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ATTIVIT `A 9 Determinare la formula di Taylor dell’ordine indicato centrato in x

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Academic year: 2021

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(1)

ATTIVIT ` A 9

Determinare la formula di Taylor dell’ordine indicato centrato in x 0 = 0 delle seguenti funzioni 1. f (x) = log(1 x) cos 2 x + e x di ordine 3

2. f (x) = log(cos x) x sin x di ordine 4

Calcolare l’ordine di infinitesimo per x ! 0 delle seguenti funzioni 3. f (x) = 1+x x

22

e sin

2

x + 1

4. f ↵ (x) = sinh x cos x p

1 + ↵x + 1 al variare di ↵ 2 R 5. f ↵ (x) = »

3

cosh( p

3x) cosh(x ↵ ) al variare di ↵ > 0 Utilizzando gli sviluppi di Taylor calcolare i seguenti limiti 6. lim

x!0

+

sin 2 x 2 log(1 + ↵x 2 )

x 2 log(1 + sinh x) al variare di ↵ 2 R 7. lim

n !+1 n Å»

e sinh

1n

cosh n 1

↵

ã

al variare di ↵ > 0

Per risolvere i precedenti esercizi sar` a utile ricordare i seguenti sviluppi notevoli per x ! 0

• e x = 1 + x + x 2

2

+ x 3!

3

+ ... + x n!

n

+ o(x n )

• (1 + x) ↵ = 1 + ↵x + ↵(↵ 1) 2 x 2 + ... + ↵(↵ 1)(↵ 2)...(↵ n+1)

n! x n + o(x n )

• 1+x 1 = 1 x + x 2 x 3 + ... + ( 1) n x n + o(x n )

• log(1 + x) = x x 2

2

+ x 3

3

+ ... + ( 1) n+1 x n

n

+ o(x n )

• arctan x = x x 3

3

+ x 5

5

+ ... + ( 1) n x 2n 1

2n 1

+ o(x 2n )

• sin x = x x 3!

3

+ x 5!

5

+ · · · + ( 1) n x (2n 1)!

2n 1

+ o(x 2n )

• cos x = 1 x 2

2

+ x 4!

4

+ · · · + ( 1) n x (2n)!

2n

+ o(x 2n+1 )

• sinh x = x + x 3!

3

+ x 5!

5

+ · · · + (2n 1)! x

2n 1

+ o(x 2n )

• cosh x = 1 + x 2

2

+ x 4!

4

+ · · · + (2n)! x

2n

+ o(x 2n+1 )

(2)

RISOLUZIONE

1. Determiniamo lo sviluppo di Taylor di ordine 3 di f (x) = log(1 x) cos 2 x + e x centrato in x 0 = 0. Ricordando che log(1 x) = x x 2

2

x 3

3

+ o(x 3 ), cos x = 1 x 2

2

+ o(x 3 ) mentre e x = 1 + x + x 2

2

+ x 6

3

+ o(x 3 ) per x ! 0 otteniamo

f (x) = log(1 x) cos 2 x + e x

= x x 2

2

x 3

3

+ o(x 3 ) (1 x 2

2

+ o(x 3 )) 2 + 1 + x + x 2

2

+ x 6

3

+ o(x 3 )

= x 3

3

+ o(x 3 ) (1 x 3 + o(x 3 )) + 1 + x 6

3

+ o(x 3 )

= x 3

3

+ o(x 3 ) + x 3 + o(x 3 ) + x 6

3

+ o(x 3 )

= ( 1 3 + 1 + 1 6 )x 3 + o(x 3 ) = 5 6 x 3 + o(x 3 )

2. Determiniamo lo sviluppo di Taylor di ordine 4 della funzione f (x) = log(cosh x) x sin x.

Ricordando che cosh x = 1 + x 2

2

+ x 4!

4

+ o(x 4 ) per x ! 0 e che log(1 + y) = y y 2

2

+ o(y 2 ) per y ! 0, otteniamo

log(cosh x) = log(1 + (cosh x 1)) = (cosh x 1) 1 2 (cosh x 1) 2 + o((cosh x 1) 2 )

= Ä x 2

2

+ x 24

4

+ o(x 4 ) ä 1 2 Ä x 2

2

+ x 24

4

+ o(x 4 ) ä 2 + o(( x 2

2

+ x 24

4

+ o(x 4 )) 2 )

= ( x 2

2

+ x 24

4

+ o(x 4 )) 1 2 ( x 4

4

+ o(x 4 )) + o( x 4

4

+ o(x 4 ))

= x 2

2

+ ( 24 1 1 8 )x 4 + o(x 4 ) = x 2

2

x 12

4

+ o(x 4 ) Ricordando che sin x = x x 3!

