∀≤< tvtvt :()() 0 V ESERCIZIO E1:

(1)

ESERCIZIO E1:

I diodi D₁ e D₂ sono ideali. Il segnale di ingresso V_IN(t) varia linearmente nell’intervallo V_IN∈∈∈∈[0, 40]V. Sapendo che E_O=20V, R₁=10KΩΩ; RΩΩ 2=R₃=5KΩΩΩ; R4Ω =15KΩΩΩ Ω si determinino e si traccino graficamente le tre relazioni: V_OUT = ƒƒƒƒ1(V_IN) (4 punti), I_O = ƒƒƒƒ2(V_IN) (2punti) ed I₁= ƒƒƒƒ3(V_IN) (4punti). (Prima Prova in Itinere 17 novembre 2008).

Si tratta di un circuito con due diodi D₁ e D₂, supposti ideali, alimentato da un segnale in tensione che cresce linearmente da zero a quaranta volt.

Per i due diodi si richiede l’utilizzo del modello lineare a tratti di prima specie con i due tratti di caratteristica fra di loro perpendicolari ed intersecantesi nell’origine degli assi coordinati V_AK, I_D. In sostanza è da considerare nulla sia la tensione di soglia Vγγγγ, sia la tensione VDON di conduzione dei diodi D₁ e D₂. Una strategia di analisi iniziale del circuito è quella di ritenere, contemporaneamente, i due diodi interdetti e verificare se la rete circuitale che ne deriva è

‘elettricamente compatibile’ e coerente con i valori che nel tempo assume il segnale di ingresso. L’ipotesi relativa ai diodi D₁ e D₂ entrambi interdetti conduce a verificare, per ispezione diretta, la validità elettrica o meno della rete di seguito riportata come figura 1a, in cui i due diodi sono modellati con due interruttori aperti e si considera inizialmente V_IN(t) = 0.

In tali ipotesi, per ispezione diretta della rete, si evince che non sussiste alcuna maglia chiusa e, di conseguenza, sono nulle le correnti in ogni lato della rete; pertanto, se si applica la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia contenente E_O, R₂, R₃ ed R₄ si ottiene: V_A2K2 −−−− EO = 0, da cui risulta: V_A2K2=E_O>0, e ciò è in antitesi con l’ipotesi iniziale di considerare il diodo D2

nello stato di interdizione. Pertanto, si verifica che per V_IN(t) = 0 V il diodo D₂ si trova nello stato di conduzione, cioè è ON. La conduzione di D₂ implica l’analisi della rete di figura 1b, in cui il diodo stesso viene modellato col bipolo corto circuito mentre D₁ è ancora considerato nello stato di interdizione. Il generatore EO

riparte la propria tensione fra le resistenze R₂, R₃ ed R₄ il che rende il potenziale del catodo VK1 positivo rispetto al potenziale dell’anodo VA1 e ciò conferma l’ipotesi che il diodo D1 sia effettivamente nello stato di interdizione, cioè OFF. Si conclude che:

∀ t : 0 ≤ v

_in

( ) t < v

_in^*

( ) t

D1 è OFF mentre D2 è ON. Il circuito che deve essere esaminato, come già detto, è mostrato in figura 1b nella quale D₁ resta modellato con un circuito aperto. La tensione di uscita v_O(t) resta determinata dalla ripartizione della tensione del generatore indipendente EO operata dal partitore resistivo costituito dalle tre resistenze R2, R3 ed R₄; si ottiene, così, la relazione di seguito riportata:

+ ++ +

−−−

− R₂ R1

R₄ D1

D₂

E_O

V_OUT(t) VIN(t)

(figura - 1) R3

I_O I₁

+ + + +

−−

−− R₂ R₁

R₄ A₁

A2

E_O

V_OUT VIN =0

(figura - 1a) R3

K₁

++ ++

−

K₂

+ + + +

−−

−− R2

R₁

R₄ A₁

A2

EO

V_OUT VIN

(figura - 1b) R₃ K₁

++ ++

−

K₂

I_O I₁

V

_α_α_α_α

(2)

v t R E

R R R V

o

( )

o

(5 )

= ⋅

+ + = ⋅

4

=

2 3 4

15 20 5 15

15 20

25 12

La rete di figura 1b conserva la propria validità finché il segnale di ingresso VIN non raggiunge il valore V_α_α_α_α; in tale contesto, infatti, l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia d’ingresso porge la seguente relazione:

V

_A1K1

− − − − V

_IN

+ V

_α_α_α_α

= 0

dalla quale si evince che:

V

A1K1

= V

IN

− − − − V

_α_α_α_α

= 0

Appena il segnale di ingresso supera il valore Vαααα il diodo D₁ cambia stato e si porta in conduzione; tale stato viene garantito dall’aumentare del segnale di ingresso V_IN. Il calcolo della tensione V_α_α_α_α è ottenuto

tramite la relazione esprimente la legge del partitore resistivo di tensione che di seguito si esplicita:

