Professoressa CORONA PAOLA
I VETTORI
Grandezze scalari
Una grandezza scalare è completamente specificata da un singolo numero che ne esprime il valore rispetto a un’unità di misura appropriata.
Sono grandezze scalari:
• la temperatura (es.: 13 °C)
• la distanza (es.: 25 km);
• l’intervallo di tempo (es.: 2 s);
• la massa (es.: 1,5 kg);
• l’energia (es.: 30 J).
Grandezze vettoriali
Una grandezza vettoriale è caratterizzata da:
§un modulo (o intensità) che indica il suo valore (non negativo) rispetto all’unità di misura;
§una direzione;
§un verso lungo la direzione data.
Sono grandezze vettoriali:
• lo spostamento;
• la velocità;
• l’accelerazione;
• la forza.
L’addizione di due vettori
Dati due vettori e , la somma è un vettore che si può ottenere graficamente con il metodo punta-coda:
Si trasla fino a portare la sua coda sulla punta di : il vettore somma congiunge la coda di con la punta di traslato.
a! b! c! = !a + ! b
Per vettori non paralleli si può ottenere la somma anche con il metodo del parallelogramma:
a ! b !
c ! = !a + ! b a !
b !
Si trasla fino a portare la sua coda sulla coda
di : il vettore somma congiunge le code di e con il vertice opposto del parallelogramma.
a !
b ! !
a !
b
La moltiplicazione di un vettore per un numero
Il prodotto di un vettore per un numero k è il vettore che ha:
§modulo ;
§direzione uguale a quella di ;
§verso uguale a quello di se k è positivo, opposto se k è negativo.
Caso particolare: per si ottiene il vettore opposto di , che si indica con .
d = k a
1 k = -
a !
a ! a !
a !
La sottrazione tra due vettori
Il vettore differenza si ottiene addizionando ad il vettore opposto di
Il vettore differenza è quello che, addizionato a , dà come risultato .
Per scomporre il vettore lungo le rette incidenti r e s :
§ si trasla fino a portare la sua coda nel punto di intersezione;
§ si costruisce il parallelogramma che ha come diagonale.
La scomposizione di un vettore
§sono rispettivamente paralleli alla retta r e alla retta s;
§danno come somma
e r lungo due direzioni
r
P Ps
I due vettori e sono i vettori
componenti di lungo r e s e godono delle seguenti proprietà:
a ! a !
a !
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OQP è possibile calcolare il modulo di a:
La scomposizione di un vettore
lungo gli assi cartesiani
2 2
x y
a = a + a
In questo caso il parallelogramma diventa un rettangolo.
ax e ay sono le coordinate del punto P e sono i moduli dei due vettori componenti
a) indichiamo:
§ modulo dello spostamento ;
§ direzione (angolo rispetto all’asse Ovest-Est);
§ verso (punta verso NE).
Ci sono due possibilità:
Come esprimere lo spostamento?
a
b) indichiamo:
§ i due vettori componenti e di lungo le direzioni perpendicolari Ovest-Est e Sud-Nord.
Esempio: da cui da cui
Seno e coseno di un angolo
sen C AB BCˆ =
In un triangolo rettangolo si definisce:
§ seno di un angolo il rapporto tra il cateto opposto e l’ipotenusa;
§ coseno di un angolo il rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa.
sen ˆ AB BC = C
cosC CA BCˆ =
CA BC = cos C ˆ
Alcuni valori di seni e coseni di angoli caratteristici sono:
Applicando la definizione di seno e coseno al triangolo OAB, possiamo scrivere:
§
§
La relazione che lega i moduli dei vettori componenti al modulo del vettore e all’angolo della sua direzione rispetto all’asse x è:
