Se si effettuano n misurazioni di una grandezza fisica la loro distribuzione è approssimata da una normale il cui valore atteso μ è considerato il valore "vero&#34

Lezione 19

DISTRIBUZIONE NORMALE O DI GAUSS O DEGLI ERRORI ACCIDENTALI

In più importante modello probabilistico per variabili casuali continue è il modello normale.

In natura esistono numerosi fenomeni quantitativi che tendono a distribuirsi in modo normale. Qui di seguito si danno alcuni esempi

- In biologia: altezza, peso, apertura alare, circonferenza toracica, diametro delle cellule.

- In fisica: nella “Teoria degli errori di misura” si suppone che ogni grandezza fisica abbia una misura "vera", non determinabile con precisione perché tutte le misurazioni sono soggette a errori casuali. Se si effettuano n misurazioni di una grandezza fisica la loro distribuzione è approssimata da una normale il cui valore atteso μ è considerato il valore

"vero" ignoto. La media aritmetica dei risultati ottenuti è considerata, quindi, la stima più attendibile per la misura "vera".

In statistica la distribuzione normale è essenziale nelle diverse formulazioni del cosiddetto teorema limite fondamentale (o teorema limite centrale) che dimostra come la somma (o la media) di un numero elevato di n variabili casuali i.i.d. tende distribuirsi in modo normale, indipendentemente dalla distribuzione delle singole variabili. Consente quindi di ottenere la distribuzione della somma (o della media) di n variabile casuale variabili casuali i.i.d. di distribuzione ignota quando n è elevato.

La funzione di densità di probabilità di una variabile X che si distribuisce in modo normale è

𝑓(𝑥) = 1

√2𝜋𝜎𝑒^{−12(𝑥−𝜇𝜎 )}

2

− ∞ < 𝑥 < +∞; −∞ < 𝜇 < +∞; 𝜎² ≥ 0

in cui compaiono due parametri:

𝜇 corrisponde alla moda, alla mediana e al valore atteso della X 𝜎² corrisponde alla varianza di X

In maniera sintetica, la notazione usata per indicare che una variabile casuale X si distribuisce in modo normale è la seguente

X ~ N(𝜇, 𝜎²)

Le caratteristiche fondamentali di questa distribuzione sono:

- ha una forma campanulare

- è simmetrica intorno a  (l’indice di asimmetria 𝑎₃ è pari a zero)

- l’indice di curtosi 𝑎₄ è sempre pari a 3, per qualunque valore dei parametri

 e ^

- i valori delle ordinate della funzione diminuiscono rapidamente all’aumentare della distanza da 

- il campo di variazione della variabile coincide con tutto l’asse reale - i punti di flesso si hanno in corrispondenza di  ± .

Nella figura seguente sono riportati i grafici di alcune normali per diversi valori dei parametri che le caratterizzano

Come si nota dal grafico, a variazioni del parametro , che corrisponde alla moda, alla mediana e al valore atteso della distribuzione, corrisponde uno slittamento della funzione sull’asse delle ascisse, mentre il parametro ^, che corrisponde alla varianza, determina l’addensamento dei valori intorno a : al crescere di ^ i valori della variabile sono via via meno concentrati intorno a , per cui la curva è più appiattita sull’asse delle ascisse.

La figura seguente riporta i grafici delle funzioni di ripartizione delle variabili normali considerate nella figura precedente

ma va detto che la funzione di ripartizione del modello normale, di solito indicata mediante la lettera greca Φ (che si legge “fi”), non ha una forma esplicita, per cui non è possibile calcolarla tramite l’integrale della funzione di densità.

Tuttavia, considerata una variabile X ~ N(𝜇_𝑥, 𝜎_𝑥²), i valori della Φ(𝑥) si ottengono facilmente dai valori della funzione di ripartizione Φ(𝑧) della variabile

𝑍 = 𝑋 − 𝜇_𝑥 𝜎_𝑥

che ha ancora una distribuzione normale in cui i parametri, sulla base delle proprietà delle trasformazioni lineari, sono 𝜇 = 0 e 𝜎² = 1, per cui

Z ~ N(0, 1)

La variabile Z è detta variabile normale standardizzata.

Prima di passare a descrivere il modo in cui è possibile ottenere i valori della Φ(𝑥) è però necessario capire come si usa la Tavola A, che riporta i valori della Φ(𝑧).

