111() VEZEZZZZEZEZZZZZZZZZZZZZEZEZZZZZZZ =+++=⋅+⋅++=⋅+++ rrrrrrr [][]

SECONDA PROVA IN ITINERE −−−− 7 LUGLIO 2008

ESERCIZIO E.1.: Il circuito di figura 1 opera in regime sinusoidale. Si desidera determinare:

a) la tensione v_C(t) nel dominio del tempo; b) le potenze attiva, reattiva ed apparente erogate dal generatore di tensione e₁(t). Sono noti: e₁(t) = 1·cos(10·t) [V], e2(t) = √√√√2 cos(10·t + ππππ/4) [V], L = 1 H; R = 10 ΩΩΩ, C = 10 mF. Ω

Per ispezione diretta della rete, mostrata in figura 1, risulta particolarmente proficuo utilizzare il criterio risolutivo del principio di Millman, derivazione del principio dei “potenziali di nodo” nel caso di reti lineari costituite da più lati connessi tutti fra loro in parallelo. Infatti, la tensione richiesta vC(t) ai morsetti del condensatore C rappresenta l’unica tensione che risulta applicata ai tre lati facenti capo ai due nodi A e B della rete immagine di figura 1a, che trae la sua validità proprio nel dominio dei fasori.

Le due sorgenti e₁(t) ed e2(t) sono isofrequenziali e dai dati forniti dalla traccia si evince una pulsazione pari a ωωω = 10 rad/sec. Sono così validate le seguenti ω posizioni, in termini di reattanze:

Ω

−

− =

⋅ =

⋅

= −

= −

Ω

=

⋅

=

=

−

− 10

10 1 10

10 10

1 1

10 1 10

1

C 3

X

L X

C L

ω ω

I fasori associati alle sinusoidi afferenti le grandezze elettriche delle due sorgenti indipendenti di tensione ammettono la seguente scrittura complessa:

e t

₁

( ) = ⋅ 1 cos( 10 t ) = Re[ 1 ⋅ e

^j10⋅t

] = Re[ 1 ⋅ e

^j0°

e

^j10⋅t

] ⇒ E r

₁

= ⋅ 1 e

^j0°

= 1

[ ] [ ]

e t

₂

( ) = 2 ⋅ cos( 10 t + π 4 ) = Re 2 ⋅ e

^{j(10⋅ +t π 4)}

= Re 2 ⋅ e

^{jπ 4}

e

^j10⋅t

Pertanto, ne consegue la relazione che di seguito si esplicita:

r

E

₂

2 e

^{j 4}

2 j j j

4 4 2 2

2

2

2 1

= ⋅ = ⋅  +

  

  = ⋅  +

  

  = +

π

π π

cos sen ( )

Parimenti, le impedenze attinenti ai singoli lati della rete si esprimono, nel dominio dei fasori, con le seguenti scritture complesse:

Z jX j L j Z jX j

C j C j Z R

L

=

L

= =

C

=

C

= −

R

= = − = =

ω ¹⁰ ω ω

1 1

10 10

Atteso quanto premesso, l’applicazione del principio o teorema di Millman consente di relazionare come segue:

r

r r r r

r r

V

E Z

E Z

Z Z Z

E Z E Z

Z Z

Z Z Z Z Z Z Z Z Z

Z E Z E Z

Z Z Z Z Z Z

C L R

L C R

R L

L R

C R L R L C

L R C

C R L

C R L R L C

=

+

+ +

=

⋅ + ⋅

+ + = ⋅ +

+ +

1 2 1 2

1 2

1 1 1

( )

Sostituendo i valori calcolati in precedenza ed i dati forniti dalla traccia, si perviene alla scrittura che di seguito si esplicita:

(figura - 1) R

++++

−

−−

−

e

1

(t) e

2

(t)

v_C(t) C

L

++++

−

−−

−

(figura - 1a) R

++++

−

−−

−

E

1

E

2

V_C 1/jωωωCω

jωωωLω

++++

−

−−

−

r r r

V Z E Z E Z

Z Z Z Z Z Z

j j j

j j j j

j j

j j

j j

e

C C R L

C R L R L C

j

= ⋅ +

+ + = − ⋅ ⋅ + + ⋅

− ⋅ + ⋅ + − ⋅ =

= − ⋅ + −

− + + = − ⋅

= = = ⋅

^°

( ) [ ( ) ]

( )

[ ]

