Notazioni. Siano r ą 0, x

1 Funzioni differenziabili in R ⁿ

Notazioni. Siano r ą 0, x

0

, x, y P R

ⁿ

, x “ px

1

, . . . , x

n

q e y “ py

1

, . . . , y

n

q, B

ⁿ

px

0

, rq “ tx P R

ⁿ

: kx ´ x

0

k ă ru,

B

ⁿ

px

0

, rq “ tx P R

ⁿ

: kx ´ x

0

k ď ru,

C

ⁿ

px

0

, rq “ ty P R

ⁿ

: |x

_i

´ y

i

| ă r, i “ 1, . . . , nu, C

ⁿ

px

0

, rq “ ty P R

ⁿ

: |x

_i

´ y

i

| ď r, i “ 1, . . . , nu.

Siano a, b P R, a ă b. Indicheremo l’intervallo aperto pa, bq “ tx| P R : a ă x ă bu anche con il simbolo sa, br.

Con HompR

ⁿ

, R

^m

q indicheremo lo spazio vettoriale reale delle applicazioni lineari L : R

ⁿ

Ñ R

^m

.

Sia U un sottoinsieme di R

ⁿ

. Indicheremo lo spazio delle applicazioni continue f : U Ñ R

^m

con C

⁰

pU, R

^m

q. Se m “ 1 useremo la notazione C

⁰

pU q al posto di C

⁰

pU, Rq.

Definizione 1.1. Siano dati un insieme U Ă R

ⁿ

e due applicazioni f : U Ñ R

^m

, g : U Ñ R con gpxq ě 0.

‚ Se esiste una costante C ą 0 tale che kf pxqk ď Cgpxq per ogni x P U scriveremo f pxq “ Opgpxqq.

e diremo che f pxq `e “o grande” di gpxq su U .

‚ Se x

0

` e un punto di accumulazione di U , lim

xÑx0

f pxq “ 0, lim

xÑx0

gpxq “ 0, esiste un intorno V di x

₀

tale gpxq ‰ 0, per ogni x P U X V , x ‰ x

0

, e

xÑx

lim

0

kf pxqk gpxq “ 0, scriveremo

f pxq “ opgpxqq, px Ñ x

0

q, e diremo che f pxq `e “o piccolo” di gpxq per x Ñ x

0

.

Definizione 1.2. Siano U un aperto di R

ⁿ

, f : U Ñ R

^m

un’applicazione e x P U . Diremo che f ` e differenziabile in x se esiste un’applicazione lineare L : R

ⁿ

Ñ R

^m

tale che

hÑ0

lim

kf px ` hq ´ f pxq ´ Lhk

khk “ 0, ph P R

ⁿ

q,

cio` e tale che

f px ` hq “ f pxq ` Lh ` opkhkq, ph Ñ 0q.

L’applicazione lineare L si chiama il differenziale di f in x e verr` a indicato con Df pxq. Se Df pxq esiste per ogni x P U , la mappa

Df : U Ñ HompR

ⁿ

, R

^m

q, x Ñ Df pxq,

`

e il differenziale di f .

Diremo che f : U Ñ R

^m

` e di classe C

¹

su U o che f P C

¹

pU, R

^m

q se la mappa Df : U Ñ HompR

ⁿ

, R

^m

q “ R

^mn

`

e continua.

Elenchiamo una serie di risultati.

• Il differenziale Df pxq, se esiste, `e unico.

• Se f `e differenziabile in x allora `e continua in x.

• Se f `e costante su U allora Df pxq “ 0 per ogni x P U .

• Se U `e connesso e Df pxq “ 0 per ogni x P U allora f `e costante su U .

• Se f P HompR

ⁿ

, R

^m

q allora Df pxq “ f pxq per ogni x P R

ⁿ

.

Proposizione 1.3. Siano U un aperto di R

ⁿ

, V un aperto di R

^m

, f : U Ñ R

^m

differenziabile in x, f pU q Ă V , g : V Ñ R

^p

differenziabile in y “ f pxq. Allora g ˝ f : U Ñ R

^p

` e differenziabile in x e

Dpg ˝ f qpxq “ Dgpyq ˝ Df pxq.

Valgono i seguenti fatti:

‚ Siano U un aperto di R

ⁿ

, f , g : U Ñ R

^m

differenziabili in x, λ, µ P R, allora λf ` µg `e differenziabile in x e

Dpλf ` µgqpxq “ λDpf qpxq ` µDgpxq.

‚ Sia B : R

ⁿ

ˆ R

^m

Ñ R

^p

una mappa bilineare. Allora B ` e differenziabile in ogni punto px, yq P R

ⁿ

ˆ R

^m

– R

^n`m

e

DBpx, yqru, vs “ Bpx, vq ` Bpu, yq, u P R

ⁿ

, v P R

^m

.

In particolare, se U ` e un aperto di R

ⁿ

, f , g : U Ñ R

^m

sono mappe differenziabili in x e x , y `e un prodotto scalare in R

^m

allora la funzione xf, gy : U Ñ R, xf, gypxq “ xf pxq, gpxqy ` e differenziabile in x e

Dpxf, gyqpxqrhs “ xgpxq, Df pxqrhsy ` xf pxq, Dgpxqrhsy, h P R

ⁿ

.

Se m “ 3 e ^ indica il prodotto vettoriale in R

³

, la funzione f ^ g : U Ñ R

³

, pf ^ gqpxq “ f pxq ^ gpxq, ` e differenziabile in x e

Dpf ^ gqpxqrhs “ gpxq ^ Dpf qpxqrhs ` f pxq ^ Dpgqpxqrhs, h P R

ⁿ

.

Proposizione 1.4. Siano U un aperto di R

ⁿ

e f : U Ñ R

^m

un’applicazione, f pxq “ pf

1

pxq, . . . , f

m

pxqq, f

i

: U Ñ R, i “ 1, . . . , m. Allora f `e differenziabile in x se e solo se f

i

` e differenziabile in x, i “ 1, . . . , m. Inoltre

Df pxq “ pDf

1

pxq, . . . , Df

m

pxqq.

Definizione 1.5. Siano U un aperto di R

ⁿ

, f : U Ñ R un’applicazione, v un versore di R

ⁿ

(cio` e v P R

ⁿ

con kvk “ 1) e p P U . Chiamiamo derivata direzionale di f in p nella direzione v il limite, se esiste,

lim

tÑ0

f pp ` tvq ´ f ppq t

che indicheremo con Bf Bv ppq.

Se v ` e uno dei vettori della base canonica e

1

, . . . , e

n

allora chiameremo Bf Be

i

ppq derivata parziale i-esima, i “ 1, . . . , n, e la indicheremo con Bf

Bx

i

ppq.

Le derivate direzionali esistono se e solo se esistono le derivate parziali e si ha, se v “ pα

1

, . . . , α

_n

q,

Bf

Bv ppq “ α

1

Bf Bx

1

ppq ` ¨ ¨ ¨ ` α

n

Bf Bx

n

ppq.