USO DELLA TAVOLA A (FUNZIONE DI RIPARTIZIONE DELLA NORMALE STANDARD)

Nella Tavola A sono elencati sulla prima colonna alcuni valori z di Z con una cifra decimale, mentre la seconda cifra decimale di z compare sulla prima riga della tabella. Nel riquadro interno della tabella, all’incrocio fra i valori riportati sulla prima colonna e sulla prima riga, è indicato il valore della Φ(𝑧), ossia la probabilità

Φ(𝑧) = 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧)

Nella pagina successiva è riportato uno stralcio della Tabella A.

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141 0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517 0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879 0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224 0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549 0.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852 0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133 0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389 1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621 1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830 1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015 1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177 1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .9319 1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441 1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545 1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633 1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706 1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767

Considerato, per esempio, il valore z = 0.34 evidenziato in giallo nella tavola, il valore della funzione di ripartizione corrispondente, sempre evidenziato in giallo, risulta pari a 0.6331. Questo valore indica la probabilità che una variabile casuale Z ~ N(0, 1) assuma un valore inferiore a 0.34, ossia

P(Z ≤ 0.34) = 0.6331

La tavola A considera solo valori di z > 0 dato che, a causa della simmetria della distribuzione intorno allo 0, risulta

Φ(−𝑧) = 1 − Φ(𝑧)

Questa relazione si vede bene dalla rappresentazione grafica seguente, in cui sono state colorate le due aree di probabilità isolate a sinistra di −z e a destra di +z

La tavola A può essere utilizzata per calcolare la funzione di ripartizione di una variabile X che si distribuisce in modo normale per qualunque valore dei parametri che caratterizzano la sua distribuzione effettuando l’operazione di standardizzazione seguente

𝑧 =𝑥 − 𝜇 𝜎

ed individuando sulla tavola il corrispondente valore di

Φ (𝑥 − 𝜇

𝜎 ) = Φ(𝑧)

In pratica, quindi, tramite l’operazione di standardizzazione, si passa dal valore 𝑥 della variabile X ~ N(𝜇, 𝜎²) al corrispondente valore 𝑧 = ^𝑥−𝜇

𝜎 della variabile Z ~ N(0, 1)

Esempio

Data una variabile casuale X con distribuzione N(165, 81) calcolare:

𝑎) 𝑃(𝑋 ≤ 155) 𝑏) 𝑃(𝑋 > 170)

Risulta

𝑎) 𝑃(𝑋 ≤ 155) = Φ (155 − 165

9 ) = Φ(−1.11) = 1 − 𝛷(1.11) =

= 1 − 0.8665 = 0.1335 𝑏) 𝑃(𝑋 > 170) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 170) = 1 − Φ (170 − 165

9 ) = 1 − Φ(0.56) = = 1 − 0.7123 = 0.2877

Anche i quantili di una variabile casuale normale X ~N(𝜇, 𝜎²) si possono ottenere dai corrispondenti quantili della variabile casuale normale standard Z ~N(0, 1)

Il generico quantile di ordine p della X ~N(𝜇, 𝜎²) è infatti quel particolare valore della variabile X in cui la funzione di ripartizione vale esattamente 𝑝, ossia

Φ (𝑥_𝑝 − 𝜇

𝜎 ) = 𝑝 0 < 𝑝 < 1

Applicando la funzione inversa Φ⁻¹ ad entrambi i termini dell’uguaglianza, si ricava

𝑥_𝑝 − 𝜇

𝜎 = Φ⁻¹(𝑝)

da cui si ottiene

𝑥_𝑝 = 𝜇 + 𝜎Φ⁻¹(𝑝) = 𝜇 + 𝜎𝑧_𝑝

dove Φ⁻¹(𝑝) è il quantile zp di ordine p della normale standardizzata Z.

I quantili di ordine p della normale standardizzata Z sono riportati nella Tavola B presente nell’appendice delle dispense.

La tavola è strutturata in modo da riportare nella prima colonna il valore della probabilità p e nella seconda il corrispondente quantile zp della normale standard.

Esempio

Considerata la variabile casuale X con distribuzione N(165, 81) calcolare:

a) il primo quartile b) la mediana c) il terzo quartile

Si ottiene

a) x0.25 = 165 + 9×(−0.674) = 158.934 b) x0.5 = 165+ 9×0 = 165

a) x0.75 = 165 + 9×(0.674) = 171.066

La distribuzione normale ha alcune importanti proprietà, nessuna delle quali sarà dimostrata, ma che verranno utilizzate più volte nelle lezioni successive

Prima proprietà

Data una variabile casuale X ~N(𝜇_𝑥, 𝜎_𝑥²) ogni sua trasformazione lineare del tipo 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 ha una distribuzione N(𝑎 + 𝑏𝜇_𝑥, 𝑏²𝜎_𝑥²).