V t R R E

R R R

^o

V

α

( ) ( ) (5 )

(5 ) ( )

= + ⋅

+ + = + ⋅

+ + = ⋅

= ⋅

= ⋅ =

3 4

2 3 4

15 20 5 15

20 20 25

4 20

5 4 4 16

In conclusione si osserva che:

∀ t : 0 ≤ v

_in

( ) t < [ v

_in^*

( ) t = 16 V ]

⇒

D

1

è OFF

mentre

D

2

è ON

V t R E

R R R V I t V t

R A I t

o o

( ) ( ) ( )

= ⋅ ( )

+ + = = =

⋅ = =

4

2 3 4

12

4

12

3 1

15 10 800 µ 0

La rete da esaminare, al crescere di V_IN, è mostrata in figura 1c in cui i diodi sono entrambi modellati da due corto circuiti. Pertanto, si può asserire quanto segue:

∀ t : [ v

_IN^*

( ) t = 16 V ] ≤ v

_in

( ) t < v

_IN^**

( ) t

^⇒^⇒^⇒^⇒

D

1

è ON e D

2

è ON

L’esame del circuito di figura 1c evidenzia una classica rete riconducibile ad una rete a due nodi, la cui tensione comune di nodo v_α_α_α_α(t) è ricavabile con il principio dei potenziali di nodo, noto anche come principio di Millman. La tensione V_α_α_α_α comune a tutti i lati della rete posti fra loro in parallelo è, pertanto, definita dalla scrittura che di seguito si esplicita:

V t V t R E R

R R R R

V t R E R R R

R R R R R R R R

R R R R V t R E R

R R

R R R R

R R R R R R

R R R

IN o IN o

IN o

α

( ) [ ( ) ] ( )

( )

[ ( ) ] ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

(

= +

+ +

+

= +

+ + + +

+

=

= +

⋅ +

+ ⋅ + + =

= +

1 2

1 2 3 4

2 1 1 2

2 3 4 1 3 4 1 2

1 2 3 4

2 1

1 2

1 2 3 4

3 4 1 2 1 2

2 3

1 1 1

4

3 4 1 2 1 2

1 3 4

3 4 1 2 1 2

) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

⋅

+ ⋅ + + + + ⋅

+ ⋅ + +

V t

R R R R R R

R R R E

R R R R R R

IN o

Sostituendo i dati forniti dalla traccia si perviene alla relazione seguente:

V t V t

V t

V t V

IN

IN IN IN

α

( ) (5 ) ( )

(5 ) ( )

(5 )

(5 ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

= ⋅ + ⋅

+ ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ + + ⋅ =

= ⋅ ⋅

⋅ + + ⋅ ⋅

⋅ + = ⋅ + = ⋅ +

5 15

15 10 5 10 5

10 15 20

15 10 5 10 5 5 20

20 15 50

10 20 20 20 15 50

100 350

4000 350

2 7

80 7

++ ++

−

− R₂ R₁

R4

A1

A2

E_O

V_OUT V_IN

(figura - 1c) R₃ K₁

+ + + +

−−

K2

I_O I₁

V

αααα

α α

(3)

ovvero:

V t V t V t

IN IN

V

α

( ) ( ) ( )

= 2 ⋅ + = ⋅ + [ ]

7 80 7

2 80

7

La tensione di uscita VO(t) richiesta si ottiene applicando la legge del partitore resistivo di tensione fra le resistenze R₄ ed R₃; infatti, vale la posizione seguente:

V t R

R R V t V t V t

o

( ) ( )

IN

( )

IN

( )

= + =

+ ⋅ ⋅ +

= ⋅ ⋅ +

4

3 4

15 5 15

2 80

7 3 4

2 80

α

7

In conclusione si perviene alla cercata relazione:

V t

_o

( ) = 3 ⋅ V

_IN

( ) t + [ ] V 14

60 7

Il legame ottenuto caratterizza una retta con coefficiente angolare m=tagαααα=3/14. Si osservi che per V_IN(t)=16V viene riconfermato il valore della tensione d’uscita V_O(t)=(16·3/14)+(60/7)=12V.

La corrente I_O(t) è determinata dalla legge di Ohm applicata alla resistenza R₄, che è sottoposta alla tensione V_O(t), oppure alla serie delle due resistenze R₃ ed R₄ facendo ricorso alla tensione V_α_α_α_α(t).