Proposizione 1.6. Siano U un aperto di R

ⁿ

e f : U Ñ R

^m

un’applicazione differenziabile in p, f pxq “ pf

1

pxq, . . . , f

m

pxqq, f

i

: U Ñ R, i “ 1, . . . , m. Allora esistono le derivate parziali delle f

i

e al differenziale Df ppq ` e associata, rispetto alla base canonica, la matrice jacobiana

J

p

pf q “ Bpf

1

, . . . , f

_m

q Bpx

1

, . . . , x

_n

q ppq “

¨

˚

˚

˚

˚

˝ Bf

1

Bx

1

ppq . . . Bf

1

Bx

n

ppq .. . . .. .. . Bf

m

Bx

1

ppq . . . Bf

m

Bx

n

ppq

˛

‹

‹

‹

‹

‚ .

Se m “ 1 indicheremo J

p

pf q con ∇

p

pf q po grad

_p

pf qq che chiameremo il gradiente di f in p. Pertanto se v ` e un versore di R

ⁿ

si ha

Bf

Bv ppq “ Df ppqrvs “ x∇

p

pf q, vy.

Inoltre f P C

¹

pU, R

^m

q se e solo se Bf

j

Bx

i

P C

⁰

pU q, i “ 1, . . . , n, j “ 1, . . . , m.

Proposizione 1.7. Siano U un aperto di R

ⁿ

, p P U , V un aperto di R

^m

, g : U Ñ V , gpxq “ pg

1

pxq, . . . , g

m

pxqq, aventi derivate parziali in p, gpU q Ă V , f : V Ñ R

^k

, avente derivate parziali in gppq, f pyq “ pf

1

pyq, . . . , f

k

pyqq. Allora F : U Ñ R, F pxq “ f ˝ g, F pxq “ pF

1

pxq, . . . , F

k

pxqq, ha derivate parziali in p e

BpF

1

, . . . , F

_k

q

Bpx

1

, . . . , x

_n

q ppq “ Bpf

1

, . . . , f

_k

q

Bpy

1

, . . . , y

_m

q pgppqq Bpg

1

, . . . , g

_m

q Bpx

1

, . . . , x

_n

q ppq, cio` e

¨

˚

˚

˚

˚

˝ BF

1

Bx

1

ppq . . . BF

1

Bx

n

ppq .. . . .. .. . BF

k

Bx

1

ppq . . . BF

k

Bx

n

ppq

˛

‹

‹

‹

‹

‚

“

¨

˚

˚

˚

˚

˝ Bf

1

By

1

pgppqq . . . Bf

1

By

m

pgppqq .. . . .. .. . Bf

k

By

1

pgppqq . . . Bf

k

By

m

pgppqq

˛

‹

‹

‹

‹

‚

¨

˚

˚

˚

˚

˝ Bg

1

Bx

1

ppq . . . Bg

1

Bx

n

ppq .. . . .. .. . Bg

m

Bx

1

ppq . . . Bg

m

Bx

n

ppq

˛

‹

‹

‹

‹

‚ .

In particolare BF

i

Bx

j

ppq “

m

ÿ

l“1

Bf

i

By

l

pgppqq Bg

l

Bx

j

ppq, i “ 1, . . . , k, j “ 1, . . . , n.

Se k “ 1 allora pf “ f

1

e F “ F

1

q BF

Bx

j

ppq “

m

ÿ

l“1

Bf By

l

pgppqq Bg

l

Bx

j

ppq, j “ 1, . . . , n.

Osservazione 1.8. Sia f : U Ñ R

^m

una mappa di classe C

^r

su un aperto U di R

ⁿ

. Se k ă n pensiamo R

^k

immerso in R

ⁿ

come il sottospazio di R

ⁿ

dei punti con n ´ k coordinate fissate nulle. Sia i : R

^k

Ñ R

ⁿ

l’imersione relativa.

i) Sia k ă n e V “ U X R

^k

. Allora f |

V

: V Ñ R

^m

` e una mappa di classe C

^r

. Infatti f |

V

“ f ˝ i : V Ñ R

^m

.

ii) Sia p ă m. Se f pU q Ă R

^p

Ă R

^m

allora f : U Ñ R

^p

` e una mappa di classe C

^r

. Infatti f “ pr ˝ f dove prpx

1

, . . . , x

m

q “ px

1

, . . . , x

p

q elimina le m ´ p coordinate nulle di R

^p

in R

^m

.

Definizione 1.9. Diremo che un’applicazione f : U Ñ R

^m

, U aperto di R

ⁿ

, ` e differenziabile due volte in U se il differenziale

Df : U Ñ HompR

ⁿ

, R

^m

q – R

^nm

`

e differenziabile in U . Allora chiameremo differenziale secondo di f la mappa

D

²

f “ DpDf q : U Ñ HompR

ⁿ

, HompR

ⁿ

, R

^m

qq – L

2

pR

ⁿ

, R

^m

q – R

^mn2

,

dove L

₂

pR

ⁿ

, R

^m

q ` e lo spazio delle mappe bilineari R

ⁿ

ˆ R

ⁿ

Ñ R

^m

. Diremo che f : U Ñ R

^m

` e di classe C

²

su U o che f P C

²

pU, R

^m

q se la mappa D

²

f ` e continua.

Pi` u in generale f ` e differenziabile k ě 2 volte in U se D

^k´1

f : U Ñ HompR

ⁿ

, HompR

ⁿ

, . . . , Hom

looooooooooooooooomooooooooooooooooon

k´1 volte

pR

ⁿ

, R

^m

qq . . . q

– L

k´1

pR

ⁿ

, R

^m

q – R

^mnk´1

, dove L

_k´1

pR

ⁿ

, R

^m

q ` e lo spazio delle mappe pk ´ 1q-lineari R looooooomooooooon

ⁿ

ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ R

ⁿ

k´1 volte

Ñ R

^m

,

`

e differenziabile in U . Allora chiameremo differenziale k-esimo di f la mappa D

^k

f : U Ñ HompR

ⁿ

, HompR

ⁿ

, . . . , Hom

looooooooooooooooomooooooooooooooooon

k volte

pR

ⁿ

, R

^m

qq . . . q – L

k

pR

ⁿ

, R

^m

q – R

^mnk

.

Utilizzando il linguaggio dei tensori abbiamo

L

k

pR

ⁿ

, R

^m

q – HompR

ⁿ

b ¨ ¨ ¨ b R

ⁿ

, R

^m

q

“ Hom

˜

r

â

0

pR

ⁿ

q, R

^m

¸

–

˜

k

â

0

pR

ⁿ

q

¸

˚

b R

^m

–

0

â

k

pR

ⁿ

q b R

^m

.

