Esempio 7.11 Cilindro che rotola e solleva un corpo

(1)

6.25 (6.29 VI ed) vedi dispense cap3-mazzoldi-dinamica-part2 Due blocchi sono come in figura con m=16 kg, M=88 kg e con coeff. d’attrito statico tra i due blocchi pari a µs = 0.38. La superficie su cui poggia M è priva d’attrito. Qual’è la minima intensità di F necessaria a tenere m contro

M?

La forza d’attrito coinvolta `e quella tra i due blocchi occorre quindi visualizzare la reazione normale al piano di contatto Il diagramma delle

forge agenti su m `e :

m

mg

F ^s N

f

Nella situazione di massimo attrito si ha quindi:

x : +F − N = ma y : +µ_sN − mg = 0 Per cui si ottiene µ_sN = mg ⇒ N = ^mg_µ

s Sul blocco M invece agisce solo N (sull’asse x e non vi sono forze attrito su x): N = Ma ⇒ ^mg_µ

s = Ma quindi

otteniamo a = _Mµ^mg_s da cui sostituendo nella prima eq. si ha F − N = ma ⇒ F −^mg_µ_s = m_Mµ^mg_s F_min= ^mg_µ

s + ^m_Mµ²^g

s = ^mg_µ

s (1 +_M^m) =488 N

Esercizio 6.19 (VI-ed) -vedi dispense cap3-mazzoldi-dinamica-part2 Il corpo A in figura pesa 102 N, mentre B pesa 32 N.b I coefficienti di attrito tra A e il piano inclinato sono µ_s = 0.56 e µ_d = 0.25. L’angolo θ = 40^◦. Trovare l’accelerazione a del sistema quando a) A `e inizialmente fermo; b) A in moto in salita; c) A in moto in discesa.

(2)

Diagramma delle forze: A

T

P fs

La forza d’attrito deve essere statica all’inizio e ha un verso tale da opporsi al moto Nella situazione di massimo attrito si ha quindi (con a=0):

x : +T + µsN − MAg sin θ = MAa y : +N − Mag cos θ = 0

Per cui si ottiene T + µsM_Ag cos θ − M_Ag sin θ = M_Aa Dal corpo B otteniamo T − M_Bg = −M_Ba (in segno perchè i versi dei due sistemi sono discordi) Risolvendo si ottienea = ^(M^B^+µ^S^M_MÂ^{cos θ−M}Â^{sin θ)g}

A+MB Ma il risultato se vedete viene a > 0 cosa che non può essere perchè l’attrito diventerebbe motore. Pertanto l’attrito statico non sarà massimo ma tale da elidere le altre forze ⇒a = 0 b) Il blocco viene spinto in alto quindi l’attrito è dinamico e direzione verso il basso:

+T − µdMAg cos θ − MAg sin θ = MAa T = MBg − MBa ⇒ a = (MB−MAµ_dcos θ − MAsin θ)g

M_A+ M_B a=-3.9 m/s² c)a=-1.0 m/s²

Esempio 7.11 Cilindro che rotola e solleva un corpo

M

m1

m2

Siano m₁ = 20kg m₂ = 10kg la carrucola di massa

(3)

trascurabile, il cilindro di raggio r=0.25m, il momento M=30Nm. Calcolare a, T ed il minimo valore di coeff. di attrito

I segreti del rocchetto (vedi esempio sperimentale) Un rocchetto di raggio interno R1 ed ester-

no R₂è disposto come in figura su un piano orizzontale. Viene tirato tramite una forza applicata al suo raggio interno R1, forza che è inclinata di θ rispetto l’orizzonte. Sa- pendo che il rocchetto rotola e che il suo momento di inerzia è I, la sua massa M, determinare l’equazione del suo moto (a,α).

Esercizio 2 del 16/7/2012

Un cilindro omogeneo di massa m e raggi R=10cm, trasla su una superficie orizz. senza attrito, con velocit`a v₀ = 4.9m/s diretta ortogonalmente l’asse del cilindro. Ad un certo momento entra in contatto con un tratto di superficie scabra (µd= 0.3). Si determini:

• l’istante t^∗, a partire dal momento in cui il cilindro entra in contatto con la superficie scabra, in cui il cilindro inizia a rotolare;

• la velocit`a angolare ω^∗ con cui il cilindro procede dopo l’istante t^∗

Un cilindro pieno di raggi R=30cm e massa m=20kg viene fatto salire lungo un piano inclinato di angolo θ = 20^◦ rispetto l’orizzontale. Il cilindro `e tirato da una forza F applicata al CM costante e orizzontale. Determinare:

a) il minimo valore di F sufficiente a far salire il cilindro con moto di puro rotolamento;

b) il minimo valore di coefficiente di attrito statico affinch`e il moto sia di puro rotolamento;

c) l’accelerazione del CM se l’intensit`a della forza `e pari a F = 2Fmin e il cilindro sale rotolando.

