PROGRAMMA DEL CORSO DI CALCOLO 1 A.A. 2006/07
Ingegneria Informatica, canale A-K (corso tenuto dal dott. B. Palumbo)
Nota: l'asterisco subito dopo un teorema indica che è richiesta la dimostrazione.
NUMERI REALI
Cenni sui vari insiemi numerici: naturali, interi, razionali, reali. Operazioni possibili nei vari insiemi. Rappresentazione decimale. Numeri periodici e frazioni generatrici. Proprietà dei numeri reali. Maggioranti e minoranti di un insieme. Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Assioma dell'estremo superiore. Teorema di caratterizzazione dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore*. Densità dei razionali nei reali.
LIMITI E CONTINUITÀ
Concetto intuitivo e definizione rigorosa di funzione. Dominio e codominio. Rappresentazione grafica di una funzione reale di variabile reale. Alcuni grafici di importanti funzioni elementari.
Concetto intuitivo e definizione rigorosa di limite finito per x a finito. Esempi di verifica di un limite con la sola definizione. Teoremi sui limiti: unicità*, permanenza del segno*, limite di una somma*, limite di un prodotto e di un quoziente. Funzioni composte. Funzioni continue in un punto e in un intervallo. Calcolo pratico di limiti. Punti di discontinuità. Limite di sen x / x ed applicazioni. Limiti infiniti e limiti all'infinito. Teoremi sulle funzioni continue: teorema dell'esistenza degli zeri*, teorema dei valori intermedi*, teorema di Weierstrass, teorema del segno costante* ed applicazione alla risoluzione di disequazioni di tipo qualsiasi.
DERIVATE
Derivata di una funzione e suo significato geometrico e fisico. Derivate di alcune funzioni elementari. Regole per il calcolo delle derivate. Derivata di una funzione composta. Derivata della funzione inversa (solo giustificazione grafica). Teoremi del calcolo differenziale: teorema di Rolle, teorema di Lagrange. Teorema di monotonia delle funzioni derivabili*. Massimi e minimi relativi.
Punti di flesso a tangente orizzontale. Determinazione di massimi, minimi e flessi a tangente orizzontale tramite lo studio del segno della derivata. Metodi per la determinazioni di asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Studi di funzioni. Casi di funzioni con punti isolati di non derivabilità: punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale.
NUMERI COMPLESSI
Definizione intuitiva di numero complesso come somma di un numero reale e di un numero immaginario. Il piano di Gauss. Coniugato ed inverso di un numero complesso. Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso. Modulo ed argomento principale. Prodotto di numeri complessi scritti in forma trigonometrica*. Formula di De Moivre per la potenza n-esima di un numero complesso*. Formula per le radici n-esime di un numero complesso*.