Diremo che f : U Ñ R

^m

` e di classe C

^k

su U o che f P C

^k

pU, R

^m

q se esistono su U le mappe Df, D

²

f, . . . , D

^k´1

f e la mappa D

^k

f ` e continua. Ovviamente si ha la catena (non stazionaria) di spazi vettoriali

C

⁰

pU, R

^m

q Ą C

¹

pU, R

^m

q Ą ¨ ¨ ¨ Ą C

^k

pU, R

^m

q ¨ ¨ ¨ Lo spazio vettoriale

C

⁸

pU, R

^m

q “ č

kě1

C

^k

pU, R

^m

q

` e l’insieme delle mappe f : U Ñ R

^m

di classe C

⁸

cio` e indefinitamente differenzi- abili.

Se m “ 1 useremo anche la notazione C

^k

pU q al posto di C

^k

pU, Rq per k “

0, 1, . . . , 8.

Proposizione 1.10. Sia f : U Ñ R

^m

, f “ pf

1

, . . . , f

_m

q. Allora f P C

^k

pU, R

^m

q, k ě 2, se e solo se f

i

P C

^k

pU, Rq, i “ 1, . . . , m, e per ogni x P U

D

^k

f pxq “ pD

^k

f

₁

pxq, . . . , D

^k

f

_m

pxqq.

Per i “ 1, . . . , m, esiste la derivata parziale B

^k

f

_i

Bx

j1

¨ ¨ ¨ Bx

j_k

pxq

per ogni k-upla pj

1

, . . . , j

_k

q con 1 ď j

l

ď n, l “ 1, . . . , k. Inoltre le mappe U Ñ R, x Ñ B

^k

f

_i

Bx

j1

¨ ¨ ¨ Bx

jk

pxq

sono continue. Se u

_t

“ pu

t1

, . . . , u

_tn

q P R

ⁿ

, t “ 1, . . . , k, allora, per i “ 1, . . . , m, si ha

pD

^k

f

_i

qpxqru

1

, . . . , u

_k

s “ ÿ

j1,...,jk

B

^k

f

_i

Bx

j1

¨ ¨ ¨ Bx

jk

pxq u

1j1

¨ ¨ ¨ u

kjk

dove 1 ď j

l

ď n, l “ 1, . . . , k.

Proposizione 1.11 (Schwarz). Siano U un aperto di R

ⁿ

, f P C

^k

pU, R

^m

q, k ě 2, f “ pf

1

, . . . , f

_m

q. Allora per ogni x P U la mappa k-lineare D

^k

f pxq ` e simmetrica.

Quindi, per i “ 1, . . . , m, B

^k

f

_i

Bx

j1

¨ ¨ ¨ Bx

jk

pxq “ B

^k

f

_i

Bx

h1

¨ ¨ ¨ Bx

hk

pxq se pj

1

, . . . , j

_k

q ` e una permutazione di ph

1

, . . . , h

_k

q.

Definizione 1.12. Siano U un aperto di R

ⁿ

e f : U Ñ R

^m

una mappa di classe C

^k

, k ě 1. Sia p P U . Diremo che

• f ha rango rk

_p

pf q “ h in p se la mappa lineare Df ppq ha rango h;

• f `e un’immersione in p se Df ppq `e iniettiva (quindi n ď m);

• f `e una submersione in p se Df ppq `e surgettiva (quindi n ě m);

• f `e regolare in p se Df ppq `e bigettiva (quindi n “ m).

Un punto p P U `e detto punto regolare se Df ppq `e surgettiva; altrimenti p `e un

punto critico e f ppq `e valore critico. Se q P R

^m

non ` e un valore critico allora ` e un

valore regolare, anche se q R f pU q.

Proposizione 1.13. Siano U un aperto di R

ⁿ

e f : U Ñ R

^m

una mappa di classe C

^k

, k ě 1, f “ pf

1

, . . . , f

_m

q. Sia p P U . Se rk

p

pf q “ h allora esiste un intorno aperto W di p, W Ă U , tale che

rk

_q

pf q ě h, @ q P W.

In altre parole la mappa

rk : U Ñ R, rkpqq “ rk

q

pf q,

`

e semicontinua inferiormente. In particolare se h “ inftm, nu, cio` e se f ` e un’immersione o una submersione, allora

rk

_q

pf q “ h, @ q P W, cio` e l’insieme tq P U : rk

q

pf q “ inftm, nuu ` e aperto.

Dimostrazione. Se rk

_p

pf q “ h allora esiste una sottomatrice h ˆ h di J

p

pf q

M

_p

“

¨

˚

˚

˚

˚

˝ Bf

i1

Bx

j1

ppq . . . Bf

i1

Bx

jh

ppq .. . . .. .. . Bf

ih

Bx

j1

ppq . . . Bf

ih

Bx

jh

ppq

˛

‹

‹

‹

‹

‚ ,

dove 1 ď i

1

ă ¨ ¨ ¨ ă i

h

ď m e 1 ď j

1

ă ¨ ¨ ¨ ă j

h

ď n, di determinante non nullo.

Per la continuit` a delle derivate parziali esiste un intorno aperto W di p, W Ă U , tale che

M

q

“

¨

˚

˚

˚

˚

˝ Bf

i1

Bx

j1

pqq . . . Bf

i1

Bx

jh

pqq .. . . .. .. . Bf

ih

Bx

j1

pqq . . . Bf

ih

Bx

j_h

pqq

˛

‹

‹

‹

‹

‚

ha determinante non nullo per ogni q P W . 

Osservazione 1.14. Sia f : R

²

Ñ R

²

, f px, yq “ px

²

` y

²

, 2xyq. Allora J

_px,yq

pf q “ ˆ2x 2y

2y 2x

˙ .

Cos`ı f ha rango 2 in R

²

r tpx, ˘xq : x P Ru, rango 1 in tpx, ˘xq : x P R

^˚

u e rango

0 in p0, 0q.

Definizione 1.15. Un omeomorfismo f : U Ñ V tra gli aperti U e V di R

ⁿ

` e un C

^k

-diffeomorfismo se f P C

^k

pU, R

ⁿ

q e f

^´1

P C

^k

pV, R

ⁿ

q. Con questa terminologia C

⁰

-diffeomorfismo ` e sinonimo di omeomorfismo.

Proposizione 1.16. Siano U e V aperti di R

ⁿ

e f : U Ñ V un C

^k

-diffeomorfismo con k ě 1 allora f ` e regolare in ogni punto x P U e

Df

^´1

pf pxqq “ pDf pxqq

^´1

.

Se py

1

, . . . , y

_n

q “ f px

1

, . . . , x

_n

q la matrice jacobiana associata a f

^´1

` e Jpf

^´1

q “ Bpx

1

, . . . , x

_n

q

Bpy

1

, . . . , y

n

q “ rJpf qs

^´1

, dove

Jpf q “ Bpy

1

, . . . , y

n

q Bpx

1

, . . . , x

_n

q

`

e la matrice jacobiana associata a f .