Problema

(4)

Ad un cilindro di raggio R e massa M posto su un piano inclinato di 30^◦ `e applicata una forza F a distanza r sopra il centro del cilindro e parallela al piano inclinato. Sapendo che il cilindro `e in equilibrio, determinare il minimo valore del coefficiente di attrito per l’equilibrio e la forza necessaria.

e quindi si deve avere M/g/sin θ

1 +_R^r r

R ≤µsM/g/cos θ ⇒ µs≥ tan θ 1 +^R_r

Un corpo puntiforme di massa m/4 `e appoggiato, con attrito trascurabile, sulla guida radiale ideale di un disco sottile, omogeneo e rigido, di raggio R e massa m.

Il corpo `e attaccato al centro del disco tramite una molla ideale, di lunghezza a riposo R/2, costante elastica k e massa trascurabile. Il sistema `e inizialmente in quiete sul piano orizzontale. Ad un certo istante una coppia

di forze, di modulo costante pari a F, `e applicata al sistema come mostrato in figura, per il tempo sufficiente a fargli raggiungere la velocit`a angolare di modulo ωf = km. Calcolare, assumendo m=2 kg, R=0.4 m, F=3 N:

a) il momento d’inerzia iniziale del sistema, rispetto a un asse verticale passante per il centro del disco;

b) l’accelerazione angolare α del sistema generata dalla applicazione della coppia;

c) l’allungamento finale ∆l della molla, a regime, quando il sistema ruota alla velocit`a angolare finale

Esercizio 2 del 17 ottobre 2012

Un sistema rigido è costituito da una sbarra omogenea, di massa M=800 g e lunghezza L=32 cm, la cui estremità è saldata ortogonalmente all’asse

(5)

di un disco di raggio R=10 cm e uguale massa M. Il sistema pu`o ruotare nel piano verticale, senza attrito, attorno all’asse del disco, parallelo al piano orizzontale, ma `e inizialmente tenuto in equilibrio mediante un corpo di massa m=1 kg appeso all’estremo libero di una fune ideale ancorata al bordo del disco. 1. Determinare la posizione di equilibrio del sistema, cal- colando l’angolo θ che l’asta forma con la verticale. Ad un certo istante, un altro corpo di massa 2m viene agganciato all’estremo libero della fune. 2.

Determinare la velocit`a angolare con cui sta ruotando il sistema nell’istante in cui l’asta `e disposta verticalmente sopra l’asse del disco.

Un cilindro di massa M=2 kg e raggio R=30 cm `e vincolato a ruotare intorno ad un asse orizzontale passante per il centro. Ad un certo istante un proiettile di massa m=0.8 kg viene sparato con velocit`a v=3.5 m/s e si conficca nel cilindro, fer- mandosi all’interno del cilindro ad una distanza

h=20 cm dal centro del cilindro. Sapendo che immediatamente dopo l’urto il proiettile si ferma esattamente sulla verticale dell’asse di rotazione, determinare la velocit`a angolare dopo l’urto e di quanto ruota il cilindro prima di fermarsi.

Un pendolo disposto come in figura è costitui- to da un’asta rigida di massa trascurabile, lunga L=1.5m, a cui è appea una massa M=2.2kg. Al pendolo a distanza h=0.8m dal punto di sopsen- sione è attaccata una molla di costante elastica k=250N/m, che non è allungata quando l’asta è verticale. Spostando dalla posizione di equilibrio

il pendolo esso comicia ad oscillare. Nell’approssimazione di piccoli angoli (cos θ = 1, sin θ = θ) determinare il periodo di oscillazione.

Un sistema meccanico `e costituito da un disco rigido omogeneo di massa m=3.7kg e raggio r=0.48m e da una ruota assimilabile ad un anello omogeneo di massa m e raggio r. Il disco e la ruota sono vincolati a ruotare senza strisciare su un piano inclinato di 20^◦rispetto l’orizzontale e sono tra loro

(6)

uniti da un filo ideale che connette i loro centri. La ruota si trova pi`u in alto del disco (vedi figura). Alla ruota `e applicata tangenzialmente e per- pendicolarmente verso il piano una forza F, tale da mantenere in equilibrio il sistema. Calcolare F e la tensione del filo che unisce i due corpi. Ad un certo momento si elimina la forza F, il sistema inizia a rotolare partendo da fermo e la fune rimane in tensione. Determinare la tensione del filo e l’accelerazione del CM.