3

+ o(x 3 ) per x ! 0 otteniamo

f (x) = log(cosh x) x sin x = x 2

2

x 12

4

+ o(x 4 ) x(x x 6

3

+ o(x 3 ))

= x 2

2

x 12

4

+ o(x 4 ) x 2 + x 6

4

+ o(x 4 )

= x 2

2

+ x 12

4

+ o(x 4 )

3. Calcoliamo l’ordine di infinitesimo della funzione f (x) = 1+x x

22

e sin

2

x + 1 per x ! 0. Determi- niamo lo sviluppo di ordine 4 della funzione (j) . Per x ! 0 abbiamo 1+x x

22

= x 2 (1 x 2 + o(x 3 )) = x 2 x 4 + o(x 4 ) mentre

e sin

2

x = 1 + sin 2 x + 1 2 sin 4 x + o(sin 4 x)

= 1 + (x x 6

3

+ o(x 3 )) 2 + 1 2 (x x 6

3

+ o(x 3 )) 4 + o((x x 6

3

+ o(x 3 )) 4 )

= 1 + (x 2 x 3

4

+ o(x 4 )) + 1 2 (x 4 + o(x 4 )) + o(x 4 + o(x 4 ))

= 1 + x 2 + x 6

4

+ o(x 4 )) Quindi

f (x) = 1+x x

22

e sin

2

x + 1 = x 2 x 4 + o(x 4 ) (1 + x 2 + x 6

4

+ o(x 4 )) + 1

= 7 6 x 4 + o(x 4 )

da cui possiamo concludere che l’ordine di infinitesimo della funzione `e 4.

(j)

Osserviamo infatti che per x ! 0 si ha

1+xx2

⇠ x

2

e e

sin2x

1 ⇠ sin

2

x ⇠ x

2

, i due addendi hanno la stessa parte

principale. Inoltre la funzione `e pari, quindi nella formula di Taylor compariranno solo potenze pari: la potenza successiva

a x

2

sar` a quindi x

4

.

(3)

4. Calcoliamo l’ordine di infinitesimo della funzione f ↵ (x) = sinh x cos x p

1 + ↵x + 1 per x ! 0 al variare di ↵ 2 R, determinando la formula di Taylor del secondo ordine della funzione (k) . Abbiamo

f (x) = sinh x cos x p

1 + ↵x + 1

= (x + o(x 2 ))(1 + o(x)) (1 + ↵ 2 x ↵ 8

2

x 2 + o(x 2 )) + 1

= (x + o(x 2 )) ( ↵ 2 x ↵ 8

2

x 2 + o(x 2 ))

= (1 ↵ 2 )x + ↵ 8

2

x 2 + o(x 2 ) Quindi per ogni ↵ 6= 2 abbiamo

f ↵ (x) = (1 ↵ 2 )x + o(x)

e la funzione avr` a ordine di infinitesimo pari a 1, se invece ↵ = 2 allora f ↵ (x) = ↵ 8

2

x 2 + o(x 2 ) = 1 2 x 2 + o(x 2 ) e la funzione ha ordine di infinitesimo 2.

5. Calcoliamo l’ordine di infinitesimo della funzione f ↵ (x) = p

3

cosh x cosh(x ↵ ) per x ! 0 al variare di ↵ > 0. A tale scopo determiniamo lo sviluppo di ordine 2 di p

3

cosh x e la formula di Taylor di ordine 4↵ di cosh(x ↵ ) (l) . Per x ! 0 + abbiamo

»

3

cosh p 3x =

3

»

(cosh p

3x 1) + 1

= 1 + 1 3 (cosh p

3x 1) 1 9 (cosh p

3x 1) 2 + o((cosh p

3x 1) 2 )

= 1 + 1 3 ( 3x 2 + 9x 4!

2

+ o(x 2 )) 1 9 ( 3x 2 + 9x 4!

2

+ o(x 2 )) 2 + o(( 3x 2 + 9x 4!

2

+ o(x 2 )) 2 )

= 1 + 1 3 ( 3x 2 + 9x 4!

2

+ o(x 2 )) 1 9 ( 9x 4

2

+ o(x 2 )) + o( 9x 4

2

+ o(x 2 ))

= 1 + x 2 + x 8

2

x 4

2

+ o(x 2 ) = 1 + x 2 x 8

2

+ o(x 2 ) mentre

cosh(x ↵ ) = 1 + x

2↵

2 + x 24

4↵

+ o(x 4↵ ) Dunque

f ↵ (x) = 1 + x 2 x 8

2

+ o(x 2 ) (1 + x

2↵

2 + x 24

4↵

+ o(x 4↵ ))

= x 2 x 8

2

+ o(x 2 ) x

2↵

2 x 24

4↵

+ o(x 4↵ )

Valutando i termini trascurabili al variare di ↵ > 0, possiamo concludere che

(k)

osserviamo infatti che per x ! 0 abbiamo sinh x cos x ⇠ sinh x ⇠ x e p 1 + ↵x 1 ⇠