1.1 Alcuni teoremi fondamentali

Teorema 1.17 (Teorema della funzione inversa). Siano Ω aperto di R

ⁿ

e f P C

^k

pΩ, R

ⁿ

q, k ě 1. Se f ` e regolare in un punto p P Ω allora esistono un aperto U Ă Ω contenente p e un aperto V di R

ⁿ

contenente f ppq tali che f |

U

: U Ñ V ` e un C

^k

-diffeomorfismo.

Dimostrazione. [6] pp. 42-46. 

Osservazione 1.18. Sotto l’ipotesi di f P C

^k

pΩ, R

ⁿ

q, k ě 2, si pu` o dare una

“stima della grandezza”degli aperti U e V nel Teorema 1.17 utile in vari contesti.

Si consulti a proposito [2] pp. 119-121.

Corollario 1.19 (Teorema dell’ invarianza del dominio: caso differenzi- abile). Siano Ω aperto di R

ⁿ

e f P C

^k

pΩ, R

ⁿ

q con k ě 1. Se f ` e regolare in Ω allora f ` e una mappa aperta. In particolare f pΩq ` e aperto in R

ⁿ

. Se f ` e anche iniettiva allora f : Ω Ñ f pΩq ` e un C

^k

-diffeomorfismo.

Vale il pi` u generale

Teorema 1.20 (Teorema di Brouwer dell’ invarianza del dominio). Sia U

un aperto di R

ⁿ

e f : U Ñ R

ⁿ

continua e iniettiva. Allora f pU q ` e aperto in R

ⁿ

e

f : U Ñ f pU q ` e omeomorfismo. In particolare se un aperto U di R

ⁿ

` e omeomorfo

ad un aperto V di R

^m

allora n “ m.

Dimostrazione. [9] pp. 358-359.  Notazioni. Siano U un aperto di R

ⁿ

, V un aperto di R

^m

, f : U ˆ V Ñ R

^m

di classe C

^r

, r ě 1. Se x P U e y P V , useremo le seguenti notazioni:

f

_x

: V Ñ R

^m

, f

_x

pyq “ f px, yq; f

_y

: U Ñ R

^m

, f

_y

pxq “ f px, yq, e

D

₁

f px, yq “ Df

y

pxq, D

₂

f px, yq “ Df

x

pyq.

Teorema 1.21 (Teorema delle funzioni implicite). Siano U un aperto di R

ⁿ

, V un aperto di R

^m

, f : U ˆ V Ñ R

^m

di classe C

^r

, r ě 1. Sia x

0

P U e y

0

P V tali che f px

0

, y

₀

q “ 0 e che D

2

f px

0

, y

₀

q sia un isomorfismo. Allora esistono un aperto U

₀

Ă U , x

0

P U

0

, un aperto V

₀

Ă V , y

0

P V

0

e un’unica mappa continua g : U

₀

Ñ V

0

tale che gpx

0

q “ y

0

e

f px, gpxqq “ 0, @ x P U

0

.

Inoltre esiste un aperto U

₁

Ă U

0

tale che D

₂

f px, gpxqq ` e un isomorfismo per ogni x P U

1

, g ` e di classe C

^r

su U

₁

e

Dgpxq “ ´rD

2

f px, gpxqqs

^´1

˝ D

1

f px, gpxqq, @ x P U

1

.

Teorema 1.22 (Teorema del rango). Siano Ω aperto di R

ⁿ

e f P C

^k

pΩ, R

^m

q avente rango rk

_p

“ r in ogni punto p P Ω. Allora, per ogni p P Ω esistono

• un aperto U Ă Ω contenente p e un C

^k

-diffeomorfismo g : U Ñ C

ⁿ

p0, εq,

• un aperto V di R

^m

contenente f ppq e un C

^k

-diffeomorfismo h : V Ñ C

^m

p0, εq, tali che f pU q Ă V , gppq “ p0, . . . , 0q, hpf ppqq “ p0, . . . , 0q e

ph ˝ f ˝ g

^´1

qpx

1

, . . . , x

_n

qq “ px

1

, . . . , x

_r

, 0, . . . , 0q per ogni px

1

, . . . , x

_n

q P C

ⁿ

p0, εq.

Dimostrazione. [6] pp. 47-50. 

Osservazione 1.23. Il teorema del rango afferma che una mappa di rango costante r si comporta localmente come una proiezione R

ⁿ

“ R

^r

ˆ R

^n´r

Ñ R

^r

seguita da un’inclusione R

^r

Ñ R

^r

ˆ t0u Ă R

^r

ˆ R

^m´r

“ R

^m

.

Corollario 1.24. Siano Ω aperto di R

ⁿ

e f P C

^k

pΩ, R

^m

q. Se f ` e una immersione

po una submersioneq in un punto p P Ω, allora esiste un aperto W Ă Ω contenente

p, tale che f ` e una immersione po una submersioneq in ogni punto q P W e, per

ogni q P W , esistono

• un aperto U Ă W contenente q e un C

^k

-diffeomorfismo g : U Ñ C

ⁿ

p0, εq,

• un aperto V di R

^m

contenente f pqq e un C

^k

-diffeomorfismo h : V Ñ C

^m

p0, εq, tali che f pU q Ă V , gpqq “ p0, . . . , 0q, hpf pqqq “ p0, . . . , 0q e

ph ˝ f ˝ g

^´1

qpx

1

, . . . , x

_n

q “ px

1

, . . . , x

_n

, 0, . . . , 0q, se f ` e un’immersione, ph ˝ f ˝ g

^´1

qpx

1

, . . . , x

_n

q “ px

1

, . . . , x

_m

q, se f ` e una submersione.

In particolare

i) se f ` e una submersione in Ω allora f ` e una mappa aperta,

ii) se f ` e una immersione in Ω allora f ` e un omeomorfismo locale cio` e per ogni p P Ω esiste un aperto U Ă Ω, p P U , tale che f |

U

: U Ñ f pU q ` e un omeomorfismo.

Dimostrazione. Segue subito dalla Proposizione 1.13 e dal Teorema 1.22.

i) Se f ` e una submersione in Ω, f ` e aperta poich` e ph ˝ f ˝ g

^´1

q ` e aperta in quanto

`

e la proiezione C

ⁿ

p0, εq Ñ C

^m

p0, εq.

ii) Basta osservare che la mappa

ph ˝ f ˝ g

^´1

q : C

ⁿ

p0, εq Ñ tpx

1

, . . . , x

m

q P C

^m

p0, εq : x

n`1

“ ¨ ¨ ¨ “ x

m

“ 0u

`

e un omeomorfismo. 

Osservazione 1.25. Anche se f ` e regolare in ogni punto p P Ω non `e detto sia iniettiva. Ad esempio la mappa Rrt0uˆR Ñ R

²

data da p%, θq Ñ p% cos θ, % sin θq.

1.2 Costruzione di mappe lisce

Lemma 1.26. Esiste una C

⁸

- funzione ψ : R

ⁿ

Ñ r0, 1s tale che ψpxq “ 1 x P C

ⁿ

p0, 1

2 q, ψpxq ą 0 x P C

ⁿ

p0, 1q, ψpxq “ 0 x P R

ⁿ

r C

ⁿ

p0, 1q.