Si relaziona, pertanto, come segue:

I t V t R

V t

V t mA

o o IN

( ) ( ) ( )

IN

( ) [ ]

= = ⋅

⋅ +

⋅ ⋅ = ⋅ +

4 3 3

3 14 15 10

60 7 15 10

1 70

4

7

, ed anche:

I t V t

R R

V t

V t mA

o IN

( ) ( ) ( )

IN

(5 ) (5 ) ( ) [ ]

= + = ⋅

+ +

⋅ +



  

 

⁻

= ⋅ +

α

3 4

2

3

7 15

80 7 15 10 1

70 4 7

Per quanto riguarda il calcolo della corrente I₁(t), l’applicazione della legge di Ohm alla resistenza R1 consente di relazionare come di seguito esplicitato:

I t V t V t R

V t R

V t V t

V t mA

IN IN IN IN

IN 1

1 1 1

3

10 2 80

7 10 10

5 70

8 7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ]

= −

= − = − ⋅ +

⋅



  

 

= ⋅ −

α α −

La rete di figura 1c conserva la propria validità finché il segnale di ingresso VIN non raggiunge un valore

V

_IN^** tale da rendere il potenziale V_α_α_α_α del nodo αααα uguale alla tensione del generatore EO. In tale contesto, infatti, la tensione V_A2K2 ai capi del diodo D₂ si annulla V_A2K2=0 per diventare poi negativa, il che porta il diodo a mutare stato passando dalla conduzione alla interdizione.

Dovrà, quindi, verificarsi la condizione:

V

_α

( ) t = E

_o

= 2 ⋅ V

_IN^**

( ) t + 7

80 7

dalla quale si determina il valore della tensione d’ingressocheportaildiodoD₂ nellostatoOFF.

Eseguendo i necessari passaggi algebrici si ottiene quanto segue:

E V t V t E

o

= ⋅

IN

+ ⇒

IN

=

o

− V

= ⋅ −

= =

2 7

80 7

7 80

2 7 20 80 2

60 2 30

** **

( ) ( ) ( )

Riassumendo, si perviene alla seguente conclusione:

+ + + +

−

− R2

R₁

R₄ A₁

A₂

EO

V_OUT V_IN

(figura - 1d) R₃ K₁

++ ++

−

K2

I_O I₁

(4)

∀ t : [ v

_IN^*

( ) t = 16 V ] ≤ v

_in

( ) t < [ v

^**_IN

( ) t = 30 V ]

⇒⇒⇒⇒

D

₁

è ON e D

2

è ON

Per i valori del segnale di ingresso V_IN(t)≥≥≥≥30 V, il diodo D₂ si apre mentre D₁ resta in conduzione.

∀ t : [ V

_IN^**

( ) t = 30 V ] ≤ V

_in

( ) t ≤ 40 V ]

⇒⇒⇒⇒

D

1

è ON e D

2

è OFF

Il circuito che dev’essere esaminato è quella mostrata in figura 1d in cui D1 è modellato con il corto circuito mentre D₂ viene modellato da un circuito aperto. Tramite ispezionediretta si osserva che I₁=I_O ed il calcolo della tensione V_O(t) è immediato applicando la legge del partitore resistivo di tensione realizzato dalle tre resistenze R1, R3 ed R4; si ottiene, pertanto:

V t R V t

R R R

V t

V t V t V

o IN IN

IN IN

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) [ ]

= ⋅

+ + = ⋅

+ + = ⋅ = ⋅

4

1 3 4

15 10 5 15

15 30

1 2

Il legame ottenuto caratterizza una retta con coefficiente angolare m= tagββββ = 1/2. Si osservi che per V_IN(t)=30V si ottiene V_O(t)=15V, ovvero viene riconfermato il valore della tensione d’uscita dato dalla relazione: V_O(t)=[(3·V_IN/14)+(60/7)]=[(3·30/14)+(60/7)]=(210/14)=15V. Consegue che la tensione di uscita è una funzione continua e tale sarà anche la transcaratteristica V_O = ƒƒƒƒ(VIN).

Per le correnti I1(t) ed IO(t) vale la relazione seguente:

I t I t V t R

V t R

V t V t V t

o

( ) ( )

o

( )

IN

( )

IN

( )

IN

( )

IN

( ) mA

[ ]

= = = =

⋅ ⋅ = ⋅

⁻

=

1

4 4 3

3

2 2 15 10 30 10

30

La transcaratteristica vO=ƒƒƒ(Vƒ IN) è mostrata in figura 1e in cui sono evidenziati per ciascun tratto della spezzata, che definisce la curva in oggetto, la pendenza e lo stato di conduzione dei diodi.

In figura 1f, invece, sono evidenziati gli andamenti delle transcaratteristiche relative alle correnti I₁ ed I_O. Si osserva che nel terzo tratto, come già confermato dai calcoli, le correnti coincidono.