1 2

0

10 1 10 1 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

100 100 100

10 10 100

100

100 1 1

Ricordando la definizione di fasore e della relativa sinusoide a cui si associa consegue quanto viene di seguito relazionato:

[ ] [ ]

v

_C

( ) t = Re 1 ⋅ e

^j0°

e

^j10⋅t

= Re 1 ⋅ e

^{j(10⋅ + °t 0 )}

= ⋅ 1 cos( 10 t + ° = 0 ) cos( 10 t )

Il calcolo della tensione v_C(t) poteva, altresì, essere condotto facendo utilmente ricorso al principio di sovrapposizione degli effetti semplificato, inoltre, dalla isofrequenzialità delle sorgenti di tensione indipendenti. Infatti la somma dei contributi afferenti la vC(t) da parte delle sorgenti, singolarmente agenti nella rete lineare di figura 1a, può effettuarsi nel dominio dei fasori per essere poi trasformata nel dominio del tempo. Operiamo, pertanto, in tal senso.

a) Agisce il fasore E1 con il fasore E2 = 0. La rete da esaminare è quella mostrata in figura 1b.

Per ispezione diretta si evince l’utilità dell’applicazione della legge del partitore resistivio di tensione; è infatti immediata la validità della relazione seguente:

( )

( )

r r

V Z Z

Z Z Z E

C

C R

L C R

1

=

1

+

Ricordando che il calcolo dell’impedenza equivalente di due impedenze connesse in parallelo deve operarsi nell’ambito dei numeri complessi, si ottiene:

( )

Z Z Z Z Z

Z Z

R j C

R j C

R

j CR j

P C R C R

C R

= = ⋅

+ = ⋅

+ =

+ =

+ ⋅ ⋅

⁻

( )

( )

1

1 1

10

1 10 10 10

²

ω

ω ω

ovvero, svolgendo i necessari e dovuti calcoli:

Z

j j

j j

P

=

+ ⋅ ⋅ =

+ = ⋅ −

= ⋅ −

−

10 1 10 10 10

10 1

10 1

2 5 1

2

( )

( )

Il calcolo del fasore associato alla tensione del condensatore è determinato dalla scrittura:

( )

( )

r r

V Z Z

Z Z Z E i j

j j

i j

j j

i j j

i j j

j j

j j j j j

j

C

C R

L C R

1 1

2

5

10 5 1

5

10 5 5

5 5 1 1

1 1

1

1 1

1 2 1

2

2 2

= + = ⋅ −

+ ⋅ − = ⋅ −

+ − = ⋅ −

⋅ + =

= − ⋅ −

+ ⋅ − = − − +

+ = − − = − = −

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

b) Agisce il fasore E2 con il fasore E₁ = 0. La rete da esaminare è quella evidenziata in figura 1c.

Per ispezione diretta si evince l’utilità dell’applicazione della legge del partitore resistivio di tensione; è infatti immediata la validità della relazione seguente:

( )

( )

r r

V Z Z

R Z Z E

C

C L C L

2

=

2

1

+ ⋅ ( )

Ricordando che il calcolo dell’impedenza equivalente (figura - 1b)

E

1 R

V_C1 1/jωωωCω

jωωωLω

++++

−

−−

−

E

2

(figura - 1c) R V_C2 1/jωωωCω

jωωωωL

++++

−

−−

−

di due impedenze non simili connesse in parallelo fa obbligo di ricorrere all’utilizzo dei numeri complessi, si ottiene:

( )

Z Z Z Z Z

Z Z

jX jX

jX jX

j j

j j

P C L C L

C L

L C

L C

2

10 10

10 10

100

= = ⋅ 0

+ = ⋅

+ = ⋅ −

− = = ∞

( )

Si evince, pertanto, che si è in situazione di risonanza di tipo parallelo; ciò comporta che l’impedenza equivalente Z_P2 si conforma come il bipolo circuito aperto. Ne consegue che il generatore E2 eroga una corrente nulla, parimenti nulla appare la tensione ai morsetti della resistenza R, il che comporta che VC2 = E₂ = (1+j). Quanto asserito può trovare una matematica conferma osservando la relazione (1) che può riscriversi nella forma seguente:

( )