In particolare il supporto di ψ ` e contenuto in C

ⁿ

p0, 1q.

Dimostrazione. Sia

f ptq “

#

e

^´1t

t ą 0

0 t ď 0.

La funzione f ptq `e “l’esempio standard”di funzione in C

⁸

pRq ma non analitica.

Evidentemente f ptq ą 0 se e solo se t ą 0. Pertanto f ptq ` f p1 ´ tq ą 0 per ogni t P R. Allora

gptq “ f ptq

f ptq ` f p1 ´ tq P C

⁸

pRq,

0 ď gptq ď 1, gptq “ 0 per t ď 0, g

¹

ptq ą 0 per 0 ă t ă 1 e gptq “ 1 per t ě 1. Sia hptq “ gp2t ` 2qgp2 ´ 2tq.

Allora hptq `e C

⁸

, hptq “ 0 per |t| ě 1, hptq “ 1 per |t| ď

¹₂

, hptq ą 0 per |t| ď 1.

Allora la mappa

ψpx

1

, . . . , x

_n

q “ hpx

1

q ¨ ¨ ¨ hpx

n

q

soddisfa la tesi. 

Lemma 1.27 (Funzioni a campana). Per ogni intero n ě 1, per ogni numero reale δ ą 0 e per ogni x

0

P R

ⁿ

esiste una mappa ψ : R

ⁿ

Ñ R di classe C

⁸

tale che ψpR

ⁿ

q Ă r0, 1s e

ψpxq “

#

1 se x P B

ⁿ

px

0

, rq

0 se x P R

ⁿ

r B

ⁿ

px

0

, r ` δq.

Dimostrazione. Siano a, b numeri reali con a ă b, la funzione

φptq “

$

&

% exp

ˆ ´1

pt ´ aqpb ´ tq

˙

se a ă t ă b

0 altrimenti,

appartiene a C

⁸

pRq. La funzione

θptq “ ż

t

´8

φpsq ds ż

`8

´8

φpsq ds appartiene a C

⁸

pRq e

θptq “

#

0 se t ď a 1 se t ě b.

Infine sia

ηptq “ 1 ´ θptq “

# 1 se t ď a 0 se t ě b.

Posto a “ r

²

e b “ pr ` δq

²

la funzione ψpxq “ ηpkx ´ x

0

k

²

q soddisfa la tesi. 

Lemma 1.28. Data una successione arbitraria di numeri reali a

₀

, a

₁

, a

₂

, . . . esiste una mappa f : R Ñ R di classe C

⁸

tale che

f

^pnq

p0q “ a

n

, @ n ě 0.

Dimostrazione. Siano b

_k

ě |a

k

| ` 1 e sia

f ptq “

`8

ÿ

k“0

a

_k

ψpb

k

tq t

^k

k! , (1.1)

dove ψ ` e una funzione come nel Lemma 1.26. Sia g

_k

ptq “ a

k

ψpb

k

tq t

^k

k!

Il k-esimo termine della serie (1.1). Allora g

_k

ptq “ 0 se |t| ě 1{b

k

. Quindi, poich` e b

_k

ě 1 per ogni k ě 0, per ogni t P R, si ha

|g

_k

ptq| “ ˇ ˇ ˇ ˇ

a

_k

ψpb

k

tq t

^k

k!

ˇ ˇ ˇ

ˇ ă b

k

¨ 1 ¨ p1{b

k

q

^k

k! ď 1

k! , k ě 1.

Pertanto la serie (1.1) converge totalmente su R e f `e ben definita e continua su R. Inoltre f ptq “ 0 per |t| ě 1. Derivando n volte g

^k

ptq si ottiene

g

^pnq_k

ptq “

minpk,nq

ÿ

j“0

ˆn j

˙

a

_k

b

^n´j_k

ψ

^pn´jq

pb

k

tq t

^k´j

pk ´ jq! . (1.2) Se 0 ď j ď n, si ha

|ψ

^pn´jq

ptq| ď D

n

, t P R,

poich` e il supporto delle funzioni continue ψ

^pn´jq

ptq ` e contenuto in r´1, 1s. Allora, se k ě n, avremo

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

minpk,nq

ÿ

j“0

ˆn j

˙

a

_k

b

^n´j_k

ψ

^pn´jq

pb

k

tq t

^k´j

pk ´ jq!

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

“ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

n

ÿ

j“0

ˆn j

˙

a

_k

b

^n´j_k

ψ

^pn´jq

pb

k

tq t

^k´j

pk ´ jq!

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ď

n

ÿ

j“0

ˆn j

˙

b

_k

¨ b

^n´j_k

¨ D

n

b

^j´k_k

pk ´ jq! ď D

n

b

^1`n´k_k

n

ÿ

j“0

ˆn j

˙ 1

pk ´ jq!

ď D

n

b

^1`n´k_k

n

ÿ

j“0

ˆn j

˙ 1

pk ´ nq! “ 2

ⁿ

D

_n

b

^1`n´k_k

pk ´ nq! .

Si ottiene quindi la maggiorazione

|g

^pnq_k

ptq| ď 2

ⁿ

D

_n

b

^1`n´k_k

pk ´ nq! , k ě n,

per cui la serie

`8

ÿ

k“0

g

_k^pnq

ptq converge quindi totalmente su R per ogni n ě 0. Per- tanto f ha derivate continue di ogni ordine e

f

^pnq

ptq “

`8

ÿ

k“0

g

_k^pnq

ptq.

Infine, per t “ 0, il j-esimo termine nella sommatoria (1.2) ˆn

j

˙

a

_k

b

^n´j_k

ψ

^pn´jq

pb

k

tq t

^k´j

pk ´ jq! “

#

a

_n

se j “ k “ n 0 altrimenti,

poich` e ψ

^p0q

p0q “ ψp0q “ 1. Quindi g

^pnq_k

p0q “ a

n

δ

_kn

(δ

_kn

` e il δ di Kronecker) e

f

^pnq

p0q “ a

n

. 

2 Variet` a topologiche e differenziabili

Definizione 2.1. Siano M un insieme, k un intero ě 0 e n un intero positivo.

Un C

^k

-atlante su M di dimensione n ` e un insieme A “ tpU

i

, ϕ

_i

qu

iPI

di coppie pU

i

, ϕ

_i

q, dette carte (o carte locali), dove, per ogni i P I, U

i

` e un sottoinsieme di M e ϕ

i

: U

i

Ñ ϕ

i

pU

i

q Ă R

ⁿ

sono mappe bigettive, tali che

i) ď

iPI

U

_i

“ M ,

ii) ϕ

_i

pU

i

q ` e un aperto di R

ⁿ

per ogni i P I,

iii) le carte sono C

^k

-compatibili cio` e per ogni i, j P I l’insieme ϕ

i

pU

i

X U

j

q ` e un aperto di R

ⁿ

e per ogni coppia pi, jq la mappa (tra aperti di R

ⁿ

)

ϕ

_j

˝ ϕ

^´1_i

: ϕ

_i

pU

i

X U

j

q Ñ ϕ

j

pU

i

X U

j

q (2.1)

`

e di classe C

^k

. Ci` o equivale a dire che, essendo pϕ

j

˝ ϕ

^´1_i

q

^´1

“ ϕ

i

˝ ϕ

^´1_j

, le mappe (2.1) sono C

^k

-diffeomorfismi tra aperti di R

ⁿ

.