Questa proprietà è stata utilizzata per determinare la distribuzione della trasformazione di standardizzazione della X ~N(𝜇_𝑥, 𝜎_𝑥²)

𝑍 = 𝑋 − 𝜇_𝑥

𝜎_𝑥 ~𝑁(0,1)

Seconda proprietà

Date k variabili casuali 𝑋_𝑖~N(𝜇_𝑖, 𝜎_𝑖²), ogni loro combinazione lineare del tipo 𝑌 = 𝑎 + 𝑏₁𝑋₁+ 𝑏₂𝑋₂+ … + 𝑏_𝑘𝑋_𝑘 ha ancora, a meno di alcuni casi anomali, una distribuzione normale il cui valore atteso e la cui varianza derivano dalle proprietà delle combinazioni lineari.

Terza proprietà (TEOREMA LIMITE CENTRALE)

Date n variabili casuali Xi i.i.d. di valore atteso  e varianza ², la variabile casuale corrispondente alla loro somma

𝑇 = ∑ 𝑋_𝑖

𝑛

𝑖=1

ha una distribuzione asintotica che, al crescere di n, risulta 𝑇~𝑁(𝑛𝜇, 𝑛𝜎²)

Se di tali variabili si considera invece la media aritmetica

𝑋̄ = 1

𝑛∑ 𝑋_𝑖

𝑛

𝑖=1

la sua distribuzione asintotica, al crescere di n, è

𝑋̄~𝑁 (𝜇,𝜎² 𝑛 )

ESERCIZI

1. Data una variabile X che si distribuisce in modo normale con valore atteso 𝜇 e varianza 𝜎², calcolare la probabilità che la variabile assuma un valore compreso nell’intervallo (𝜇 − 2𝜎; 𝜇 + 2𝜎)

Occorre calcolare la differenza fra la funzione di ripartizione calcolata in corrispondenza dell’estremo superiore e la funzione di ripartizione calcolata in corrispondenza dell’estremo inferiore.

Risulta cioè

𝑃[𝑋 ≤ (𝜇 + 2𝜎)] − 𝑃[𝑋 ≤ (𝜇 − 2𝜎)] =

= Φ [(𝜇 + 2𝜎) − 𝜇

𝜎 ] − Φ [(𝜇 − 2𝜎) − 𝜇

𝜎 ] = Φ(2) − Φ(−2) =

= Φ(2) − [1 − Φ(2)] = 2Φ(2) − 1 = 2 × 0.9772 − 1 = 0.9544

2. Data una variabile X che si distribuisce in modo normale con valore atteso 10 e varianza 16, determinare la distribuzione della variabile

Y = −5X−2 e determinarne il terzo decile.

Risulta

E(Y)= −5E(X)−2 = −52

V(Y)= (−5)²V(X) = 25×16 = 400 per cui

𝑌~𝑁(−52, 400) y0.3 = −52 + 20×(−0.524) = −62.48

3. Siano X1,… X10 variabili casuali indipendenti ciascuna con distribuzione normale di valore atteso 20 e varianza 4. Calcolare:

a) 𝑃(𝑋̄ > 22.5);

b) 𝑃(𝑋₁ < 20, 𝑋₂ > 15)

La distribuzione della media

𝑋̄ = 1

10∑ 𝑋_𝑖

10

𝑖=1

delle dieci variabili casuali i.i.d. è una normale i cui parametri sono

𝐸(𝑋̄) = 𝐸 ( 1

10∑ 𝑋_𝑖

10

𝑖=1

) = 1

10∑ 𝐸(𝑋_𝑖)

10

𝑖=1

= 1

10∑ 20

10

𝑖=1

= 20

𝑉(𝑋̄) = 𝑉 ( 1

10∑ 𝑋_𝑖

10

𝑖=1

) = 1

100∑ 𝑉(𝑋_𝑖)

10

𝑖=1

= 1

100∑ 4

10

𝑖=1

= 40

100= 0.4 per cui

𝑋̄~𝑁(20, 0.4) Le probabilità richieste sono

a)

𝑃(𝑋̄ > 22.5) = 1 − Φ (22.5 − 20

√0.4 ) = 1 − Φ(3.95) = 1 − 0.99999 ≈ 0.00000. ..

b)

𝑃(𝑋₁ < 20, 𝑋₂ > 15) = Φ (20 − 20

2 ) [1 − Φ (15 − 20

2 )] = Φ(0)[1 − Φ(−2.5)]