( )

r r r r

V Z Z

R Z Z E Z

R Z E

R Z E

C

C L

C L

P

P P

2 2 2

2 2

2

2

1

= 1

+ ⋅ =

+ ⋅ =

+ ⋅

( )

che studiata al limite espresso dalla condizione di risonanza Z_P2 →→→→ ∞∞∞∞, consente di concludere così come di seguito esplicitato:

r r r r

V

_C

R Z E E E j

Z P P

2

2 2

2 2 2

1 1

1

1 0 1

=  + ⋅

  

  = + ⋅ = = +

lim

→ ∞

( ) ( )

Il principio di sovrapposizione degli effetti, attesa l’isofrequenzialità delle sorgenti indipendenti, consente di operare nel dominio dei fasori esplicitando la relazione seguente:

r r r

V

_C

= V

_C

+ V

_C

= − + j + j = = ⋅ e

^{j °}

1 2

1 1 1

0

( )

a cui corrisponde, nel dominio del tempo, la scrittura seguente:

[ ] [ ]

v

_C

( ) t = Re 1 ⋅ e

^j0°

e

^j10⋅t

= Re 1 ⋅ e

^{j(10⋅ + °t 0 )}

= ⋅ 1 cos( 10 t + ° = 0 ) cos( 10 t )

in stretta conformità a quanto già ricavato mediante il principio di Millman.

Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di sinistra della rete di figura 1d, si ha:

r r r E

₁

− V

_C

= jX I

_{L L} , ovvero:

r r r

r

I E V

jX j I A

L C

L

= −

L

= −

= =

1

1 1

10 0 0

La potenza erogata dal generatore E₁ è espressa dalla relazione costitutiva della potenza apparente; si ha:

A

_E

E I

_L

P

_E

jQ

_E

1 1 1 1

1

2 0

= r ⋅ r = + =

* Il risultato conseguito si esplicita nelle scritture seguenti:

A

_E

VA P

_E

W Q

_E

VAR

_I

1

= 0

1

= 0

1

= 0

Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di destra della rete di figura 1d, si ha

r r r r r r

E V RI I E V

R

j j

C R R C

2 2

1 1

10 0 1

− = ⇒ = −

= + −

= ,

La potenza erogata dal generatore E₂ è espressa dalla relazione costitutiva, ottenendo così:

A

_E2

1 E

₂

I

_R

j j j P

_E2

jQ

_E2

2

1

2 1 0 1 0 05 0 05

= r ⋅ r = + − = − = +

*

( )( , ) , ,

Il risultato conseguito si esplicita nelle scritture seguenti:

C E

E

E mVA P mW Q mVAR

A 50 2 50 50

2 2

2

= = = −

(figura - 1d) R

++++

−

−−

−

E

1

E

2

V_C 1/jωωωCω

jωωωLω

++++

−

−−

−

I_L I_R

ESERCIZIO E.2.: Nel circuito di figura 2 l’interruttore S si trova nella posizione A da molto tempo. All’istante t_O = 0 s l’interruttore commuta in posizione B. Si desidera determinare analiticamente la tensione v_C(t) e la corrente i_C(t) per t > 0 e se ne tracci il grafico. Si determini il lavoro elettrico assorbito dal condensatore nell’intervallo di tempo che va da t = 0 a t →→→→∞∞∞∞.

Sono assegnati: C = 1 µµµµF, R = 1 ΩΩΩΩ, ββββ = 999;E = 10 V.

Si tratta di determinare le caratteristiche del transitorio tramite il quale l’elemento reattivo conservativo condensatore C evolve da uno stato di equilibrio ad un altro, in conseguenza delle modificazioni della struttura della rete di appartenenza, ottenute tramite commutazione di appositi interruttori. In tale ambito si ricorda che la tensione alle armature del condensatore è una variabile di stato e, quindi, una funzione temporalmente continua.

L’andamento temporale della tensione

v

C

(t)

ai morsetti del condensatore per ogni

t ≥≥≥≥ t

O è espresso dall’integrale particolare dell’equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti costanti associata alla rete di figura 2, a partire da t ≥≥≥≥ t_O, e che di seguito si riporta:

τ )

)] (

( )

( [ ) ( )