I sottoinsiemi U

i

sono detti domini delle carte o domini coordinati; le n-uple ϕ

_i

pqq “ px

i,1

pqq, . . . , x

i,n

pqqq, q P U

i

, sono le coordinate locali. Si dice inoltre che mappe (2.1) esprimono il cambiamento delle coordinate locali.

Notazioni. Se pU, ϕq `e una carta useremo la notazione pU, ϕ; x

1

, . . . , x

n

q per indicare che ϕpqq “ px

1

pqq, . . . , x

n

pqqq, q P U .

Lemma 2.2. Sia pU, ϕq una carta di un C

^k

-atlante A. Sia V Ă U tale che ϕpV q ` e un aperto di R

ⁿ

, allora, posto ψ “ ϕ|

V

, la coppia pV, ψq ` e C

^k

-compatibile con tutte le carte di A. In particolare se pW, χq `e un’altra carta di A le coppie pU X W, ϕ|

U XW

q e pU X W, χ|

U XW

q sono carte C

^k

-compatibili con tutte le carte di A.

Dimostrazione. Sia pU

i

, ϕ

_i

q una carta di A tale che V XU

i

‰ ∅ allora U X U

i

‰

∅ e ψpV X U

i

q “ ϕpV q X ϕpU X U

i

q ` e un aperto di R

ⁿ

. La mappa ϕ

_i

˝ ψ

^´1

: ψpV X U

i

q Ñ ϕ

i

pV X U

i

q

`

e un C

^k

-diffeomorfismo in quanto restrizione del C

^k

-diffeomorfismo ϕ

_i

˝ ϕ

^´1

. In particolare ϕ

i

pV X U

i

q ` e un aperto di R

ⁿ

. ` E peranto soddisfatta la condizione iii)

di sopra. 

Definizione 2.3. Due C

^k

-atlanti sono C

^k

-compatibili se la loro unione ` e ancora un C

^k

-atlante, cio` e se ogni carta del primo atlante ` e C

^k

-compatibile con ogni carta del secondo atlante. La relazione di C

^k

-compatibilit` a ` e ovviamente una relazione di equivalenza sull’insieme dei C

^k

-atlanti. Chiameremo C

^k

-struttura su M ` e una classe (di equivalenza) di C

^k

-compatibilit` a di C

^k

-atlanti, rappresen- tata, ad esempio, dal C

^k

-atlante massimale, cio` e dall’unione di tutti i C

^k

-atlanti C

^k

-compatibili tra loro. Quindi gli atlanti C

^k

-compatibili sono tutti e soli i sot- toatlanti di un unico atlante massimale (un sottoatlante B di un atlante A `e un sottoinsieme di A che `e un atlante).

Osservazione 2.4. Dato un atlante A “ tpU

i

, ϕ

_i

qu

iPI

` e possibile trovare un at- lante A

¹

“ tpV

j

, ψ

_j

qu

jPJ

, C

^k

-compatibile con A tale che ψpV

j

q sia una palla aperta B

ⁿ

px

0

, rq o un cubo aperto C

ⁿ

px

0

, εq (o R

ⁿ

stesso). Infatti, le controimmagini V

_j

(mediante ϕ

_i

) delle palle aperte (o cubi aperti) con cui possiamo ricoprire ϕ

_i

pU

i

q sono carte C

^k

-compatibili con A per il Lemma 2.2.

Proposizione-Definizione 2.5. Sia M un insieme e A “ tpU

i

, ϕ

_i

qu

iPI

un C

^k

- atlante. L’insieme

τ pAq “ tU Ă M : ϕ

i

pU X U

i

q ` e aperto di R

ⁿ

per ogni carta pU

i

, ϕ

_i

q di Au

`

e una topologia su M tra i cui aperti ci sono i domini coordinati U

_i

che verranno d’ora in poi chiamati aperti coordinati.

Dimostrazione. Sia tV

j

u

jPJ

una famiglia di aperti di τ p Aq. Allora, per ogni i P I e j P J, ϕ

i

pU

i

X V

j

q ` e aperto di R

ⁿ

. Pertanto, per ogni i P I,

ϕ

_i

˜˜

ď

jPJ

V

_j

¸ X U

i

¸

“ ϕ

i

˜ ď

jPJ

pV

j

X U

i

q

¸

“ ď

jPJ

ϕ

_i

pU

i

X V

j

q

` e aperto in R

ⁿ

. Parimenti se V

₁

, . . . , V

_r

sono aperti di τ pAq allora, per ogni i P I, ϕ

_i

˜˜

_r

č

j“1

V

_j

¸ X U

i

¸

“ ϕ

i

˜

_r

č

j“1

pV

j

X U

i

q

¸

“

r

č

j“1

ϕ

_i

pU

i

X V

j

q

` e aperto in R

ⁿ

(l’uguaglianza di destra discendendo dalla iniettivit` a di ϕ

_i

). 

Definizione 2.6. Se A `e l’atlante massimale di una C

^k

-struttura la topologia

τ pAq si dice topologia canonica indotta dalla C

^k

-struttura. La topologia canonica

si pu` o anche caratterizzare come la topologia avente per base gli aperti coordinati

dell’atlante massimale. Sia infatti p P M e U un aperto di M contenente p. Per

ogni carta pU

i

, ϕ

i

q della struttura si ha allora che ϕ

i

pU X U

i

q ` e un aperto di R

ⁿ

.

Presa U

_i

Q p si ha allora p P U XU

i

Ă U e pU XU

i

, ϕ

_i

|

U XUi

q ` e una carta dell’atlante

massimale per il Lemma 2.2.

Proposizione 2.7. Sia data su un insieme M una C

^k

-struttura rappresentata da un atlante massimale M “ tpU

i

, ϕ

_i

qu

iPI

. Sia A “ tpU

h

, ϕ

_h

qu

hPHĂI

un qualsiasi sottoatlante di M. Allora la topologia canonica coincide con τpAq.

Dimostrazione. Se V ` e aperto rispetto alla topologia canonica allora ` e aperto rispetto a τ pAq.

Viceversa sia V aperto rispetto a τ p Aq. Sia pU

i

, ϕ

_i

q una carta di M. Dobbiamo provare che ϕ

_i

pV X U

i

q ` e aperto di R

ⁿ

. Sia y P ϕ

i

pV X U

i

q e sia p P V X U

i

tale che ϕ

_i

ppq “ y. Sia h

0

P H tale che p P U

h0

. Allora y P ϕ

i

pV X U

i

X U

h0

q Ă ϕ

i

pV X U

i

q.

