sin(bx + y + a),(2π − a)xy 1 + y4 + sin(x + y

ESERCIZI SULLE FORME DIFFERENZIALI LINEARI

1. Individuare l’insieme di definizione della seguente forma differenziale lineare:

ω = 2x

y (x²+ y²)^2/3dx − (3x²+ y²) y²(x²+ y²)^2/3dy.

Determinare un aperto connesso in cui sia esatta e calcolarne ivi una primitiva.

2. Fissati a, b ∈ IR si consideri il seguente campo vettoriale:

F (x, y) = 2π arctan(y²) + sin(bx + y + a),(2π − a)xy

1 + y⁴ + sin(x + y)

!

.

− Determinare i valori dei parametri a, b tali da rendere il campo con- servativo.

− Per tali valori calcolare un potenziale.

3. Data la forma differenziale lineare:

ω = x − 1

[(x − 1)²+ (y − 1)²]^5/2 + 2x 1 + x²+ y²

!

dx+

+ y − 1

[(x − 1)²+ (y − 1)²]^5/2 + 2y 1 + x²+ y²

!

dy, definita nel semipiano y > 1,

− dire se `e esatta e, in caso affermativo, calcolarne le primitive,

− calcolare ^R_γω, dove γ `e la curva di equazioni x(t) = 0, y(t) = 3 + sin¹⁷(πt), con 0 ≤ t ≤ 5/2.

4. Dato su IR³ il seguente campo vettoriale:

F =^f (x + y) + y(1 − tanh²(x)), f (x + y) + 3a tanh(x) + cos(z), −y sin(z)^, dove f : IR → IR `e una funzione di classe C^∞ e a ∈ IR.

• Determinare quali condizioni devono soddisfare la funzione f e il parametro a affinch`e il campo sia conservativo (fac. calcolarne un potenziale).

1

• Supponendo a = 1/3 e f (t) = cos³(t), deteminare il lavoro

compiuto dal campo lungo la curva γ(t) = (−t, sin(^π₂t), t), con 0 ≤ t ≤ 1.

5. Dire se la seguente forma differenziale `e esatta quando ristretta al primo quadrante (x > 0, y > 0) e, in caso affermativo, calcolarne una primi- tiva in tale insieme

ω = x + 2y

x³y dx + 1 xy²dy.

6. Dire se la seguente forma differenziale `e esatta nel suo insieme di definizione e, in caso affermativo, calcolarne una primitiva:

ω = x

x²+ y²dx + y x²+ y²dy.

Calcolare poi l’integrale di ω esteso alla curva γ di equazione polare ρ = 1 − cos θ, con π/2 ≤ θ ≤ π.

2