( _{c c c o} ^{t t o}

c t v v v t e

v = ∞ − ∞ − ⋅ ^{− −}

Pertanto, l’andamento temporale di v_C(t) è noto allorché sono calcolati i tre parametri: vC(t_O), v_C(∞∞∞∞) e ττττ. Data la continuità della variabile di stato vC(t) e posto t_O = 0, resta ovvia la posizione seguente:

v

_c

( 0 − = ) v

_c

( 0 + = ) v

_c

( ) 0

ovvero nell’istante in cui l’interruttore passa dalla posizione A alla posizione B la tensione vC(t) ai morsetti del condensatore non cambia il proprio valore. Il calcolo della v_C(0−−−−) va, pertanto, svolto considerando la rete di figura 2a, nella quale il condensatore è modellato da un circuito aperto in quanto già completamente caricato. Ciò, infatti, definisce l’interpretazione fisica della specificazione l’interruttore S è nella posizione A da molto tempo. La rete di figura 2a evidenzia, per ispezione diretta, che è nulla la corrente I_X(0-) che pilota il generatore dipendente di corrente ββββI_X(0-), nonché la corrente iC(0-) del condensatore. Poiché lo interruttore S è da molto tempo nella posizione A, certamente da un tempo maggiore del tempo di assestamento Ta =5ττττ, dovrà porsi vC(0-)=0V. Si giunge alla definizione delle condizioni seguenti:

i

_C

( 0 − = ) 0 A I

_X

( 0 − = ) 0 A v

_C

( 0 − = ) 0 V

All’istante t=t_O=0 secondi l’interruttore S si porta nella posizione B ed ivi rimane definitivamente.

Dopo molto tempo, certamente dopo un tempo superiore al tempo di assestamento, che attesta la fine del transitorio, il condensatore, attesa la stabilità della rete, conseguirà un nuovo stato di regime che sarà caratterizzato da una nuova tensione ai suoi morsetti, imposta dalla modificata struttura della nuova rete di appartenenza, mostrata anche in figura 2b. La rete valida per le considerazioni che afferiscono all’istante t →→→→ ∞∞∞∞ è mostrata in figura 2b nella quale il condensatore viene modellato dal bipolo circuito aperto; per ispezione diretta si evince che iC(∞∞∞∞)=0A ed inoltre che iX(∞∞∞∞)=0A.

Pertanto, essendo nullo il comando i_X(∞∞∞∞) anche l’associato generatore dipendente di corrente βββ

β·i_X(∞∞∞), pilotato dalla corrente i∞ _X(∞∞∞), si dovrà considerare spento. Si ottiene, quindi, l’equivalente ∞ rete di figura 2c, dalla quale si evince che:

v

_C

( ) ∞ = E = 10 V

I_X

(figura - 2) R

+++ +

−−−

− E

t_O = 0 S

v_C(t)

R C

iC(t) β

ββ βI_X(t)

B

A

I_X(0-)

(figura 2a: rete valida a t = 0-) R

+ ++

+

−

−−

− E

t = 0- S

v_C(0-) R

i_C(0-) β

ββ βIX(0-)

B

A

Resta così da determinare la costante di tempo ττττ = C·RTH in cui RTH rappresenta la resistenza equivalente Thévenin sentita dal condensatore C, attesa la necessità di valutare l’effetto dovuto al generatore pilotato ββββIX. Il circuito da considerare è quello mostrato nella figura 2d. Dall’ispezione

diretta del circuito, si evince, immediatamente, l’identità ITX = IX. L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αααα consente di relazionare come segue:

I

_X

+ β I

_X

= I ⇒ ( 1 + β ) I

_X

= I

ovvero:

I = ( 1 + β ) I

_TX

La legge di Ohm applicata alla resistenza R, che è appunto percorsa dalla corrente I, fornisce::

V

_TX

= RI = ⋅ + R ( 1 β ) I

_TX

Ricordando la definizione di Resistenza equivalente R_TH di Thévenin si perviene alla scrittura:

R V

I

R I

I R K

TH TX

TX E

TX TX

= = ⋅ +

= + = + ⋅ = =

=0

1 1 1 999 1 1000 1

( )

( ) ( )

β β Ω Ω

Ne consegue che la costante di tempo ττττ è fornita dalla relazione di seguito riportata:

τ = R

_TH

C = ( 1 + β ) RC = ⋅ 1 10

³

⋅ ⋅ 1 10

⁻⁶

= 1000 10 ⋅

⁻⁶

= 10

⁻³

s = 1 ms

Si è ora in grado di determinare compiutamente la funzione temporale v_C(t) per ogni t ≥≥≥≥ tO; infatti, considerato, come indicato dalla traccia, che tO = 0 si ottiene:

v t v v v t e v v v e

e e V

c c c c o

to t

c c c

t

t t

( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )]