= Φ(0) × Φ(2.5) = 0.5 × 0.9938 = 0.4969

4. Siano X1,… X4 variabili casuali indipendenti ciascuna con distribuzione normale di valore atteso 3 e varianza 13. Calcolare:

a) 𝑃[(2𝑋₁+ 3𝑋₂) > 14]

b) 𝑃(|𝑋̄| < 5)

La combinazione lineare di variabili casuali normali è ancora una normale. In questo caso i parametri della combinazione 2𝑋₁ + 3𝑋₂ sono

𝐸(2𝑋₁ + 3𝑋₂) = 2𝐸(𝑋₁) + 3𝐸(𝑋₂) = 6 + 9 = 15

𝑉(2𝑋₁ + 3𝑋₂) = 4𝑉(𝑋₁) + 9𝑉(𝑋₂) = 4 × 13 + 9 × 13 = 169 Quindi

(2𝑋₁+ 3𝑋₂) ~ 𝑁(15,169) La probabilità richiesta al punto a) risulta perciò 𝑃[(2𝑋₁ + 3𝑋₂) > 14] = 1 − Φ (14 − 15

√169 ) ≈ 1 − Φ(−0.08) = Φ(0.08) =

= 0.5319

La distribuzione della media delle quattro variabili è 𝑋̄~𝑁 (3,13

4 = 3.25) per cui la probabilità richiesta al punto b) è data da 𝑃(|𝑋̄| < 5) = 𝑃(−5 < 𝑋̄ ≤ 5) = Φ (5 − 3

√3.25) − Φ (−5 − 3

√3.25) =

= Φ(1.11) − Φ(−4.44) = Φ(1.11) − [1 − Φ(4.44)] = 0.8665 − (1 − 1) =

=0.8665

DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO

Questa distribuzione si ottiene considerando la somma dei quadrati di k variabili casuali normali standardizzate indipendenti

Zi~ N(0, 1), i = 1, 2, …, k

Il solo parametro che caratterizza tale distribuzione corrisponde ai “gradi di libertà” della chi-quadrato ed è pari al numero k di variabili casuali normali standardizzate indipendenti considerate

𝜒_𝑘² = ∑ 𝑍_𝑖²

𝑘

𝑖=1

Questa variabile può assumere solo valori maggiori o uguali a zero e il suo valore atteso e la sua varianza dipendono dal valore del parametro e sono rispettivamente pari a

𝐸(𝜒_𝑘²) = 𝑘 𝑉(𝜒_𝑘²) = 2𝑘

Il grafico della distribuzione chi quadrato assume forme diverse a seconda dei suoi gradi di libertà e nella figura successiva sono riportati alcuni esempi

Nonostante l’asimmetria della distribuzione, al crescere di k anche la chi- quadrato tende, in accordo con il teorema limite centrale, a una normale, in questo caso di valore atteso k e varianza 2k.

Questa approssimazione viene utilizzata per un numero di gradi di libertà pari almeno a 50.

Non esiste una espressione esplicita della sua funzione di ripartizione ma il valore approssimato di alcuni suoi quantili è contenuto in apposite tavole che riportano i loro valori per alcune possibili associazioni dei valori dei gradi di libertà k e della probabilità p.

Qui di seguito è riportato uno stralcio di tali tavole ed è stato evidenziato in giallo il quantile di ordine 0.95 di una chi quadrato con 9 gradi di libertà

k\p 0.005 0.010 0.025 0.050 0.950 0.975 0.990 0.995 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0.000 0.000 0.001 0.004 3.841 5.024 6.635 7.879 0.010 0.020 0.051 0.103 5.991 7.378 9.210 10.60 0.072 0.115 0.216 0.352 7.815 9.348 11.34 12.84 0.207 0.297 0.484 0.711 9.488 11.14 13.28 14.86 0.412 0.554 0.831 1.145 11.07 12.83 15.09 16.75 0.676 0.872 1.237 1.635 12.59 14.45 16.81 18.55 0.989 1.239 1.690 2.167 14.07 16.01 18.48 20.28 1.344 1.646 2.180 2.733 15.51 17.53 20.09 21.95 1.735 2.088 2.700 3.325 16.92 19.02 21.67 23.59 2.156 2.558 3.247 3.940 18.31 20.48 23.21 25.19 2.603 3.053 3.816 4.575 19.68 21.92 24.72 26.76 3.074 3.571 4.404 5.226 21.03 23.34 26.22 28.30 3.565 4.107 5.009 5.892 22.36 24.74 27.69 29.82 4.075 4.660 5.629 6.571 23.68 26.12 29.14 31.32 4.601 5.229 6.262 7.261 25.00 27.49 30.58 32.80 5.142 5.812 6.908 7.962 26.30 28.85 32.00 34.27 5.697 6.408 7.564 8.672 27.59 30.19 33.41 35.72 6.265 7.015 8.231 9.390 28.87 31.53 34.81 37.16 6.844 7.633 8.907 10.12 30.14 32.85 36.19 38.58 7.434 8.260 9.591 10.85 31.41 34.17 37.57 40.00 8.034 8.897 10.28 11.59 32.67 35.48 38.93 41.40 8.643 9.542 10.98 12.34 33.92 36.78 40.29 42.80 9.260 10.20 11.69 13.09 35.17 38.08 41.64 44.18 9.886 10.86 12.40 13.85 36.42 39.36 42.98 45.56 10.52 11.52 13.12 14.61 37.65 40.65 44.31 46.93 11.16 12.20 13.84 15.38 38.89 41.92 45.64 48.29 11.81 12.88 14.57 16.15 40.11 43.19 46.96 49.64 12.46 13.56 15.31 16.93 41.34 44.46 48.28 50.99 13.12 14.26 16.05 17.71 42.56 45.72 49.59 52.34 13.79 14.95 16.79 18.49 43.77 46.98 50.89 53.67