Dai fatti

a) ϕ

_i

˝ ϕ

^´1_h0

: ϕ

_h0

pU

h0

X U

i

q Ñ ϕ

i

pU

h0

X U

i

q ` e, in particolare, un omeomorfismo poich` e pU

i

, ϕ

i

q e pU

h0

, ϕ

h0

q sono carte di M,

b) ϕ

_h0

pV X U

i

X U

h0

q “ ϕ

h0

pV X U

h0

X U

i

X U

h0

q “ ϕ

h0

pU

i

X U

h0

q X ϕ

h0

pV X U

h0

q, essendo ϕ

_h0

iniettiva,

c) ϕ

_h0

pU

i

X U

h0

q aperto di R

ⁿ

e ϕ

_h0

pV X U

h0

q aperto di R

ⁿ

per ipotesi (V ` e aperto di τ p Aq), quindi, da b) segue che ϕ

h0

pV X U

i

X U

h0

q ` e aperto di R

ⁿ

, d) ϕ

i

pV X U

i

X U

h0

q “ ϕ

i

˝ ϕ

^´1_h0

pϕ

h0

pV X U

i

X U

h0

qq.

Pertanto ϕ

_i

pV X U

i

X U

h0

q ` e un aperto di R

ⁿ

da cui segue che ϕ

_i

pV X U

i

q ` e un aperto di R

ⁿ

. Allora V ` e un aperto della topologia canonica.  Proposizione-Definizione 2.8. Sia data su un insieme M una C

^k

-struttura.

Allora per ogni carta pU, ϕq la mappa ϕ : U Ñ ϕpU q ` e un omeomorfismo rispetto alla topologia canonica indotta. Diremo quindi che M ` e un C

^k

-spazio local- mente euclideo di dimensione n pla dimensione di un atlante della C

^k

-strutturaq e scriveremo dim M “ n.

Dimostrazione. Per ipotesi ϕ ` e bigettiva. Per provare che ϕ ` e continua, preso un aperto V di R

ⁿ

, V Ă ϕpU q, basta provare che pϕ

^´1

pV q, ψq, dove ψ “ ϕ|

ϕ^´1pV q

`

e una carta di M e quindi ` e un aperto nella topologia canonica. Ma ci` o segue subito dal Lemma 2.2 poich` e ϕpϕ

^´1

pV qq “ V che ` e un aperto di R

ⁿ

per ipotesi.

Proviamo ora che ϕ ` e una mappa aperta. Sia S un aperto di U (S ` e quindi un aperto di M contenuto in U ); se M “ tpU

i

, ϕ

_i

q

iPI

u ` e l’atlante massimale allora

ϕpSq “ ϕ

˜ ď

iPI

S X U

i

¸

“ ď

iPI

ϕpS X U

i

q

poich` e ϕ ` e bigettiva. Poich` e S ` e un aperto di M allora ϕpS X U

i

q ` e aperto di R

ⁿ

e cos`ı ` e ϕpSq. 

Proposizione 2.9. Sia data su un insieme M una C

^k

-struttura individuata da un atlante, non necessariamente massimale, A “ tpU

i

, ϕ

_i

qu

iPI

. Esiste una ed una sola topologia τ su M per cui gli U

i

sono aperti e che induce sugli U

i

la topologia che rende ϕ

_i

un omeomorfismo. La topologia τ coincide con la topologia canonica su M .

Dimostrazione. La topologia τ p Aq della Definizione 2.5 soddisfa la tesi per la Proposizione 2.7 e per la Proposizione-Definizione 2.8.

Viceversa se una topologia τ soddisfa la tesi e V ` e un aperto di τ , essendo V X U

i

aperto di τ per ogni i P I, ne segue che ϕ

i

pV X U

i

q aperto in R

ⁿ

per ogni i P I e quindi V `e aperto in τ p Aq. Pertanto τ `e meno fine di τpAq. D’altronde se V ` e aperto di τ pAq allora ϕ

i

pV X U

i

q ` e aperto in R

ⁿ

(e quindi in ϕ

_i

pU

i

q) per ogni i P I; pertanto, per ogni i P I, V X U

i

` e aperto in U

_i

, rispetto alla topologia indotta da τ su U

_i

perch` e ϕ

_i

` e omeomorfismo. Allora V X U

i

` e aperto in τ per ogni i P I perch`e U

i

` e aperto in τ e cos`ı

V “ ď

iPI

V X U

i

`

e aperto in τ . 

Osservazione 2.10. Siano n un intero positivo e M uno spazio topologico tale che per ogni punto p P M esiste un intorno aperto U di p ed un omeomorfismo ϕ

_U

: U Ñ A, A aperto di R

ⁿ

, allora l’insieme tpU, ϕ

U

qu ` e un C

⁰

-atlante di di- mensione n rispetto al quale la topologia di M ` e quella canonica (Proposizione 2.9).

Osservazione 2.11. Sia M uno spazio C

^k

-localmente euclideo M .

1. M ` e di Frechet o T

₁

; siano infatti x e y due punti distinti di M che apparten- gono ad una stessa carta pU, ϕq, allora, presi due aperti disgiunti V

1

e V

₂

in ϕpU q tali che ϕpxq P V

1

e ϕpyq P V

2

, l’aperto (di M ) ϕ

^´1

pV

1

q, contenente x ` e disgiunto dall’aperto (di M ) ϕ

^´1

pV

2

q contenente y. Se invece nessuna carta di M contiene entrambi i punti x e y ne esister` a comunque una che contiene x ma non y e viceversa.

2. M ` e localmente connesso per archi e quindi localmente connesso,

3. M ` e localmente compatto nel senso che ogni punto ha un sistema fondamen-

tale d’intorni compatti: se p P M e pU, ϕq `e una carta in p, basta prendere

tϕ

^´1

pKqu dove K varia in un sistema fondamentale d’intorni compatti di

ϕppq in ϕpU q,

4. M ` e 1-numerabile: se p P M e pU, ϕq `e una carta in p, basta prendere tϕ

^´1

pOqu dove O varia in sistema fondamentale d’intorni aperti numerabile di ϕppq in ϕpU q, quindi p ha un sistema fondamentale d’intorni costituito da carte,

5. M ` e connesso se e solo se ` e connesso per archi.

Proposizione 2.12 (Lindel¨ of ). Se una spazio topologico X ` e 2-numerabile al- lora ogni ricoprimento aperto di X ha un sottoricoprimento numerabile.

Dimostrazione. [9] p. 174. 

Proposizione 2.13. Sia M un C

^k

-spazio localmente euclideo.

a) Se M ` e 2-numerabile allora ogni atlante ha un sottoatlante numerabile.

b) Se esiste un atlante numerabile allora M ` e 2-numerabile.

c) Sia M connesso e sia A “ tpU

i

, ϕ

_i

qu

iPI

un atlante di M . Se per ogni i P I l’insieme tj P I : U

i

XU

j

‰ ∅u ` e al pi` u numerabile, allora M ` e 2-numerabile.