( ) [ ]

= ∞ − ∞ − ⋅ = ∞ − ∞ − ⋅ =

= − − ⋅ = − ⋅

− −

− − − ⋅

τ

0

τ

10 10 0

^{10 3}

10 10

¹⁰⁰⁰

Più sinteticamente si riporta la relazione conclusiva:

( )

v t

_c

( ) = 10 1 ⋅ − e

^−1000⋅t

[ ] V

Per quanto attiene alla corrente iC(t), per t >>>> 0, la relazione costitutiva del condensatore consente la seguente posizione:

τ

τ

t

t C TH

c c

C c

e i e

R v v

dt t C dv t

i ∞ − ⋅

⁻

=

⁺

⋅

⁻

=

= ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 )

) (

ovvero, operando le necessarie sostituzioni e semplificazioni:

i t v v

R e e e A

C c c

TH

t t t

( ) ( ) ( )

= ∞ − [ ]

⋅ = −

⋅ = ⋅

− − − − − ⋅

0 10 0

1000

^{10 3}

10 10

^{3 1000}

τ I_X(∞∞∞∞)

(figura 2b: rete valida per t →→→→ ∞∞∞∞) R

+ ++

+

−

−−

− E

t →→→ ∞→∞∞∞ S

v_C(∞∞∞∞) R

i_C(∞∞∞∞) β

ββ βIX(∞∞∞∞)

B

A

I_X(∞∞∞∞)=0

(figura 2c: rete valida per t →→→ ∞→∞∞∞) R

+ ++

+

−

−−

− E

S

v_C(∞∞∞∞) R

i_C(∞∞∞∞) B

A

V_TX I_X

(figura 2d: rete per il calcolo di R_TH) R

+ ++

+

−

−−

− S

R

I_TX

β ββ βIX

B

A

I

αα αα

Più sinteticamente si riporta la relazione conclusiva:

i

_C

( ) t = 10 ⋅ e

^−1000⋅t

[ mA ]

OSSERVAZIONE Come verifica del risultato ottenuto in relazione all’andamento temporale della corrente iC(t) nel condensatore, per ogni t ≥≥≥≥ 0, calcoliamo il valore della corrente iC(0+) allo istante t = 0+. In tale ambito, la rete da esaminare viene mostrata in figura 2e in cui il condensatore viene rappresentato con una tensione ai suoi morsetti definita da: v_C(0+) = v_C(0-) = v_C(0) = 0 V.

Per ispezione diretta della rete si evince che:

i

_C

( 0

⁺

) = − I

_X

( 0

⁺

) ( ) 2

Si applica la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo ααα ottenendo la seguente relazione: α

I

_X

( 0

⁺

) + β I

_X

( 0

⁺

) = I

, ovvero:

I = ( 1 + β ) ⋅ I

_X

( 0

⁺

)

da cui, ricordando la relazione (2), si ottiene:

I = − + ( 1 β ) ⋅ i

_C

( 0

⁺

)

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni applicata all’unica maglia possibile consente di relazionare come segue:

E − v

_C

( 0

⁺

) = − RI ⇒ E − v

_C

( ) 0 = − ⋅ − + R [ ( 1 β ) ⋅ i

_C

( 0

⁺

)]

Si perviene, pertanto, alla relazione conclusiva che di seguito si esplicita:

E v R i i E v

R

E v

C C C C

R

C

TH

− = ⋅ + ⋅ ⇒ = −

⋅ + = −

+ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 1 0 0 0 ( )

1 β 0

β

Ricordando, altresì, la relazione precedentemente ottenuta: vC(∞∞∞∞) = E, si conclude come segue:

i E v

R

v v

R mA

C C

TH

C C

TH

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 10 0

1 10

₃

10 10

³

10

+

= −

−

= ∞ −

= −

⋅ = ⋅ =

I grafici che riportano l’andamento temporale della tensione v_C(t) e della corrente iC(t) ai morsetti del condensatore sono riportati, alla fine della trattazione, rispettivamente in figura A e in figura B.

Tali grafici evidenziano, altresì, l’interpretazione geometrica della costante di tempo ττττ nonché le condizioni di regime con l’interruttore S sia nella posizione A, sia nella posizione B.

ESERCIZIO E.3.: Del doppio bipolo in figura 3, nell’ipotesi di operazionale ideale, si dica se esistono le due rappresentazioni a parametri R e G; in caso affermativo, si calcolino i valori.