ββ ββ α

α α α

VIN

V_O

16V 30V 40V

12V 15V 20V

D₁ OFF D₂ ON

D₁ ON D₂ ON

D₁ ON

D₂ OFF (figura 1e)

m = tag(α α α) = (3/14) α α

α α

α = arctag(3/14) α α

α α = 12,1°

m = tag(ββββ) = (1/2) β

β β

β = arctag(1/2) β β

β β = 26,56°

δ δδ δ γγγγ

V_IN I₁ , I_O

16V 30V 40V

800µµµµA 1mA 4/3mA

D₁ OFF D₂ ON

D₁ ON

D₂ ON D1 ON

D2 OFF (figura 1f)

ϕ ϕ ϕ ϕ

m = tag(γγγγ) = (1/70) γγγγ = arctag(1/70) γγγγ = 0,818°

m = tag(ϕ ϕ ϕ ϕ) = (5/70) ϕ

ϕ ϕ

ϕ = arctag(5/70) ϕ ϕ

ϕ ϕ = 4,08°

m = tag(δδδδ) = (1/30) δ

δδ

δ = arctag(1/30) δ δδ

δ = 1,91°

(5)

ESERCIZIO E2:

Si determini il punto operativo del circuito di figura 2, sapendo che V_S è una sorgente di piccolo segnale. Si indichi la regione di funzionamento del transistore (3 punti). Si determini il guadagno di piccolo segnale VO/VS nella condizione operativa determinata al punto precedente (7 punti). Sono noti: E_G = 2 V; V_T = 1 V; K = 100 µµµµAV⁻²⁻⁻⁻ ; R_D = 10 KΩΩΩ. Ω

Si tratta di un MOS a canale N polarizzato dal generatore indipendente stazionario di tensione E_G e sottoposto alle variazioni introdotte dal generatore di piccolo segnale VS. Ai fini della polarizzazione, atteso che la traccia non indica la presenza di componente continua associata alla sorgente di segnale VS, benché non sia presente alcun condensatore atto a funzioni di disaccoppiamento del segnale stesso, si deve considerare soltanto l’azione del generatore E_G. In sostanza il generatore di segnale V_S deve essere spento. La rete per definizione di puntodiriposoQ(puntooperativo) viene, quindi, mostrata in figura 2a nella quale V_S è modellato dal bipolo corto circuito. Tramite la ispezione diretta si evince con immediatezza che il MOS, a canale N, è sicuramente acceso; infatti si evince:

V

GS

= E

G

= 2V > V

T

Procedendo in una stesura un poco pedissequa, si ipotizza il MOS in zona di saturazione e si imposta la corrispondente relazione costitutiva del dispositivo, esplicitando la

scrittura che di seguito si riporta:

I K V V K V V

A

D

= ⋅

GS

−

T

= ⋅

G

−

T

=

= ⋅

⁻

− =

( ) ( )

( )

2 2

6 2

100 10 2 1 100 µ

Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di uscita del MOS a canale N, si relazione come segue:

V

_DS

= − R I

_{D D}

= − 10 10 ⋅

³

⋅ 100 10 ⋅

⁻⁶

= − 1 V

Il risultato conseguito mostra come NON risulti soddisfatta la condizione caratteristica della zona di saturazione; infatti si ha: V_DS<(V_GS−−−−V_T). Il MOS NON È saturo e poiché è acceso consegue che esso funziona in zona ohmica; pertanto, la corrente ID dovrà soddisfare la relazione costitutiva che di seguito si esplicita:

I

_D

= K ⋅ [ ( 2 V

_GS

− V

_T

) ⋅ V

_DS

− V

_DS²

] = K V ⋅ (

_G

− V

_T

)

²

dalla quale, ricordando che VDS = −−−−RD·ID, si ottengono le scritture di seguito riportate:

I

_D

= 2 K V (

_GS

− V

_T

) ( ⋅ − R I

_{D D}

) − K ( − R I

_{D D}

)

²

KR I

_{D D}² ²

+ 2 KR

_D

( V

_GS

− V

_T

) I

_D

+ I

_D

= 0

Sostituendo i dati forniti dalla traccia si ottiene:

100 10 ⋅

⁻⁶

( 10 10 ⋅

^{3 2}

) I

_D²

+ ⋅ 2 100 10 ⋅

⁻⁶

⋅ 10 10 ⋅

³

⋅ ( 2 − 1 ) I

_D

+ I

_D

= 0

, ovvero:

10

^{4 2}

I

_D

+ 2 I

_D

+ I

_D

= 0 ⇒ 10

^{4 2}

I

_D

+ 3 I

_D

= 0 ⇒ ( 10

⁴

I

_D

+ 3 ) ⋅ I

_D

= 0

da cui si perviene alle posizioni finali:

I

_D

= 0 A I

_D

= − ⋅ 3 10

⁻⁴

= − 300 µ A

L’unica soluzione accettabile dell’equazione di secondo grado, nella variabile corrente di drain I_D, è data da I_D = 0 A in quanto una corrente negativa I_D = -330 µµµµA implica che il MOS, che deve essere polarizzato, si comporti come un generatore indipendente di tensione, il che È assurdo.

