo tentativo.
5.3 Definizione del profilo alare
Per disegnare il profilo alare il programma ha bisogno dei dati forniti da ASD e dal file avvio. Il procedimento seguito è il seguente:
1) acquisizione del nome del profilo da ASD e ricerca dei dati relativi al profilo desiderato; 2) discretizzazione dell'ala lungo la ascissa adimensionale η, che definisce la posizione
occupata dalle centine lungo l'apertura;
3) calcolo della corda per la sezione al root e al tip, e mediante interpolazione lineare anche nelle sezioni in cui è stata discretizzata l'ala;
4) nuova discretizzazione dell'ala in sezioni di passo 2,5% la lunghezza dell'ala; 5) calcolo dei valori del dorso e del ventre del profilo per ogni sezione considerata;
6) calcolo del max spessore percentuale del profilo e della corrispondente ascissa per ogni sezione;
7) disegno del profilo per ogni sezione lungo l'apertura alare. Si spiega ora in dettaglio quanto enunciato nei punti precedenti:
1) La prima operazione consiste nell'acquisire i dati del profilo. In pratica il programma
dopo aver identificato il profilo è in grado automaticamente di cercare in un opportuno database contenente i file sui profili, di aprire quello desiderato e aquisire le informazioni contenute. In alternativa è possibile caricare un generico file “.dat”, contenente le informazioni geometriche del profilo desiderato.
La geometria del profilo è descritta solitamente attraverso una lista di punti appartenenti al dorso e al ventre del profilo stesso.
E' stato determinato un formato unico per descrivere uniformemente la geometria del profilo; ovvero attraverso l'interpolazione dei punti riportati nel file “.dat”, di ingresso, è possibile determinare una matrice N120 X 3 in cui le righe rappresentano i punti di
discretizzazione lungo la corda, mentre le colonne descrivono la ascissa adimensionalizzata (% della corda) e le coordinante del dorso e del ventre, rispettivamente.
2) La discretizzazione lungo l'apertura alare viene dapprima effettuata nelle posizioni
occupate dalle centine mediante una coordinata adimensionale così definita:
η=0 : 1
ncent−1:1 in cui ncent è il numero di centine inserito dall'utente nel file avvio La scelta di operare due discretizzazioni è dovuta alla necessità di calcolare le dimensioni del profilo oltre che nei punti di discretizzazione pari a 2,5% la lunghezza dell'ala, anche in corrispondenza delle centine.
3) La corda dell'ala viene calcolata attraverso i valori noti della corda al root e al tip, e
supponendo un andamento lineare lungo l'apertura alare, in ognuna delle sezioni definite da η attraverso la seguente espressione:
c=cROOT−(cROOT−cTIP)η
4) Nuova discretizzazione dell'ala, effettuata in sezioni di passo 2,5% della lunghezza
dell'ala, per uniformare la discretizzazione a quella utilizzata dal programma. I valori precedentemente ottenuti lungo η, vengono adesso definiti lungo la nuova discretizzazione mediante interpolazione lineare.
5) Il valore del massimo spessore percentuale del profilo si ottiene tramite la seguente
relazione:
tMAX=max(y (i)DORSO−y (i)VENTRE) c
Il programma è inoltre in grado di trovare la posizione lungo la corda in cui si ha il massimo spessore del profilo, attraverso la seguente interpolazione lineare:
x_max = interp1(h(i), y(i), h_max)
y(i)DORSO è lo coordinata i-esima del dorso del profilo; y(i)VENTRE è la i coordinata i-esima del ventre del profilo; c è la corda del profilo.
In figura 5.1 si riporta a titolo di esempio il disegno dei profili nelle sezioni dell'ala posteriore, relativo al profilo N63210.
5.3.1 Verifica del max spessore percentuale e della relativa ascissa
Le informazioni relative al profilo sono ottenute per interpolazione e pertanto possono essere soggette ad errori, dipendenti dal numero dei punti utilizzato per descrivere la geometria.
Per verificare la correttezza dei risultati, è stata condotta una analisi comparativa tra i valori del max spessore percentuale dei profili presenti in letteratura e quelli forniti dal programma; la stessa cosa vine effettuata per le ascisse in corrispondenza del massimo spessore percentuale.
Si considerano quindi quattro profili diversi e si riportano nella seguente tabella i valori trovati per ognuno di essi.
PROFILO Max spessore percentuale [%] Ascissa del max spessore percentuale [%]
letteratura Programma Errore letteratura Programma Errore
NACA 0014 13,90 13,9830 0,6 31,90 31,3242 1,8
N 63210 10,00 9,9995 0005 34,50 35,0526 1,6
NACA 2411 11,00 10,9970 0,03 31,00 30,1063 2,9
N66021 21,00 20,9900 0,0500 44,80 45,3863 1,3
Come si può notare gli errori sono più che accettabili.