Dimostrazione. L’ affermazioni a) segue subito dalla Proposizione 2.12.

b) Sia A “ tpU

n

, ϕ

_n

qu

_nPN

un atlante numerabile di M . Poich` e R

ⁿ

` e 2-numerabile V

_n

“ ϕ

n

pU

n

q “ ď

mPIn

V

_nm

dove I

_n

sono insiemi numerabili e V

_nm

sono aperti di R

ⁿ

contenuti in V

_n

. Allora ogni aperto di M contenuto in U

_n

` e unione di aperti U

_nm

“ ϕ

^´1_n

pV

nm

q. L’insieme numerabile tU

nm

: n P N, m P I

ⁿ

u ` e base per la topologia di M . Infatti se U ` e aperto di M allora

U “ ď

nPN

U X U

n

dove U X U

n

` e un aperto di M contenuto in U

n

.

c) Per il punto b) basta provare che A ha un sottoatlante numerabile. Scegliamo V

₁

P A e definiamo induttivamente V

n

come l’unione degli elementi di A che hanno intersezione non vuota con V

n´1

. Ovviamente V

1

Ă V

2

Ă ¨ ¨ ¨ e inoltre, per l’ipotesi, ogni V

_n

` e unione di una infinit` a numerabile di elementi di A. Quindi anche

V “ ď

nPN

V

n

`

e unione di una infinit` a numerabile di elementi di A. Osserviamo che se U

i

P A

`

e tale che U

_i

X V ‰ ∅ allora U

i

X V

n

‰ ∅ per qualche n e quindi U

i

Ă V

n`1

e

U

_i

Ă V . La dimostrazione ` e completata se si dimostra che V “ M . Poich`e M

`

e connessa e V ` e aperto basta mostrare che M r V `e aperto. Ogni p P M r V sta in un U

i

ma allora U

i

X V “ ∅ per quanto sopra detto, quindi U

i

Ă M r V e

M r V `e aperto. 

Osservazione 2.14. Un C

^k

-spazio localmente euclideo non ` e T

₂

in generale.

Consideriamo ora il seguente esempio. Siano

E

1

“ tpx, 0q P R

²

: x P Ru, E

2

“ tpx, 1q P R

²

: x P Ru, E “ E

1

Y E

2

. Poniamo su E la relazione d’equivalenza „ che indentifica i punti px, 0q e px, 1q con x ă 0. Allora lo spazio quoziente E{ „ `e localmente euclideo ma non T

2

. Denotiamo con rpx, yqs la classe d’equivalenza di px, yq e consideriamo le carte

U

₁

“ trpx, 0qs : x P Ru, ϕ

₁

: U

₁

Ñ R, ϕ

₁

prpx, 0qsq “ x, e U

₂

“ trpx, 0qs : x ă 0u Y trpx, 1qs : x ě 0u con

ϕ

₂

: U

₂

Ñ R, ϕ

₂

prpx, 0qsq “ x, ϕ

2

prpx, 1qsq “ x.

E facile verificare che tpU `

1

, ϕ

₁

q, pU

2

, ϕ

₂

qu ` e un atlante e quindi E ` e localmente euclideo. Infine rp0, 0qs e rp0, 1qs sono punti distinti di E che non hanno intorni disgiunti.

2.15 (Paracompattezza). La nozione topologica di paracompattezza ` e cruciale in geometria e topologia differenziale. Ricordiamo alcune definizioni.

Definizione 2.16. Sia X uno spazio topologico e U “ tU

i

: i P Iu una famiglia di sottoinsiemi di X.

• La famiglia U `e localmente finita se ogni punto x P X possiede un intorno W tale che W X U

i

“ ∅ salvo che per un numero finito di indici i P I.

• La famiglia U `e puntualmente finita se, per ogni punto x P X, x P U

i

al pi` u per un numero finito di indici i P I.

Ovviamente se U `e localmente finita allora `e puntualmente finita. In R euclideo il ricoprimento U “ ttxu : x P Ru `e puntualmente finito ma non localmente finito.

Definizione 2.17. Sia X uno spazio topologico. Un ricoprimento aperto U “ tU

i

: i P Iu di X ammette un restringimento se esiste un ricoprimento aperto V “ tV

i

: i P Iu di X tale che V

i

Ă U

i

e V

_i

‰ ∅ se U

i

‰ ∅.

Un raffinamento di un ricoprimento U “ tU

i

: i P Iu di X `e un ricoprimento

V “ tV

j

: j P Ju di X tale che ogni V

j

P V `e contenuto in almeno un U

i

P

U. Ogni sottoricoprimanto di un ricoprimento `e ovviamente un raffinamento del

ricoprimento.

Definizione 2.18. Uno spazio X ` e paracompatto se ` e T

₂

ed ogni ricoprimento aperto di X ammette un raffinamento aperto localmente finito. Ogni spazio compatto ` e banalmente paracompatto.

Proposizione 2.19. Valgono i seguenti fatti.

i) In uno spazio X paracompatto e localmente compatto ogni ricoprimento aperto di X ammette un raffinamento localmente finito costituito da aperti relativamente compatti.

ii) Un sottinsieme chiuso di uno spazio paracompatto ` e paracompatto.

iii) Il prodotto di due spazi paracompatti non ` e, in generale, uno spazio para- compatto.

iv) Sia f : X Ñ Y una mappa continua, surgettiva e chiusa tra gli spazi topo- logici X e Y . Se X ` e paracompatto e Y di Hausdorff allora Y ` e paracom- patto.

Dimostrazione. i) Sia U “ tU

i

u

iPI

un ricoprimento aperto di X. Allora per [9]

p. 238, costruisco un raffinamento V “ tV

j

u

jPJ

di U tale che V

_j

` e relativamente compatto per ogni j P J. Considero ora un raffinamento localmente finito W “ tW

k

u

kPK

di V. Poich` e, per ogni k P K, W

k

Ă V

j

, j “ jpkq, gli aperti W

k

sono relativamente compatti ed inoltre W ` e un raffinamento localmente finito di U .

ii)- iv) pp. 165-167. 

Ricordiamo il teorema

Teorema 2.20 (A. H. Stone). Ogni spazio metrico ` e paracompatto.

Dimostrazione. [9] pp. 186. 

Teorema 2.21 (Schrumpfungsatz). Uno spazio paracompatto X ` e normale.

Quindi ogni ricoprimento aperto puntualmente finito di X ammette un restring- imento.

Dimostrazione. [9] p.163 e pp. 152-153. 

Ricordiamo che uno spazio topologico ` e normale se ` e T

₁

e dati due chiusi qualsiasi A e B disgiunti, esistono due aperti disgiunti U e V tali che A Ă U e B Ă V .

Proposizione 2.22. Sia X uno spazio topologico T

₂

-localmente compatto e 2-

numerabile. Allora