4. Esercizi di Geometria
(Semestre Invernale 2018) Dr. Matteo Penegini
Esercizio 1. Diciamo che un’ applicazione f : (X1, τ1) → (X2, τ2) `e continua in x0 ∈ X1 se per ogni V intorno di f (x0) esiste un intorno U di x0 tale che f (U ) ⊂ V . Dimostrare che sono equivalenti le seguenti affermazioni:
(1) f `e continua.
(2) f `e continua in ogni punto di X1. (3) Per ogni A ⊂ X1, f (A) ⊂ f (A).
(4) Per ogni B ⊂ X2, f−1(B) ⊂ f−1(B).
Esercizio 2. Sia R dotato della topologia euclidea.
(1) Dimostrare che la topologia prodotto in R×R `e equivalente alla topologia euclidea su R2.
(2) dimostrare che l’intervallo (0, 1) ⊂ R con la topologia indotta `e omeo- morfo a R.
Esercizio 3. Il grafico Γ di una funzione f : X −→ Y tra spazi topologici `e definito come l’insieme dei punti di X × Y della forma (x, f (x)) con x ∈ X.
Dimostrare che se f `e una funzione continua allora Γ con la topologia indotta dalla topologia prodotto `e omeomorfo a X.
Esercizio 4. Sia (X, d) uno spazio metrico. Mostrare che l’applicazione d : X × X −→ R `e continua rispetto alla topologia prodotto. (Su R consideriamo la topologia euclidea).
Esercizio 5. [Per approfondire] Siano f : X −→ Y e g : Z −→ W due appli- cazioni di spazi topologici e denotiamo
f × g : X × Z −→ Y × W, (f × g)(x, z) = (f (x), g(z)).
Dotiamo X × Z e Y × W della topologia prodotto.
(1) Provare che se f e g sono continue, allora f × g `e continua.
(2) Provare che se f e g sono aperte, allora f × g `e aperta.
(3) Mostrare con un esempio che, se f e g sono chiuse, allora f × g pu`o non essere chiusa.
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