Fig.5.1
Tab.5.1 h(i) è lo spessore del profilo lungo la coordinata i-esima della corda; y(i) è la coordinata i-esima della corda;
h_max è lo spessore massimo del profilo dove:
5.4 Posizionamento del longherone anteriore e posteriore
Le posizioni del longherone anteriore e posteriore lungo la corda vengono scelte dall'utente, il programma consente inoltre di posizionare autonomamente il longherone anteriore in corrispondenza del massimo spessore, se richiesto dall'utente.
Il menu di interfaccia è riportato in Fig. 5.2.
Successivamente, il programma chiede all'utente di inserire la posizione del longherone in percentuale della corda media aerodinamica dell'ala, misurata a partire dal bordo di attacco.
Questa operazione viene ripetuta per l'ala anteriore, posteriore e per il bulk.
Così come anticipato nella definizione del profilo il programma discretizza l'ala in sezioni di passo 2,5% la lunghezza effettiva dell'ala e per ognuna di queste sezioni si calcolano le grandezze geometriche ed inerziali del cassone, i cui parametri vengono raggruppati nelle matrici.
5.5 Generazione del cassone alare
Il cassone alare è formato da:
• 2 longheroni (longherone anteriore e posteriore);
• correnti;
• centine;
• rivestimento.
Come accennato in precedenza, in prima analisi, il cassone viene schematizzato con una geometria rettangolare cava (Fig.5.3), in cui lo spessore generalizzato del lato superiore e inferiore del cassone tiene conto del contributo dei correnti, (struttura a parametri distribuiti).
La larghezza media della i-esima sezione del cassone è data dalla distanza tra longherone anteriore e posteriore, mentre l'altezza media della i-esima sezione è ottenuta come valore medio tra le altezze
dei due longheroni e dipende dalla posizione di questi:
• se il longherone anteriore è in corrispondenza del max spessore del profilo:
hi = (hi_dx+hi_sx)/2;
• se il longherone anteriore non è in corrispondenza del max spessore del profilo:
hi = (hi_dx+hi_sx+hi_max)/3;
hi_dx è l'altezza del longherone posteriore nella i-esima sezione del cassone;
hi_sn è l'altezza del longherone anteriore nella i-esima sezione del cassone;
hi_max è il max spessore del profilo nella i-esima sezione del cassone.
In figura 5.3 si riporta ad esempio la schematizzazione di un cassone di un profilo NACA 2415. dove:
Fig.5.3 yTE
ymax yLE
5.6 Procedura di calcolo delle caratteristiche geometriche ed inerziali del cassone sezione per sezione
La fig.5.4 illustra la schematizzazione del cassone con una geometria rettangolare cava, in cui sono anche definite le principali caratteristiche geometriche della sezione. Nella designazione è stato omesso il pedice i, relativo alla sezione i-esima, per non appesantire il disegno; il significato dei simboli è il seguente:
• l è la larghezza della linea media della i-esima sezione del cassone, calcolata nel
paragrafo precedente:
• h è l'altezza della linea media della i-esima sezione del cassone, calcolata nel paragrafo precedente;
• lesterno è la larghezza esterna della sezione i-esima del cassone;
• hesterna è l'altezza esterna della sezione i-esima del cassone;
• linterno è la larghezza interna della sezione i-esima del cassone;
• hinterno è l'altezza interna della sezione i-esima del cassone;
• sup è lo spessore del lato superiore del cassone;
• sdown è lo spessore del lato inferiore del cassone;
• sdx è lo spessore del lato destro;
• ssx è lo spessore del lato sinistro.
La funzione “geometria cassone” riceve in ingresso i dati geometrici della sezione al root e al tip dell'ala anteriore, posteriore e del bulk e calcola le caratteristiche geometriche ed inerziali sezione
h l lesterno linterno hesterno h interno O y z sup sdown sdx ssx z Fig.5.4
per sezione lungo l'apertura alare.