Atteso che ID=0A, è immediato concludere che risulta necessariamente anche: V_DS=-R_D·I_D=0V.

EG

(figura - 2)

R_D M_N +

+ + +

−

∼ ∼ ∼ ∼

V_S

V_O

E_G

(figura - 2a)

M_N +++

+

−

−−

−

R_D V_O=V_DS

I_D

(6)

Pertanto il punto di riposo o punto operativo del MOS a canale N è caratterizzato dalla seguente terna di grandezze elettriche ai suoi morsetti:

V

_GS

= 2 V; I

_D

= 0A; V

_DS

= 0 V

Si devono, adesso, determinare i parametri dinamici, calcolati nel punto di riposo, specifici della costituzione del modello del MOS, atto a consentire lo studio del comportamento alle variazioni dovute all’azione del generatore di piccolo segnale. Nel proseguo si fa riferimento alla convenzione che, in si esplicita nel seguente modo:

i

_D

= I

_D

+ i

_d in cui è: iD=valore istantaneo; ID=valore punto di riposo; id=variazione

v

_DS

= V

_DS

+ v

_ds^{con: v}DS =valore istantaneo; V_DS=valore punto di riposo; v_ds=variazione

v

_GS

= V

_GS

+ v

_gs con: vGS =valore istantaneo; V_GS=valore punto di riposo; v_gs=variazione Il doppio bipolo a parametri G (si ricordi che il MOS è un dispositivo attivo pilotato in tensione) precipuo di tale modello si caratterizza per le relazioni analitiche costitutive che attingono la loro origine dalla composizione del differenziale totale della funzione di due variabili iD=ƒƒƒƒ(vGS,vDS), dato che iG = φφφφ(vGS, v_DS) = 0, e che di seguito si riportano:

di di i

v dv i

v dv

G D D

GS vGS VGS v DS VDS

GS D

DS vGS VGS v DS VDS

= = +

DS

=

0 ∂

∂

Ricordando le posizioni effettuate in ambito teorico e precisamente che:

g i

v g i

v

dv v

di i

m D

d D

DS ds

GS gs

D d

= =

=

∂

sipervienealladefinizioneanaliticadelmodellocaratteristicodelMOSvalidoallevariazioni dovute a piccolo segnale; si ottiene infatti con ovvio

significato sia fisico e formale delle indicate grandezze:

{ }

Q

_g

: i

_g

= 0 i

_d

= g v

_{m gs}

+ g v

_{d ds}

Il parametro g_m noto come transconduttanza conduttanza diretta, costituisce il parametro del generatore dipendente di corrente pilotato dalla tensione v_gs di ingresso con cui l’uscita è

informata dello stato dell’ingresso, mentre il parametro gd assume il significato di conduttanza d’uscita sentita ai morsetti di drain e di source. Si può procede al calcolo dei parametri dinamici.

{ }

g i

v

K v V v v

m D

v

GS T DS DS

GS vGS VGS

v DS VDS

= = ⋅ ⋅ − ⋅ −

=

= =

=

∂

[ 2 ( )

²

]

0

1

2

⁻

=

= = Ω

=

_DS

V v

V

DS v

KV

Kv

DS DS

GS GS

{ }

g i

v

K v V v v

d D

v

GS T DS DS

GS vGS VGS

v DS VDS

= = ⋅ ⋅ − ⋅ −

=

= =

=

∂

[ 2 ( )

²

]

, ovvero:

g

_m

v

_gs

v

gs

g

d

v

ds

i

_g

= 0 i

_ds

(figura - 2b)

S

D

G

(7)

g K v V v K V V V

K V V

d GS T DS vGS VGS

v DS VDS GS T DS

GS T

= − − = − − =

= − = ⋅ ⋅ − = ⋅ =

=

− − −

[ ( ) ] ( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 100 10

⁶

2 1 200 10

⁶

200 µ Ω

¹

Atteso quanto premesso, il circuito equivalente dinamico di piccolo segnale è mostrato in figura 2c.

Poiché dal calcolo della transconduttanza g_m si è ottenuto il valore g_m=0ΩΩΩΩ⁻⁻⁻⁻¹, e benché sia, come si evince per ispezione diretta

v

gs

= − −v − −

s, il corrispondente generatore pilotato di corrente comandato in tensione gmvgs deve considerarsi spento. Il circuito dinamico sul quale calcolare il guadagno di tensione A_V=V_O/V_S è mostrato in figura 2d.

