9. ESERCIZI su FUNZIONI DERIVABILI, parte 1 Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa. 1. Sia f (x) una funzione continua in [

9. ESERCIZI su FUNZIONI DERIVABILI, parte 1

Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Sia f (x) una funzione continua in [ 1, 1], allora A. f (x) `e derivabile in ogni x ₀ 2 ( 1, 1).

B. f (x) risulta limitata in [ 1, 1].

2. Sia f (x) una funzione derivabile in x = 0 con f (0) = 0, allora A. lim

x!0 f (x) = 0.

B. lim

x!0

f (x) x = 0.

3. Sia f (x) funzione pari, derivabile in R. Allora A. f ⁰ (x) `e funzione dispari.

B. per ogni x ₀ 2 R risulta f(x) 6= f(x 0 ) + f ⁰ (x ₀ )(x x ₀ ) qualunque sia x 6= x 0 .

Stabilire per quali valori di ↵, 2 R le seguenti funzioni risultano continue e derivabili in x 0 = 0.

4. f (x) =

( ↵ log(cos x)+x sin x

x

per x > 0

e ^x 1 per x  0

5. f (x) = ( p

1+x 1

x

se x > 0 sin( x) se x  0 6. f (x) =

( _log(1+x

)+x sin x

x

per x > 0 sinh( x) per x  0

7. f (x) =

( sinh(x ^↵ ) per x > 0 tan( x) per x  0 8. f (x) =

( _cosh(x

) 1

x per x > 0

p

1 + x p

1 + x per x  0

Ricordo che le funzioni seno iperbolico, sinh x, e coseno iperbolico, cosh x, sono definite come sinh x = e

e

2 e cosh x = e

+ e

2

e che valgono i seguenti limiti notevoli (provati nella risoluzione della scheda precedente, pagg. 42 e 43)

x

lim

sinh x

x = 1 e lim

x!0

cosh x 1 x

= 1

2

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