Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e dell'Automazione
Anno Accademico 2006/2007
Matematica 1
Appello del 20 aprile 2007
Nome:.................................
N. matr.:................................. Ancona,20 aprile 2007
Domande elementari.
1. Risolvereladisequazione
x lnx<0:
2. Risolverel'equazione
4cos 4
x 9 cos 2
x+2=0:
Domande teoriche.
1. (i) Enunciareedimostrare il teoremadel valor medio diLagrange.
(ii) Siaf(x)unafunzionesimmetricaederivabilede nitanell'intervallo[ 1;1]. Uti-
lizzandoilteoremadelvalormediodiLagrange,dimostrarechelafunzionef 0
(x)
ha almenouno zeronell'intervallo( 1;1). (Facoltativo:) Sipuodimostrare che
f 0
(0)=0?
2. Sia fa
n
g una successione in nitesima. Sotto quali condizioni la successione degli
inversi,fb g=f1=a g,e regolare etende all'in nito? Dimostrare l'a ermazione.
1. Le soluzionisono date dalle soluzionidel sistema
x>0
lnx<0
valeadire 0<x<1.
2. Poniamoy=cos 2
x. Deveessere 0y 1. L'equazione diventa
4y 2
9y+2=0
le cuisoluzionisono y
1
=1=4 edy
2
=2(chescartiamo). Ritornandoad x,
cos 2
x= 1
4
cosx= 1
2
x=
3
; 2
3
; 4
3
; 5
3
Soluzioni - Domande teoriche.
1. Siconsideriun puntox
0
2(0;1). Abbiamof(x
0
) f( x
0
)=0equindideveesistere
unpuntoc,internoall'intervallo[ x
0
;x
0
]2[ 1;1]talechef 0
(c)=0. Perdimostrare
chef 0
(0) =0,bastap ensarecheilpuntox
0
puoesseresceltoarbitrariamentepiccolo,
x
0
=". Allora,p erilteoremadiLagrange,ilpuntocdeveessereinternoall'intervallo
[ ";"];p er l'arbitrarietadi", cioe p ossibilesolo sec=0.
2. La successione degli inversitende all'in nito se e solo se i terminidella successione
fa
n
g sono de nitivamente p ositivi o de nitivamente negativi. Se non fosse cos, i
terminidifb
n
g diventerebb erosempre pi u grandi invalore assoluto, ma alternando
i segni e la successione sarebb e irregolare. Se, p eresempio, a
n
>0 de nitivamente,
abbiamo de nitivamente che 0 < a
n
< ", con " arbitrario e dunque b
n
> 1="
de nitivamente,vale adire
lim b
n
=+1
1. Calcolare il limite
lim
x!0
x (1 cosx)
x+(1 cosx)
2. Calcolare il seguente integrale
Z
3
1=2
jx 2jjlnxjdx
3. Studiare lafunzione
f(x)= sin
2
x cos 2
x
sinx :
4. Determinarele radici complessedell'equazionedi secondo grado
x 2
+x+1=0:
Calcolarequindiparterealeeparteimmaginariadelloropro dottoedellororapp orto
1. Applicando il teoremadi del'Hospital:
lim
x!0
x (1 cosx)
x+(1 cosx)
=lim
x!0
1 sinx
1+sinx
=1
2. L'argomento delvalore assoluto si annulla p er x=1 edx=2. Dunque:
Z
3
1=2
jx 2jjlnxjdx=
Z
1
1=2
jx 2jjlnxjdx+ Z
2
1
jx 2jjlnxjdx+ Z
3
2
jx 2jjlnxjdx
= Z
1
1=2
(x 2) lnxdx Z
2
1
(x 2) lnxdx+ Z
3
2
(x 2) lnxdx
Calcoliamo laprimitivaintegrando p er parti:
Z
(x 2) lnxdx =
(x 2) 2
2
lnx Z
(x 2) 2
2 1
x dx
= 1
2
(x 2) 2
lnx x
2
2
+2x 4 lnx
Sostituendo neitre contributi all'integrale:
Z
3
1=2
jx 2jjlnxjdx =
13
16 7
8 ln2
5
4
2 ln2
+
3
4
+2 ln2 3
2 ln3
= 5
16 +
25
8 ln2
3
2 ln3
3. Dominio: x 2 Rcon x 6=n, n intero qualsiasi. la funzione e p erio dica di p erio do
2 ela studiamoin[0;2].
Limiti:
lim
x!0 +
f(x)= 1
lim
x!
f(x)= 1
lim
x!
+
f(x)=+1
lim
x!2
f(x)=+1
Dunque x = 0, x = ed x = 2 sono asintoti verticali, e non ci sono asintoti
orizzontalio dobliqui.
Zeri: sin 2
x cos 2
x=0,(sinx cosx)(sinx+cosx)=0,cioex==4, 3=4, 5=pi=4
e 7=4.
Derivata:
f 0
(x)=cosx 3+cot 2
x
Punti stazionari:
cosx=0;
x ==2; x =3=2:
x y
3π/2 π/2
Considerando il segno della derivata prima,si vedechex
1
eun punto dimassimo e
x
2
un punto diminimo,con f(x
1
)=1ed f(x
2
)= 1.
Gra co:
4.
z
1;2
= 1
p
1 4
2
=
1i p
3
2
z
1 z
2
=1
z
1
z
2
=
1+i p
3
2
1
=
2
=1
1
= 2
;
2
= 4