Sempre per ispezione diretta della figura 2d si evince che la tensione di uscita è definita dalla legge del partitore resistivo di tensione che si realizza fra la resistenza R_D di drain e la conduttanza gd; si ottiene così la relazione seguente:

v R i R v

R g

o D ds D S

D d

= − ⋅ = − −

+ ( 1 )

Svolgendo i necessari passaggi algebrici si perviene alla scrittura che di seguito si esplicita:

v R R v

g R g

g R

g R v

o D D S

d D d

d D d D

= ⋅

S

+ =

+ ⋅

( 1 ) ( 1 )

Dalla relazione ora ottenuta, consegue che il guadagno di tensione A_V = V_O/V_S è calcolabile con la relazione seguente:

A v

v

g R

g R v v

g R

V o

g R

S

d D d D

S S

d D d D

= =

+ ⋅ ⋅ =

+ = ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅

+ ⋅ =

+ =

−

( ) ( ) ( )

( )

1

1 200 10 10 10 1 200 10 10 10 200 10

1 200 10

2 1 2

2 3

6 3

2 2

ESERCIZIO E3:

L’interruttore S di figura 3 si apre e si chiude ciclicamente con periodo di T=10µµµµs di funzionamento. In ogni periodo S è inizialmente chiuso per 0,9·T e poi aperto per il restante intervallo di tempo. Si supponga che nell’istante di tempo t_O=0sec. la corrente nello induttore LO sia nulla. Sapendo che il diodo è ideale, si determini la tensione vO(t) per 0≤≤≤≤t≤≤≤≤T (primo periodo di funzionamento del circuito) (7 punti). Si determini inoltre la tensione vO(t) per 0≤≤≤≤t≤≤≤≤2T (primi due periodi di funzionamento del circuito) (3 punti). Sono noti: E_O = 10 V;

L_O = 1 mH; R_O = 100 ΩΩΩΩ. (Prima Prova in Itinere – 17 novembre 2008).

Si tratta di determinare l’andamento temporale della tensione v_O(t) ai morsetti della resistenza R_O che fa parte di una rete che modifica la propria struttura per effetto dello stato dell’interruttore S che

g

_m

v

_gs

v

_gs

g

_d

(figura - 2c)

S G

∼ ∼

RD

v

_O

i

ds

D

v

_S

vds

v

gs

g

_d

(figura - 2d)

S G

∼

∼ ∼

∼

R_D

v

O

i

_ds

D

v

S

v_ds

(8)

si apre e si chiude ciclicamente. Si deve, poi, ricordare che la corrente che circola nell’induttanza costituisce una variabile di stato, ovvero la funzione iLO(t) è una funzione temporalmente continua e, pertanto, priva di repentine variazioni istantanee del suo valore.

La relazione costitutiva dell’induttanza è espressa dalla scrittura seguente:

v t L di t

dt i t i

Lo L o

Lo t Lo

( ) ( )

; ( ) ( )

= =

= 0

0

Appare utile condurre lo studio della rete facendo riferimento agli intervalli in cui l’interruttore S è dapprima chiuso e poi aperto in quanto si hanno variazioni sostanziali della struttura circuitale di cui la resistenza R_O fa parte.

a) Rete valida per 0≤≤≤≤t<0,9·T. La rete da esaminare è mostrata in figura 3a in cui l’interruttore S è chiuso. Il corto circuito effettuato dall’interruttore S fa si che il diodo DO, supposto ideale, non sia percorso da corrente e che l’induttanza L_O sia sottoposta alla tensione E_O dell’omonimo generatore indipendente e stazionario. In tale contesto si ottengono le relazioni che di seguito si esplicitano:

v t

_o

( ) = R i t

_{o o}

( ) = 0 V E v t L di t

dt i A

o Lo Lo

= ( ) = ( )

Lo

=

; ( ) 0 0

L’andamento temporale della corrente iLO(t), atteso che i_LO(0)=0, è dato dalla relazione seguente:

E dt L di t di t E

L dt di t E

L dt

o Lo Lo o

Lo t

o t

⋅ =

₀

⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ∫ = ∫ ⋅

0 0 0 0

( ) ( ) ( )

