5. Esercizi di Geometria
(Semestre Invernale 2018) Dr. Matteo Penegini
Esercizio 1. Si consideri R3 con la topologia euclidea e con coordinate cartesiane x, y, z. Ricavare le equazioni parametriche di un toro T ⊂ R3 come superficie di rotazione di una circonferenza intorno all’asse z. Infine ricavare l’equazione cartesiana di T .
Dimostrare che il toro cos`ı ottenuto `e omeomorfo allo spazio quoziente ottenuto considerando I2 ⊂ R2 (con topologia indotta dalla topologia euclidea) con i lati identificati come in figura.
V
V V
V a
b
a
b
Inoltre si consideri il prodotto topologico S1× S1 con la topologia porodotto ( S1 lo intendiamo con la topologia indotta dalla topologia euclidea di R2). Dimostrare che S1× S1 `e anch’esso omeomorfo a T .
Esercizio 2. Sia X uno spazio topologico, sia Y un insieme. Sia f : X −→ Y un?applicazione suriettiva. Sia τf la topologia quoziente su Y . Dimostrare che
C ⊂ Y
`
e chiuso per τf se e solo se f−1(C) `e chiuso in X.
Esercizio 3. Sia (X, τ ) uno spazio topologico dimostrare che l’iniseme degli omeomorfismi da X in se stesso `e un gruppo con operazione la composizione.
Esercizio 4. Dimostrare che la contrazione a un punto di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X −→ X/S `e chiusa/aperta se S `e chiuso/aperto in X.
Fare dei controesempi all’implicazione inversa.
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