Si chiede, sostanzialmente, di trovare, se esiste, il doppio bipolo equivalente a quello assegnato, modellato mediante i parametri R, precipui della formulazione controllata in corrente, nonché dei parametri G tipici della formulazione controllata in tensione. Nell’ambito della R-rappresentazione le grandezze indipendenti sono le correnti I₁ e I₂, rispettivamente alla porta di ingresso ed alla porta di uscita, mentre le grandezze dipendenti sono le tensioni V1 e V2 alle corrispondenti porte.

Nel contesto della G−−−−rappresentazione, le grandezze indipendenti risultano le tensioni V₁ e V₂, rispettivamente, alla porta d’ingresso ed alla porta d’uscita, mentre le grandezze dipendenti sono, di conseguenza, le due correnti I₁ e I₂,rispettivamente, alla porta d’ingresso ed alla porta d’uscita.

I_X(0+)

(figura 2e: rete valida per t = 0+) R

+ ++

+

−

−−

− E

t = 0+

S

v_C(0+) R

i_C(0+) β

ββ βIX(0+)

B

A

C α

α α α I

R_C

(figura - 3) R_B R_A

I2

V₂ V₁

I₁

−

−−

− +++

+

Quanto affermato, in riferimento alla rappresentazione a parametri R, trova una rappresentazione circuitale adeguata mostrata in figura 3a, in cui sono evidenziate le sorgenti indipendenti esterne di corrente. Il modello matematico del doppio bipolo equivalente a parametri R ammette la seguente rappresentazione analitica:

Q V R I R I

V R I R I

R

:

^{1 11 1 12 2}

2 21 1 22 2

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

 



Attesa l’idealità dell’operazionale asserita dalla traccia e constatata la presenza della resistenza RB che collega l’uscita dello operazionale con l’ingresso invertente e che, per tanto, realizza il fenomeno della reazione negativa, attivando il principio di traslazione del potenziale, si possono formulare le seguenti posizioni:

I

⁺

= I

⁻

= 0 A V

_D

= ( V

⁺

− V

⁻

) = 0 V ⇒ V

⁺

= V

⁻

= 0 V

Per ispezione diretta della rete di figura 3a si evince, con immediatezza, che la tensione V1 posta ai morsetti del generatore indipendente di corrente I₁ è applicata anche, per il già citato principio di traslazione del potenziale, ai morsetti della resistenza RA e che, per la legge di Ohm, il tutto si traduce nella relazione seguente:

V

₁

+ R I

_{A 1}

Inoltre, atteso che I⁺=I⁻⁻⁻⁻=0A, la legge di Kirchhoff delle correnti applicata al morsetto invertente dell’operazionale consente di concludere quanto segue:

I

₁

= I

_B

+ I

⁻

⇒ I

_B

= I

₁

− I

⁻

= I

₁

− = 0 I

₁

Ciò premesso, osservando altresì, sempre per il principio di traslazione del potenziale, che la tensione V₂ ai morsetti del generatore indipendente di corrente I₂ è applicata ai morsetti della resistenza RB, e ciò indipendentemente dalla presenza della resistenza RC, sempre dall’applicazione della legge di Ohm si ottiene la formulazione seguente:

V

₂

= − R I

_{B B}

= − R I

_{B 1}

Il modello a parametri R di pertinenza del doppio bipolo di figura 3, è riconducibile alla forma:

Q V R I

V R I Q V R I I

V R I I R R

R A

R

B R A

B

A B

:

^{1 1}

:

2 1

1 1 2

2 1 2

0 0

0 0

= ⋅

= − ⋅

 

 ⇒ = + ⋅ + ⋅

= − ⋅ + ⋅

 

 ⇒ =

−



  

 

La matrice della rappresentazione R è singolare, infatti il suo determinante è nullo; pertanto, essa NON È INVERTIBILE, da cui consegue che NON ESISTE la matrice G; ovvero NON sussiste, per la struttura circuitale mostrata nella figura 3, la formulazione controllata in tensione.

(figura - 3a) I₁

R_C R_B R_A

V₁

−

−−

− + ++

+

I₂ V₂ I⁺

I⁻⁻⁻⁻ V_D

I_B

(figura A – Evoluzione della tensione v_C(t) ai morsetti del condensatore per t > 0)

(figura B – Evoluzione della corrente i_C(t) del condensatore per t > 0)