Onde in un plasma

Lezione 17

Fenomeni ondulatori

G. Bosia

Universita’ di Torino

Onde in un plasma

Lo studio della propagazione di onde elettromagnetiche nei mezzi ionizzati o, più in generale, lo studio delle interazioni fra onde elettromagnetiche e plasma e’ una parte essenziale della fisica dei plasmi confinati per le diverse ed importanti applicazioni pratiche:

- il riscaldamento del plasma mediante radiofrequenza - la generazione non induttiva di corrente di plasma, - il controllo di instabilita’ MHD e cinetiche

- lo sviluppo di sistemi “diagnostiche” essenziali per la misura dei parametri di plasma, quali

interferometria, riflettometria, misura di emissione ciclotronica elettronica e ionica, spettroscopia IR, visibile UV, X γ , polarimetria e diffusione (scattering), sono realizzate con l’ uso di onde

elettromagnetiche emesse dal plasma o stimolate mediante sorgenti esterne.

Parecchi tipi di onde si possono propagare in un plasma; e possono essere di natura molto differente (acustiche, magneto-acustiche, elettrostatiche, elettromagnetiche..) ed avere frequenze molto diverse (da decine di kHz a centinaia di GHz); possono essere trasversali, longitudinali ecc.

Un plasma immerso in un campo magnetico si comporta come un dielettrico non ideale (dissipativo) dispersivo (v

(ω)) anisotropo ( εεεε ) e dotato di identificate frequenze caratteristiche, (frequenze di girazione magnetica dei vari componenti.

Dobbiamo aspettarci una propagazione delle onde EM relativamente accidentata, con fenomeni di riflessione, risonanza, conversione di modo, ecc

Quando la lunghezza d’ onda della radiazione è dell’ ordine delle dimensioni del plasma le condizioni

al contorno del plasma giocano un ruolo essenziale sulla distribuzione dei campi EM

Onde in un plasma

Anche I tipi di trasferimenti di energia onda/plasma possono essere anche molto differenziatii. La

presenza di frequenze caratteristiche fa supporre che i trasferimenti di potenza onda-plasma avvengano in modo privilegiato a certe frequenze (risonanze ciclotroniche e loro armoniche). Questi modi di

dissipazione non sono tuttavia esclusivi, dato che ne esistono (e.g. Landau damping), che sono legati a relazioni risonanti tra la velocita’ dell’ onda e la velocita’ delle particelle.

Nelle prossime lezioni studieremo fenomeni di propagazione ed assorbimento di onde EM in un plasma..

Lo schema a blocchi del metodo di riscaldamento a radiofrequenza, indipendentemente dalla frequenza utilizzata, e’ quello in figura

100 MW

Propagazione di onde in un fluido MHD

Nella trattazione MHD ideale, un plasma viene assimilato ad un fluido conduttore, dotato di

pressione cinetica, immerso in un campo EM autoconsistente. Come per tutti i mezzi elastici c’è da aspettarsi che questo fluido possa essere sede di processi dipendenti dal tempo quali oscillazioni di vario tipo. Infatti nell’ analisi della stabilita’ del plasma si e’ visto che in generale il ritorno alla

posizione di equilibrio stabile avviene mediante moti oscillatori, la cui frequenza e’ legata alle forze eccitanti e all’inerzia del sistema. Dato che il fluido e’ elastico, bisogna aspettarsi che oscillazioni sviluppate in un punto si propaghino nel fluido e che dato che il fluido e’ costituito da particelle cariche, questi moti generino onde elettromagnetiche.

In questa e nelle prossime lezioni esamineremo fenomeni di propagazione di onde quali risultano dal sistema di equazioni MHD scritte in forma “ideale”..

Facciamo le seguenti ipotesi semplificatrici:

- il fluido è omogeneo e di estensione infinita, - la conduttività molto elevata (σ→∞)

- la pressione è scalare,

- il fluido è immerso in un campo magnetico statico B

uniforme,

- le onde sono di piccola ampiezza (le equazioni MHD sono linearizzate).

Utilizzeremo le equazioni MHD fondamentali (di continuità (XII-1a), la (XII-6), l'equazione di stato

adiabatica (XII-9c) l'equazione del moto (XII-10) e la equazione del campo magnetico (XII-11b),

riassunte nella prossima diapositiva.