L’esecuzione delle operazioni di integrazione fornisce l’evoluzione temporale della corrente iLO(t) che di seguito si esplicita:

i t i E

L dt i t E

L t

Lo Lo t o

Lo o t

Lo o

( ) − ( ) ⁰ = ∫ ⋅ ⇒ ( ) = ∫ ⇒ ( ) = ⋅

0 0 0 0 0

Si tratta di una rampa di pendenza EO/LO, che all’istante TO.=0,9·T assume il valore:

i T E

L T mA

Lo o o

( )

o

,

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

−

− −

0

6 3

3 5 2

10 0 9 10 10 1 10

9 10 10 9 10 90

b) Rete valida per 0,9·T≤≤≤≤t≤≤·T. La rete da esaminare è mostrata in figura 3b in cui l’interruttore S ≤≤ è aperto ed in tale stato permane per un tempo pari a 0,1·T = 0,1µµµµs. Poiché la corrente che transita nella induttanza non può cambiare istantaneamente il suo valore, nel diodo DO viene iniettata la corrente iL(t);

il diodo, per tanto, è polarizzato direttamente e può essere modellato con un corto circuito. Si tratta di una rete LR nella quale l’andamento temporale della corrente i_LO(t) =i_O(t), di tipo esponenziale, risulta determinato dalla seguente relazione caratteristica:

i

_Lo

( ) t = i

_Lo

( ) ∞ − [ i

_Lo

( ) ∞ − i

_Lo

( T

_o

)] ⋅ e

^{− −}⁽^{t To}⁾ ^τ in cui è:

ττττ = L

O

/R

_O. R_O

+ ++ +

−−−

− EO V_O

(figura - 3)

LO DO

S

R_O +

+ + +

−

− E_O V_O

(figura - 3a) LO

D_O S

i_LO i_O

v_LO

R_O +

+ + +

−

− EO V_O

(figura - 3b) L_O

D_O S

iLO i_O

vLO

(9)

Il valore della corrente i_LO(∞∞∞) si determina considerando che l’induttanza si sia completamente ∞ caricata e che, quindi, sia modellata da un corto circuito; ne consegue che:

i

_Lo

( ) ∞ = ( E

_o

R

_o

) = ( 10 100 ) = 0 1 , = 100 mA con i

_Lo

( T

_o

) = 90 mA

Il calcolo della costante di tempo ττττ è fornito dalla già citata relazione:

τ = ( L

_o

R

_o

) = ( 1 10 ⋅

⁻³

100 ) = 10

⁻⁵

= 10 10 ⋅

⁻⁶

= 10 µ s

Per quanto attiene l’andamento temporale della corrente i_LO(t) nell’induttanza L_O si ottiene:

i

_Lo

t e e mA

t t

( ) [ ] [ ]

( ) ( )

= − − ⋅ = − ⋅

− − ⋅ −

⋅ − − − ⋅ −

⋅ −

100 100 90 100 10

9 10 6 10 10 6

ed in particolare, si determina il valore della corrente all’istante t=T in cui l’interruttore S si riporta nello stato di chiusura ottenendo:

i T e e

e mA

Lo

T

( ) [ ]

, ,

( ) ( )

,

= − − ⋅ = − ⋅ =

= − ⋅ = − =

− − ⋅ −

⋅ − − − ⋅ −

⋅ −

−

100 100 90 100 10

100 10 100 9 05 90 95

9 10 6 10 10 6

10 9 10 6 10 10 6 0 1

Nota la corrente iLO(t), l’evoluzione temporale della tensione v_O(t) ai capi della resistenza R_O è data dalla legge di Ohm; atteso infatti che iO(t)=iLO(t), si ottiene di conseguenza la relazione seguente:

] [ 10

] 10

100 [ 100 )

( )

(

) 10 10 ( ) 10 9 (

6 6

V e

e t

i R t i R t v

t

t L o

o o

o L

_o

−

⋅

−

⋅

−

=

⋅

−

⋅

=

⋅

=

⋅

=

Inoltre si verifica che:

v

_Lo

( ) T = R i

_{o Lo}

( ) T = 100 90 95 10 ⋅ , ⋅

⁻³

= 9 095 , [ ] V

c) Rete valida per T≤≤≤≤t<1,9·T. La rete da esaminare è mostrata in figura 3c in cui l’interruttore S è chiuso e l’induttanza Lo si trova caricata al valore i_LO(T) = 90,95 mA e sottoposta alla tensione costante del generatore E_O. Pertanto si avrà ancora i_O(t)=0A e si verificherà nuovamente un effetto d’integrazione nel tempo esprimibile con la seguente relazione:

i t i T E

L dt

Lo Lo o

T t

( ) − ( ) = ∫ ⋅

0

Procedendo all’operazione di integrazione si ottiene:

i t i T E

L t T i t i T E

L t T

Lo Lo o

Lo L o o

( ) − ( ) = ( − ) ⇒ ( ) = ( ) + ( − )

0 0

In particolare, effettuando i necessari calcoli, si ottiene quanto di seguito esplicitato:

i T i T E

L T T

mA

Lo

( , )

Lo

( )

o

( , ) , ,

, ( , ) ,

1 9 1 9 90 95 10 10 0 9 10 10

10 90 95 10 9 10 10 90 95 90 10 180 95

0

3 6

3

3 5 3 3

= + ⋅ − = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

=

= ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ =

− −

−

− − −

Dalla condizione i_O(t) = 0 A si perviene di nuovo alla conclusione che v_O(t)=R_O·i_O(t)=0V.