↵2

x, dunque i due addendi avranno la stessa parte principale per ↵ = 2. Per calcolare l’ordine di infinitesimo della funzione occorrer` a determinarne lo sviluppo almeno del secondo ordine

(l)

nota, per x ! 0

+

abbiamo p

3

cosh p

3x 1 =

3

»

1 + (cosh p

3x 1) 1 ⇠

13

(cosh p

3x 1) ⇠

x2

mentre

cosh(x

↵

) 1 ⇠

x2↵2

Quindi per ↵ =

12

le due funzioni hanno la stessa parte principale

(4)

• se 2↵ > 1 allora x 2↵ = o(x), quindi f ↵ (x) = x 2 + o(x) e la funzione ha ordine di infinitesimo 1

• se 2↵ < 1 allora x = o(x 2↵ ), dunque f ↵ (x) = x

2↵

2 + o(x 2↵ ) e la funzione ha ordine di infinitesimo 2↵

• se 2↵ = 1 allora f ↵ (x) = x 8

2

x 24

2

+ o(x 2 ) = x 6

2

+ o(x 2 ) e la funzione ha ordine di infinitesimo 2

6. Calcoliamo il limite lim

x !0

+

sin 2 x 2 log(1 + ↵x 2 )

x 2 log(1 + sinh x) al variare di ↵ 2 R Osserviamo innanzitutto che per x ! abbiamo

x 2 log(1 + sinh x) ⇠ x 2 sinh x ⇠ x 3

Per calcolare il limite sar` a allora sufficiente determinare la formula di Taylor del terzo ordine centrata in x 0 = 0 del numeratore. Dagli sviluppi di Taylor per x ! 0 otteniamo sin 2 x = (x + o(x 2 )) 2 = x 2 + o(x 3 ) e log(1 + ↵x 2 ) = ↵x 2 + o(x 3 ), dunque

sin 2 x 2 log(1 + ↵x 2 ) = x 2 + o(x 3 ) 2(↵x 2 + o(x 3 )) = (1 2↵)x 2 + o(x 3 ) per ogni ↵ 2 R. Ne segue che se 2↵ 6= 1 allora sin 2 x 2 log(1 + ↵x 2 ) ⇠ (1 2↵)x 2 e quindi

x lim !0

+

sin 2 x 2 log(1 + ↵x 2 )

x 2 log(1 + sinh x) = lim

x !0

+

(1 2↵)x 2

x 3 =

( + 1 se 2↵ < 1 1 se 2↵ > 1 Se invece 2↵ = 1 allora sin 2 x 2 log(1 + ↵x 2 ) = o(x 3 ) e dunque

x lim !0

+

sin 2 x 2 log(1 + ↵x 2 )

x 2 log(1 + sinh x) = lim

x !0

+

o(x 3 ) x 3 = 0 7. Calcoliamo il limite lim

n!+1 n Å»

e sinh

n1

cosh n 1

↵

ã

al variare che ↵ > 0 determinando innanzitut- to l’ordine di infinitesimo della successione a n =

»

e sinh

n1

cosh n 1

↵

per n ! +1. Posto x = 1 n abbiamo che x ! 0 quando n ! +1, determiniamo quindi l’ordine di infinitesimo per x ! 0 +

della funzione p

e sinh x cosh x ↵ . Abbiamo che

cosh(x ↵ ) = 1 + x

2↵

2 + x 24

4↵

+ o(x 4↵ ) mentre

p e sinh x = e

12

sinh x = 1 + 1 2 sinh x + 1 8 sinh 2 x + o(sinh 2 x)

= 1 + 1 2 (x + o(x 2 )) + 1 8 (x + o(x 2 )) 2 + o((x + o(x 2 )) 2 )

= 1 + x 2 + x 8

2

+ o(x 2 ) da cui

p e sinh x cosh(x ↵ ) = x 2 + x 8

2

+ o(x 2 ) x

2↵

2 x 24

4↵

+ o(x 4↵ ) = 8 >

> <

> >

:

x

2 + o(x) se 2↵ > 1

x

2

12 se 2↵ = 1

x

2↵

2 + o(x 2↵ ) se 2↵ < 1

(5)

Posto allora x = n 1 , per n ! +1 otteniamo

a n =

»

e sinh

1n

cosh n 1

↵

⇠ 8 >

> <

> >

:

1

2n se 2↵ > 1

1

12n

2

se 2↵ = 1

1

2n

2↵

se 2↵ < 1 e dunque

n Å»

e sinh

n1

cosh n 1

↵

ã

= n · a n ⇠ 8 >

> <

> >

:

1

2 se 2↵ > 1

1

12n se 2↵ = 1

1

2n

2↵ 1

se 2↵ < 1 Possiamo quindi concludere che

n !+1 lim n Å»

e sinh

1n

cosh n 1

↵

ã

= 8 >

> <

> >

:

1

2 se 2↵ > 1

0 se 2↵ = 1

1 se 2↵ < 1

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