Equazioni MHD ideali

(XII-1) (XII-6) (XII-11b)

XII-9c)

(XII-10)

0 )

( =

∂ +

∂

div

v

t ρ

ρ

0 ) ( B = div

) ( v B B = ∧

∂

∂ rot t

) 0

(

=

dt p

d

m

ρ

ρ

0 0

2

( )

2 ) ( )

( ρ µ µ

ρ

ρ ^v + ^v ⋅ ∇ ^v = + ^J ∧ ^B − ∇ = −∇ + + ^{B ⋅ ∇ B}

∂

= ∂ B

p p

t E dt

d

c m

m

Linearizzazione delle equazioni MHD

L'ipotesi di onde di piccola ampiezza ci permette di 'linearizzare' le equazioni MHD, che per loro natura sono non lineari. Per far questo, si assume che, in assenza di onde, il fluido si—

trovi in quiete (v = 0). in uno stato imperturbato, caratterizzato da valori di densità ρ

, pressione (p

) e campo magnetico (B

), costanti nello spazio e nel tempo, che vengono considerati grandezze note e finite (e dette 'grandezze di ordine zero). In presenza di perturbazioni di equilibrio, se l’ ampiezza della perturbazione è piccola, si assume che i parametri del fluido nello stato perturbato, che si discosta poco da quello 'imperturbato

, si possano scrivere come:

con

Le incognite del problema sono le grandézze che caratterizzano lo stato 'perturbato

, cioè la velocità v e le quantità ρ

, p

, B

; queste quattro grandezze, insieme alle loro derivate, vengono considerate infinitesime del 1° ordine. La 'linearizzazione

, consiste nel trascurare nelle equazioni i termini infinitesimi di ordine più elevato del primo, in modo da lasciare solo i termini del 1

ordine. Essendo:

L’equazione di continuità linearizzata diventa :

(XVII-1)

) ,

1

(

0

t

m

ρ ρ r

ρ = + ρ

( r , t ) << ρ

) ,

1

(

0

B t

m

B r

B = + ) ,

1

(

0

P t

P

P = + r

0 1

( , t ) P P r <<

0 1

( r , ) B B t <<

v v

v v

v ( ρ

ρ

) ρ

ρ

ρ

ρ

= + = + ≈

0 )

0

(

1

+ =

∂

∂ div v

t ρ

ρ

Equazioni MHD linearizzate

Analogamente:

Per cui l’ equazione del moto

diventa: (XVII-2)

E l’ equazione per il campo magnetico:

diventa (XVII-3)

e diventa (

XVII-4) t t

m

t ∂

≅ ∂

∇

⋅

∂ + + ∂

∂ =

∂ v

v v v

v

0 1

0

)[ ( ) ]

( ρ ρ ρ

ρ

) ) ( (

2 )

) (

) ( (

2 ) ( 2 )

(

0 1 0 0

1 0 1 0 0

0 2

µ µ

µ µ

B B B

B B B B

B ⋅ = ∇ + ⋅ + = ∇ ⋅

∇

=

∇ B

1 0

1 0 1

0

) )( ) )

( )

( B ⋅ ∇ B = B + B ⋅ ∇ B + B ≅ B ⋅ ∇ B

0 1 0

1 1

0

) ) (

( 2

µ ρ ^v = −∇ + ^B

µ ⋅ ^B + ^B

^{⋅ ∇ B}

∂

∂ p

t

)

(

1

v B

B = ∧

∂

∂ rot t

0 ) ( B

= div

0 0

2

( )

2 )

( µ µ

ρ ^v = −∇ + + ^{B ⋅ ∇ B}

∂

∂ B

t p

m

) ( v B B = ∧

∂

∂ rot t

0

)

( B =

div

Linearizzazione dell’ equazione di stato

Il primo membro dell’ equazione di stato può essere scritto:

(XVII-5) D’altra parte:

(XVII-5 bis)

essendo si può scrivere;

da cui si verifica che la (XVII-5 bis) si riduce a:

Sostituendo nella (XVII-5) si verifica che l’ equaione di stato diventa:

ossia che:

(XVII-6)

e’ indipendente dal tempo. D’ altra parte, il valore della costante e’ zero perche’ cosi è in assenza di perturbazione in cui e’ P

= ρ

= 0 Pertanto l’ equazione di stato adiabatica linearizzata è:

(XVII-7)

) ) (

( )

(

ρ ρ

ρ

∇

⋅

∂ +

= ∂

m

m

P

t P dt

P

d v

1

0

<<

ρ

ρ

) (

1 ) 1

(

0 1 0

1

ρ γ ρ ρ

ρ

_{≅ −}

+

γ γ γ γ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ

= ( + ) ⋅ ( + )

≅ ( + )

( 1 + )

0 0 1

1 0 1

0 1

0

P P P

P P

0 )

(

0 0

1

− =

∂

∂ ρ

γ ρ ^P t P

P cte P −

=

0 0

1

ρ

γ ρ

)

(

0 0 1

0

0

ρ

γ ρ ρ

ρ

^{P P P}

P

≅

+ −

0 1 0

1

ρ

γ ρ

P =

P

Onde acustiche

Considerato un fluido compressibile, omogeneo, con pressione ovunque costante (P

), si supponga che ad un certo istante (t = 0), per una causa qualunque, in uno strato piano di questo fluido si crei una pressione (P) più grande, della pressione (P

)

esistente nel fluido circostante. Dobbiamo aspettarci che negli istanti successivi (t > 0) questo strato si espanda comprimendo strati adiacenti, i quali, a loro volta, per successiva espansione, comprimeranno altri strati ancora.