d) Rete valida per 1,9·T≤≤≤≤t<2·T. La rete da esaminare è mostrata in figura 3d in cui l’interruttore S è di nuovo aperto, il diodo D_O in stato di conduzione e la resistenza R_O percorsa dalla corrente i_O(t)=i_LO(t). In sostanza si riproducono le stesse condizioni circuitali esaminate in precedenza al

R_O +

+ + +

−

− EO V_O

(figura - 3c) L_O

DO

S

i_LO i_O

vLO

(10)

caso b) relativo all’intervallo di tempo 0,9·T≤≤≤≤t<T.

La tensione vO(t) ai morsetti della resistenza R_O è data dalla legge di Ohm, tenendo conto che resistenza ed induttanza sono percorse dalla stessa corrente; si deve, pertanto, concludere che V_O(t)=R_O i_O(t)=R_O·i_LO(t).

Si tratta di una tipica rete LR nella quale l’andamento nel tempo della corrente nell’induttore iLO(t)=iO(t), è di tipo esponenziale ed è definito dalla relazione caratteristica già utilizzata e che di seguito si riporta:

i

_Lo

( ) t = i

_Lo

( ) ∞ − [ i

_Lo

( ) ∞ − i

_Lo

( T

_o

)] ⋅ e

^{− −}⁽^{t To}⁾ ^τ

in cui, in questo caso, deve intendersi:

T

O

= 1,9·T = 19 µ µ µ µs, i

LO

(T

O

) = i

LO

(1,9T) = 180,95 mA

, mentre, ovviamente, è ancora:

ττττ = L

O

/R

O

= 10 µ µs. µ µ

Il valore della corrente iLO(∞∞∞) si determina asserendo che l’induttanza si sia completamente caricata ∞ e che, quindi, sia modellata da un corto circuito; stante la rete di figura 3d, di nuovo consegue che:

i

_Lo

( ) ∞ = ( E

_o

R

_o

) = ( 10 100 ) = 0 1 , = 100 mA

Per quanto attiene l’andamento temporale della corrente i_LO(t) nell’induttanza L_O si ottiene:

i

_Lo

t e e mA

t t

( ) [ , ] ,

( ) ( )

= − − ⋅ = + ⋅

− − ⋅ −

⋅ − − − ⋅ −

⋅ −

100 100 180 95 100 80 95

19 10 6 10 10 6

in particolare, si determina il valore della corrente all’istante t = 2·T in cui l’interruttore S si riporterà nello stato di chiusura ottenendo:

i T e e

e mA

Lo

T

( ) , ,

, , ,

( ) ( )

,

2 100 80 95 100 80 95

100 80 95 100 73 25 173 25

2 19 10 6 10 10 6

20 19 10 6 10 10 6 0 1

= + ⋅ = + ⋅ =

= + ⋅ = + =

− − ⋅ −

⋅ − − − ⋅ −

⋅ −

−

Nota la corrente iLO(t), l’evoluzione temporale della tensione v_O(t) ai capi della resistenza R_O sarà determinata dalla seguente scrittura:

v t R i t R i t e

e V

Lo o o o Lo t

t

( ) ( ) ( ) [ , ]

[ ]

( ) ( )

= = = ⋅ + ⋅

= −

− − ⋅ − − −

− − ⋅ − ⋅ −

100 100 80 95 10

10

19 10 6 10 5 3

19 10 6 10 10 6

Inoltre si verifica che:

v

_Lo

( 2 T ) = R i

_{o Lo}

( 2 T ) = 100 173 25 10 ⋅ , ⋅

⁻³

= 17 325 , [ ] V

R_O ++

++

−

− E_O VO

(figura - 3d) L_O

D_O S

i_LO i_O

v_LO

Nella figura a lato viene mostrata l’espansione del grafico della tensione vO(t) relativamente allo intervallo 0,9·T<t<T. Atteso che la costante di tempo ττττ è dieci volte più grande dell’intervallo in esame, l’andamento esponenziale di carica appare coincidere con una retta. La rete RL, pertanto, si comporta come un integratore.

Nella figura 3e e figura 3f vengono mostrati gli andamenti temporali della corrente iLO(t) nella induttanza L_O e della tensione v_O(t) ai morsetti della resistenza R_O. Quanto detto per la tensione vO(t), nell’intervallo 0,9·T<t<T, vale anche per la corrente i_LO(t). Similmente per 1,9·T<t<2·T.

(11)

(figura 3e – Evoluzione temporale della corrente iLO(t) nell’induttanza LO)

(figura 3f – Evoluzione temporale della tensione v_O(t) ai morsetti della resistenza R_O)