Al Teorema di esistenza degli zeri (o equivalentemente dei valori intermedi), pre- mettiamo le seguenti definizioni. Un insieme A ✓ Rn `e detto

4. FUNZIONI CONTINUE 55

Al Teorema di esistenza degli zeri (o equivalentemente dei valori intermedi), pre- mettiamo le seguenti definizioni. Un insieme A ✓ R

`e detto connesso se non `e unione disgiunti di aperti non vuoti: se A = A

[ A

con A

e A

aperti disgiunti allora A

= ; oppure A

= ;.

La condizione di connessione, per insiemi aperti di R

`e equivalente alla condi- zione di connessione per archi, dove un insieme A ✓ R

`e detto connesso per archi se presi comunque due punti P

, P

2 A esiste una curva ' : [0, 1] ✓ R ! R

con sostegno '([0, 1]) ⇢ A tale che '(0) = P

e '(1) = P

.*

Sono esempi di insiemi connessi (per archi) gli insiemi convessi e gli insiemi stellati.

I primi sono insiemi per i quali, presi comunque due punti P

, P

2 A, il segmento che li congiunge P

P

risulta contenuto in A. Gli insiemi stellati sono invece insiemi per i quali esiste un punto P

2 A tale che per ogni P 2 A, il segmento P

P che congiunge P

con P risulta contenuto in A.

Ad esempio, in R sono convessi tutti e soli gli intervalli della retta reale. Un disco B

(P

) = {P 2 R

| d(P, P

) < r } `e un esempio di insieme convesso (e stellato) e dunque connesso. Una corona circolare {P 2 R

| 0 < r < d(P, 0) <

R } `e un insieme connesso (per archi) ma non risulta invece ne’ convesso ne’

stellato. L’insieme A = R

\ {x = 0} `e invece un esempio di aperto non connesso.

Osserviamo che A = A

[ A essendo A

= {(x, y) 2 R

| ± x > 0} aperti connessi disgiunti non vuoti.

In generale, si pu` o provare che ogni insieme aperto non vuoto A ✓ R

`e unione di una famiglia {A

}

di insiemi aperti, connessi, a due a due disgiunti:

A = [

A

, A

\ A

= ;, 8i 6= j.

Ogni insieme A

, i 2 I, verr`a detto componente connessa dell’aperto A.

Vale allora

Teorema 2.4.

Sia f (x, y) continua in A ✓ Domf, insieme aperto e connesso (per archi). Al- lora presi comunque P

(x

, y

), P

(x

, y

) 2 A, la funzione assume tutti i valori compresi tra i valori f (x

, y

) e f (x

, y

).

*Per provare che se A ✓ Rⁿ`e aperto, le due condizioni di connessione e connessione per archi sono equivalenti, `e sufficiente osservare che se A non fosse connesso, siano A1, A2 aperti non vuoti tali che A = A1[ A² e A1\ A²=;. Allora, preso P¹2 A¹e P22 A², una qualunque curva ' congiungente i due punti non potr`a avere sostegno contenuto in A. Viceversa, fissato P0 2 A, consideriamo l’insieme A<sup>1</sup> dei punti P 2 A per i quali esiste una curva con sostegno contenuto in A congiungente P0 con P , ed il suo complementare A2 = A\ A1. Si pu`o allora provare che A1 e A2 sono aperti con A1[ A²= A e A1\ A²=;. Se A `e connesso avremo allora che A2=; e dunque che A = A1, da cui segue che A `e connesso per archi

56 2. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI DUE VARIABILI

Dim. Per quanto osservato sopra, se A `e un aperto connesso allora risulta con- nesso per archi. Dati P

(x

, y

), P

(x

, y

) 2 A sia allora ' : [0, 1] ✓ R ! R

con sostegno '([0, 1]) ⇢ A tale che '(0) = P

e '(1) = P

e consideriamo la funzione F (t) = f ('(t)), t 2 [0, 1]. Essendo f(x, y) continua in A e '(t) continua in [0, 1]

con '([0, 1]) ⇢ A, avremo che F (t) risulta continua in [0, 1] e dal Teorema dei valori intermedi per funzioni di una variabile reale, F (t) assume tutti i valori com- presi tra F (0) = f (x

, y

) e F (1) = f (x

, y

). Dunque la funzione f |

(x, y), e quindi f (x, y), assume tutti i valori compresi tra f (x

, y

) e f (x

, y

). ⇤ Osserviamo che la condizione di connessione `e necessaria. Ad esempio la funzione

f (x, y) =

(

0 se x < 0 1 se x > 0

`e continua nell’aperto, non connesso, A = R

\ {x = 0} ma non assume alcun

valore compreso tra 0 e 1.