Si verifica quindi una serie di compressioni ed espansioni, ossia una propagazione di onde longitudinali (il movimento del fluido avviene parallelamente alla direzione di propagazione) e le uniche forze che prendono parte a questo fenomeno sono le forze di pressione.

Per trattare questo fenomeno dal punto di vista analitico, dobbiamo considerare l'equazione del moto (linearìzzata) data

(XVII-8)

nella quale, dato che la perturbazione e’ dovuta ad una variazione di pressione nei i termini di forza, si devono prendere in considerazione solo quello di pressione del fluido:

(XVII-9)

Questa situazione si presenta quando non sono in gioco forze di carattere EM ossa il termine di forza elettromagnetica F = J x B è nullo, cioè linearizzando:

(XVII-10) J x B

= 0

0 1 0

1 1

0

) ) (

( µ µ

ρ ^v = −∇ + ^B

⋅ ^B + ^B

^{⋅ ∇ B}

∂

∂ P

t

1

0

P

t = −∇

∂

ρ ∂v

Onde acustiche

Onde acustiche si propagano ovviamente in un fluido non conduttore, (gas neutro : J = 0) Tuttavia possono propagarsi anche in un fluido conduttore, nel caso in cui la quantità J x B

sia nulla.

Questo avviene:

- in assenza di campo magnetico statico (B

= 0);

- per una propagazione parallela a B

: infatti se il fluido si muove con velocità v parallela a B

. sarà v x B

= 0, quindi dalla

(XVII-11)

risulterà ∂B

/∂t = 0, cioè che B

è un vettore costante. Trattandosi di fenomeni ondulatori, Il valore di questa costante non può essere che zero: In base alla equazione di Maxwell rot(H) = J risulta nulla anche la densità di corrente (J= 0) ed è pertanto verificata la

Se si prende la divergenza di entrambi i membri della :

da cui eliminando densità e velocità con l’ equazione di stato e di continuità si ottiene un’ equazione differenziale per la pressione:

(IV-12)

Che e’ l’equazione della propagazione di un’onda con velocità di fase ossia di un’onda acustica.

)

1

(

B

B v

∧

∂ =

∂ rot t

1

0

P

t = −∇

∂ ρ ∂v

0 )

(

0

+ ∇ =

∂

∂ div P

t v

ρ

1 0 0

1

ρ

γ ρ ^P P = 0

) (

0

1

+ =

∂

∂ div v

t ρ

ρ

2

0

0 0 2

1

2

+ ∇ =

∂

∂ P P

t P

ρ γ

0 2 0

ρ

γ ^P

c =

Onde EM

La propagazione di onde EM in un plasma e’ studiata utilizzando le tecniche matematiche dell’ Elettromagnetismo classico , partendo dall’ equazione dei rotori delle equazioni di Maxwell,

(XVII-13)

Dove E, B, j sono le quantita’ perturbate secondo l’analisi lineare discussa piu’ avanti Per tutte le variabili, cerchiamo una soluzione del tipo:

assumendo una dipendenza di spazio e tempo di un’ onda armonica. La soluzione fisica sara data dalla parte reale delle quantità complesse

E(x,t) ~ Re[ ]:

Applicando la definizione (XVII-14) alle equazioni (XVII-13)

B puo’ essere eliminato dallle (XVII-15) moltiplicando per k ∧ la seconda equazione, ω . la prima eguagliando. Si ottiene:

(XVII-14)

(XVII-15)

0 0

1 µ

= ε

c

E’ necessario ora stabilire una relazione tra E(k, ω ) e j che definisca le proprietà del mezzo in cui l’ onda si propaga.

Questa relazione necessita una descrizione fisica del mezzo, che si ottiene da uno dei modelli della fisica del plasma. Per il momento assumiamo una relazione di dipendenza generica :

Dove σ e’ definito da un tensore “conduttività del mezzo”, che tiene conto di possibili anisotropie spaziali e temporali del mezzo, :

La ( XVII-17) e’ l’espressione generalizzata della legge di Ohm. Tutti i termini della matrice sono funzione del vettore d’ onda (spazio) e della frequenza (tempo). Se la propagazione nel

mezzo ha caratteristiche di simmetria, queste si riflettono in simmetrie della matrice

conduttività. Per esempio se il mezzo e’ isotropo ( velocità di propagazione uguale in ogni direzione), solo i termini diagonali sono diversi da zero e si ottiene la relazione j = σ E, dove σ e’ ora una quantità scalare. Pertanto si ottiene formalmente un’ equazione per E:

(XVII-16)

(XVII-17)

Onde EM

(XVII-18)

−

1

2

+ ∂ =

∇

−

⋅

∇

∇ E

Onde EM

spostamento polarizzazione

densita’ di carica esterna

Nell’ EM classico le proprietà dei materiali dielettrici lineari ed uniformi, sono discusse in termini di una costante dielettrica ε ed una polarizzazione del mezzo P che descrive

modificazioni geometriche o orientazione degli orbitali atomici sottoposti ai campi EM. E’:

e

che, dato che P e’ proporzionale ad E, puo’ essere scritto:

si ottiene :

Per questo mezzo dielettrico, la legge di Ampere si scrive:

Dove la costante dielettrica (relativa) e’

suscettibilita

(XVII-19)

(XVII-20)

(XVII-21)

(XVII-22)

E D = ( 1 + χ ) ε

= se

∧

∇ H

Nel nostro caso si definiscono le proprietà del mezzo in un modo completamente analogo,

ma utilizzando la relazione fra densità di corrente j e campo elettrico E invece che con la

polarizzazione P.

Onde EM

Se si considera il mezzo come un dielettrico, ossia come un mezzo in cui le correnti di conduzione j non compaiono esplicitamente, ma sono incluse nelle correnti di spostamento

I due ultimi termini del secondo membro della legge di Ampere si possono scrivere:

ossia, nello spazio trasformato:

da cui:

Si noti che la costante dielettrica εεεε e’ in generale un tensore che (come la σσσσ ) tiene conto di

anisotropie delle correnti nel mezzo. Nel caso di un plasma le anisotropie sono dovute alla presenza del campo magnetico B

, che modifica le traiettorie delle particelle cariche .

(XVII-23)

(XVII-24)

(XVII-25) σ E E ε E

0

0

ωε

ωε ⁱ

i = −

−

⋅

(XVII-25)

Onde EM

L’equazione (XVII-18)

si riduce a :

dove e’ il tensore dielettrico del mezzo.

Se si scrive l’ equazione in forma tensoriale:

(XVII-28) con : (XVII-29)

Che e’ equivalente al sistema di tre equazioni scalari e omogenee :

(XVII-30)

(XVII-27)

Relazione di dispersione

Perché il sistema abbia soluzione e’ necessario che :

( Che esprime pertanto la condizione di esistenza per una propagazione di un’ onda nel mezzo considerato. Questa equazione, che lega k a ω, viene chiamata relazione di dispersione della propagazione e permette di stabilire in modo relativamente semplice e in funzione dei parametri fisici del mezzo, se un’onda di un certo tipo può propagarsi nel mezzo, subisce una riflessione, incontra una risonanza o una conversione di modo, senza risolvere esplicitamente le equazioni per i campi. Queste equazioni, che

dipendono dalla geometria e dalla condizioni al contorno del problema, sono in generale molto più complesse da calcolare (spesso soltanto numericamente).

In generale l’analisi di propagazione di onde in un plasma si spinge fino all’ analisi della relazione di dispersione. Nel seguito discuteremo con degli esempi come da questa si possa predire la maggior parte del comportamento dell’ onda.

(XVII-31)

Consideriamo un mezzo omogeneo ed isotropico definito da : (XVII-32)

Se assumiamo la direzione del moto parallela all’ asse z, [k(0,0,k)] , l’ equazione (XVII-29)

diventa:

:

Esempi di propagazione: mezzo isotropo e omogeneo

(XVII-33)

(XVII-35) D

ossia raggruppando

Esempi di propagazione: mezzo isotropo e omogeneo

La relazione di dispersione si scrive imponendo:

Che ha ha due possibili soluzioni:

A) B)

Propagazione di onda trasversa Propagazione di onda longitudinale

in un mezzo rifrattivo Il caso ε =0 non ha corrispettivo nell’

. ottica geometrica, ma e’ una . condizione frequente per un plasma

v

= (XVII-40)

(XVII-38) (XVII-37)

(XVII-39)

(XVII-36)

Relazione di dispersione generale

Nel caso piu’ generale ponendo:

(XVIII-41)

l’ equazione di dispersione diventa:

(XVIII-42)

Per una data ω, se ε non dipende esplicitamente da k, il determinante della matrice e’ una forma quadratica in N

Questo significa che per ogni ω :

• esistono due vettori d’onda (modi) di propagazione. A questi modi corrispondono polarizzazioni trasversali e longitudinali del campo elettrico,

• caso di mezzi anisotropi (come un plasma magnetizzato), polarizzazioni “ibride” . Le considerazioni precedenti sono applicabili a un qualunque mezzo lineare. Per poter trattare la propagazione in un plasma e’ necessario derivare dalle equazioni di stato una espressione per σ ed ε in funzione della frequenza.

= 0