DISTRIBUZIONE T DI STUDENT

Considerata una variabile Z ~ N(0, 1) ed una variabile chi-quadrato con k gradi di libertà indipendente da Z, il rapporto

𝑡_𝑘 = 𝑍

√𝜒^𝑘2 𝑘

dà origine a una variabile casuale che si chiama t di Student. Anche questa variabile è caratterizzata da un solo parametro, “gradi di libertà”, che corrisponde ai gradi di libertà della chi-quadrato.

La tk è definita su tutto l’asse reale e la sua f.d. ha forma campanulare e simmetrica rispetto allo 0, che rappresenta la moda, il valore atteso e la mediana.

La sua varianza è definita solo per valori di k > 2 ed è pari a 𝑉(𝑡_𝑘) = 𝑘

𝑘 − 2

Come si vede anche dal grafico successivo, che riporta alcune funzioni di densità della t di Student per diversi gradi di libertà, al crescere di k la distribuzione tende rapidamente alla N(0, 1), tanto che per k > 30 i valori della suafunzione di ripartizione e dei suoi quantili vengono approssimati dai valori della funzione di ripartizione e dei quantili della normale standard.

Anche per questa variabile non esiste l’espressione esplicita della sua funzione di ripartizione ma i valori approssimati di alcuni suoi quantili sono contenuti in apposite tavole, la cui struttura è analoga alla struttura della tavola della chi quadrato.

Data la simmetria della distribuzione, la tavola riporta i soli quantili positivi, ossia per valori di p > 0.5, dato che i quantili di ordine 1−p corrispondono ai quantili di ordine p presi con il segno negativo a causa della simmetria della distribuzione rispetto allo zero.

Nella pagina successiva sono riportate le tavole dei quantili di uso più comune della t di Student e in giallo si è evidenziato il quantile di ordine 0.975 di una t con 4 gradi di libertà.

k\p 0.950 0.975 0.990 0.995 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

6.314 12.71 31.82 63.66 2.920 4.303 6.965 9.925 2.353 3.182 4.541 5.841 2.132 2.776 3.747 4.604 2.015 2.571 3.365 4.032 1.943 2.447 3.143 3.707 1.895 2.365 2.998 3.499 1.860 2.306 2.896 3.355 1.833 2.262 2.821 3.250 1.812 2.228 2.764 3.169 1.796 2.201 2.718 3.106 1.782 2.179 2.681 3.055 1.771 2.160 2.650 3.012 1.761 2.145 2.624 2.977 1.753 2.131 2.602 2.947 1.746 2.120 2.583 2.921 1.740 2.110 2.567 2.898 1.734 2.101 2.552 2.878 1.729 2.093 2.539 2.861 1.725 2.086 2.528 2.845 1.721 2.080 2.518 2.831 1.717 2.074 2.508 2.819 1.714 2.069 2.500 2.807 1.711 2.064 2.492 2.797 1.708 2.060 2.485 2.787 1.706 2.056 2.479 2.779 1.703 2.052 2.473 2.771 1.701 2.048 2.467 2.763 1.699 2.045 2.462 2.756 1.697 2.042 2.457 2.750

Il valore 2.776 isola quindi alla sua sinistra un’area di probabilità pari a 0.975 in una t4 e isola alla sua destra un’area di probabilità pari a 0.025 sempre in una t4. Questo vuol dire che il valore −2.776 corrisponde al quantile di ordine 0.025 di una t con 4 gradi di libertà.