Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2015/2016

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2015/2016

Calcolo delle Probabilit` a e Statistica Matematica

Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 13 luglio 2016

1. Il numero di veicoli che attraversano un certo punto su una strada dove ` e collocato un autovelox ` e una variabile di Poisson di media 1 al secondo (in condizioni di traffico soste- nuto). Dalla statistica storica delle misurazioni, si sa che il 10 % degli autoveicoli supera il limite di velocit` a; inoltre, il meccanismo del misuratore non permette di rilevare pi` u di 380 infrazioni in un’ora. Sia ora X la variabile che rappresenta il numero totale di mac- chine che passano per quel punto in un secondo, Y la variabile che rappresenta il numero di infrazioni (rilevate o non rilevate) in un’ora e infine Z la variabile che rappresenta il numero di infrazioni rilevate dall’autovelox in un’ora.

(a) Scrivere esplicitamente le leggi di X e Y ;

(b) quali valori pu` o assumere Z e qual ` e la sua legge?

(c) se un automobilista che viaggia con velocit` a superiore al limite passa per quel punto mezz’ora dopo l’azzeramento dell’autovelox, qual ` e la probabilit` a che la faccia franca

?

Nota: ` e improbabile che si riesca ad ottenere una risposta numerica; in tal caso, lasciare le formule con le operazioni indicate.

Soluzione.

(a) X ` e una variabile di Poisson di parametro λ _X = 1 quindi p _X (k) = e ^−λ

λ ^k _X

k! = e ⁻¹ 1

k! , k ∈ N.

Y ` e pure una variabile di Poisson di parametro λ = 0.1 × 3600 = 360 quindi p Y (k) = e ^−λ

λ ^k _Y

k! = e ⁻³⁶⁰ 360 ^k

k! , k ∈ N.

(b) Z pu` o assumere valori interi da Z = 0 a Z = 380. La sua densit` a ` e data da P (Z = k) = P (Y = k) = e ⁻³⁶⁰ 360 ^k

k! , 0 ≤ k ≤ 379 P (Z = 380) = 1 −

379

X

k=0

P (Z = k) = 1 −

379

X

k=0

e ⁻³⁶⁰ 360 ^k

k!

(c) Indichiamo con W la variabile che segna il numero di infrazioni rilevate in mezz’ora. Questa segue una legge di Poisson di parametro 360/2 = 180 fino a 379 infrazioni; quindi

P (W = k) = e ⁻¹⁸⁰ 180 ^k

k! , 0 ≤ k ≤ 379 P (W = 380) = 1 −

379

X

k=0

P (W = k) = 1 −

379

X

k=0

e ⁻¹⁸⁰ 180 ^k

k! ≈ 10 ⁻¹⁵

2. Una persona esce da un bar dopo aver bevuto parecchio e procede a caso nel reticolo di strade e incroci che si estende fuori dal locale. Siano x e y due coordinate che descrivono i punti del reticolo, con il punto di partenza nell’origine O. A ogni incrocio, egli pu` o dirigersi di un isolato nella direzione positiva delle x con probabilit` a p o di un isolato nella direzione positiva delle y con probabilit` a q. Indichiamo con X e Y le variabili casuali che indicano la posizione dopo 5 passi.

(a) Determinare la densit` a congiunta di X e Y ; (b) determinare le densit` a marginali di X e Y ; (c) verificare se X ed Y sono indipendenti;

(d) determinare media e varianza di X e Y ;

(f ) determinare il coefficiente di correlazione di X e Y commentandone il risultato.

Soluzione.

(a) Le due cariabili possono, singolarmente, assumere i valori 1, 2, ..., 5. La densit` a congiunta deve comunque verificare X + Y = 5. Quindi abbiamo

p XY (5, 0) = p ⁵ p XY (4, 1) = 5

1



p ⁴ q = 5 p ⁴ q p _XY (3, 2) = 5

2



p ³ q ² = 10 p ³ q ² p _XY (2, 3) = 5

3



p ² q ³ = 10 p ² q ³ p _XY (1, 4) = 5

4



p q ⁴ = 5 p q ⁴ p _XY (0, 5) = q ⁵

e p _XY (x, y) = 0 per gli tutti altri valori di x e y. In forma compatta:

p _XY (k, l) = 5 l



p ^k q ^l δ _l,5−k

(b)

p _X (0) = p _Y (5) = q ⁵ p _X (1) = p _Y (4) = 5 p q ⁴ p _X (2) = p _Y (3) = 10 p ² q ³ p X (3) = p Y (2) = 10 p ³ q ² p X (4) = p Y (1) = 5 p ⁴ q p _X (5) = p _Y (0) = p ⁵ (c) chiaramente X ed Y non sono indipendenti;

(d) chiaramente X e Y sono binomiali di parametri p e q; quindi E[X] = 5 p

E[Y ] = 5 q

V ar(X) = V ar(Y ) = 5 p q (f ) calcolo della covarianza:

E[X Y ] =

5

X

k=0

k (5 − k) p XY (k, 5 − k) = 5

5

X

k=0

k p XY (k, 5 − k) −

5

X

k=0

k ² p XY (k, 5 − k) =

= 5 E[X] − E[X ² ] = 25 p − (V ar(X) + E[X] ² ) = 25 p − (5p q + 25 p ² ) =

= 25 p − [5 p (1 − p) + 25 p ² ] = 25 p − (5 p + 20 p ² ) = 20 p (1 − p)

Cov(X, Y ) = E[X Y ] − E[X] E[Y ] = 20 p (1 − p) − 25 p (1 − p) = −5 p (1 − p) Quindi

ρ = −5 p (1 − p) 5 p (1 − p) = −1

3. Fornire gli intervalli di confidenza al 90%, 95 % e 99 % per la media del reddito annuo pro- capite di una certa popolazione sulla base del seguente campione di rango 10 (in migliaia di euro):

32.0, 18.9, 21.8, 23.1, 18.0, 16.0, 26.2, 18.4, 19.0, 25.0

Soluzione. Il campione ha media campionaria X n = 21.8, varianza campionaria S ² _n = 23.5 e scarto quadratico medio S _n = 4.8 (dopo arrotondamento ad una cifra significativa). Dalle tabelle di Student abbiamo

t _α/2 (9) = 1.833, 2.262, 3.250 per i livelli di confidenza indicati. Gli intervalli sono pertanto



X _n − S

√ n t _α/2 (9), X _n + S

√ n t _α/2 (9)



= [18.99, 24.61]

[18.33, 25.27]

[16.82, 26.78]