Facendo riferimento alla fig. 5.4, si elencano le principali caratteristiche geometriche della i-esima sezione del cassone:
• Si calcola l'altezza interna del cassone hinterno per la sezione al root e al tip:
hinterno=h−(
sup
2 )−(
sdown
2 )
• Si calcola la larghezza interna linterno per la sezione al root e al tip:
linterno=l−(ssx
2 )−(
sdx 2 )
• L'altezza interna della sezione i-esima è ottenuta tramite la seguente relazione: hinterno(i)=hinterno R+s (i)(hinternoT−hinterno R
Ltot
)
• L'altezza esterna della sezione i-esima è invece ottenuta come:
hesterno(i)=hR+s (i)(hT−hR Ltot
)
• L'area della sezione i-esima è calcolata tramite la seguente relazione:
A (i)=lesterno(i) hesterno(i)−linterno(i) hinterno(i)
h R è l'altezza della linea media del cassone al root; hT è l'altezza della linea media del cassone al tip; hinterno R è la altezza interna del cassone al root; hinterno T è la altezza interna del cassone al tip;
s(i) è la ascissa i-esima in cui è stata discretizzata l'ala; LTOT è la lunghezza totale dell'ala;
Qui di seguito sono invece riportate le principali caratteristiche inerziali della sezione i-esima; in riferimento alla figura 5.4 si ha:
• Il momento di inerzia rispetto all'asse z locale nella i-esima sezione del cassone trascurando
il contributo dello spessore dei lati superiore ed inferiore è: Iz(i)=lesterno
3
(i) hesterno(i)−linterno3 (i) hinterno(i)
12
• Il momento di inerzia rispetto all'asse y locale nella i-esima sezione del cassone alare trascurando il contributo dello spessore dei lati verticali è:
Iy(i)=lesterno(i) hesterno
3
(i)−linterno(i) hinterno3 (i)
12
• Il momento di inerzia rispetto all'asse Z baricentrico della sezione i-esima: Ix(i)=Iy(i)+Iz(i)
• Il modulo della sezione i-esima:
Z (i)= Iz(i)
(hesterno(i)/2)
• Il raggio di inerzia della sezione i-esima: r (i)=Iz(i)
A(i)
5.7 Salvataggio dei dati geometrici e inerziali nelle matrici dati_inerzia e dati_sezione
I parametri calcolati dalla funzione sono raggruppati in due matrici: una matrice contiene le caratteristiche geometriche delle sezioni e l'altra le caratteristiche inerziali. Per esempio i dati geometrici salvati nella matrice dati_sezione sono così strutturati:
dati_sezione ala_anteriore bulk ala_posteriore Matrice (13xn) Matrice (13xn) Matrice (13xn)
Le righe della matrice contengono le variabili geometriche, le colonne invece identificano la sezione in cui viene calcolato il valore: le sezione n.
Le variabili geometriche contenute nella matrice dati sezione sono: 1) ascissa lungo l'apertura alare (root-->tip) delle sezioni; 2) altezza esterna del cassone;
3) altezza interna del cassone; 4) larghezza esterna del cassone; 5) larghezza interna del cassone;
6) spessore del lato destro e sinistro del cassone (spessore longherone); 7) spessore lato superiore;
8) spessore lato inferiore; 9) area della sezione;
10) rapporto tra l'area della sezione e l'area totale; 11) spessore medio del cassone;
12) parametro spessori sottili;
13) rapporto tra il max spessore e la dimensione minima. Le variabili inerziali contenute nella matrice dati sezione sono:
a) momento di inerzia lungo x y z; b) momento statico lungo y; c) modulo della sezione; d) densità;
e) baricentro;
Di questi dati contenuti nelle matrici, i più importanti vengono plottati sezione per sezione nella
Command Window, e viene inoltre effettuato il disegno tridimensionale dei singoli cassoni alari e
dell'intera configurazione alare, in modo che l'utente possa avere tutto sotto controllo. In fig. 5.5 viene illustrato il disegno del cassone alare dell'ala posteriore, e in fig. 5.6 il disegno dell'intera configurazione alare.
Fig. 5.5
5.8 Calcolo del peso strutturale del cassone
Il procedimento seguito per calcolare il peso del cassone, consiste nel calcolare dapprima il peso per unità di lunghezza delle sezioni in cui è stata discretizzata l'ala, e poi integrare i risultati ottenuti per tutta la lunghezza dell'ala:
Pcassone=
∫
0 L
ρ(i) A(i)dx
La sintassi matlab è la seguente:
peso_cassone.(nome)=trapz(dati_inerzia.(nome)(8,:),dati_inerzia.(nome(1,:)*ro_longh))
Si moltiplica quindi la densità del longherone per l'area del cassone in ogni sezione e poi si integra con la funzione trapz. Si noti l'utilizzo della struttura “nome”, indicante il fatto che tale operazione viene effettuata per l'ala anteriore, il bulk e la paratia.
I risultati vengono raccolti in una tabella rappresentata nella Command Windows, insieme ai pesi del centine e al peso totale del cassone, di cui si parlerà nel capitolo successivo.
dove: ρ(i) è la densità del casssone
