sin x2+ sin y2 ha un minimo relativo in f (x, y

(1)

Pisa, 4 Gennaio 2000

(Cognome) (Nome) (Numero di matricola)

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

La soluzione del problema di Cauchy u^′ = u²− 5, u(0) = 6 `e globale 2 2 La soluzione del problema di Cauchy u^′ = u²− 5, u(0) = 2 `e limitata 2 2

Se u^′+ 3u = 6e^t e u(0) = 4, allora u^′(0) > 0 2 2

La serie di potenze P n²(n!)⁻¹xⁿ converge uniformemente in [−4, 2] 2 2 Nella serie di Fourier (reale) di sin x + cos 2x ci sono infiniti coeff. 6= 0 2 2 Il campo ~E = (2x + 3y, 3x + arctan e^y) `e gradiente di un potenziale in R² 2 2 f (x, y) = sin x²+ sin y² ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2

f (x, y) = x²+ 2y ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2

L’insieme {(x, y, z) ∈ R³ : x²+ y²+ z² ≤ 15, x sin yz + zx ≤ 4} `e limitato 2 2 Esiste maxn

e⁻^x²⁻^y² : (x, y) ∈ R²o

2 2

• Scrivere la soluzione generale (reale) delle seguenti equazioni differenziali:

u^′′− 4u^′+ 4u = 0 u(t) = c₁. . . + c₂. . . .

u^′′′− u^′ = 0 u(t) = c₁. . . + c₂. . . + c₃. . . .

• Siano

A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4 , B =(x, y) ∈ R² : x ∈ [1, 2], 0 ≤ y ≤ x

Calcolare: Z

A

px²+ y²dx dy = . . . .

Z

B

1 dx dy = . . . .

• Sia ~E = (2y + z³,√

e xy, z log 3). Calcolare:

(2)

Pisa, 11 Gennaio 2000

La soluzione del problema di Cauchy u^′+ sin u = 0, u(3) = 2000 `e globale 2 2 La soluzione del problema di Cauchy u^′+ sin u = 0, u(0) = 6 `e limitata 2 2 Se u^′+ (t²− 1)u = 0 e u(3) = 4, allora u^′(3) > 0 2 2 La serie di potenze P^∞

n=12ⁿn⁻²xⁿ ha raggio di convergenza 2 2 2 Nella serie di Fourier (reale) di sin 2x ci sono almeno 3 coefficienti 6= 0 2 2 Il campo ~E = (x²+ 3xy, 2y + 2x²) `e gradiente di un potenziale in R² 2 2

f (x, y) = x²+ y² ha un minimo relativo in (1, 3) 2 2

f (x, y) = |x − 1| + |y − 2| ha un minimo relativo in (1, 2) 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : x²+ 5x ≤ 3, y²+ 3y ≤ 5} `e limitato 2 2

Esiste max {|x| + |3y| : x² + y² ≤ 9, 3x ≥ 5y} 2 2

u^′′− 4u^′+ 3u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . . u^′′− 4u^′+ 5u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . .

• Siano

A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4, x ≥ 0 , B =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 2], x ≤ y ≤ 2

Calcolare: Z

A

(x²+ y²) dx dy = . . . .

Z

B

1 dx dy = . . . .

• Sia ~E = (√e x + z, ez + 3, 2y). Calcolare:

(3)

Pisa, 1^◦ Febbraio 2000

La soluzione del problema di Cauchy u^′ = u + 5t, u(0) = 6 `e globale 2 2 La soluzione del problema di Cauchy u^′ = u + 5t, u(0) = 3 `e limitata 2 2 Se u^′+ arctan u = 3 e u(4) = 20, allora u^′(4) > 0 2 2 La serie di potenze P^∞

n=1n⁴2⁻ⁿxⁿ converge uniformemente in [−1, 1] 2 2 Nella serie di Fourier (reale) di sin⁴⁰x compaiono solo seni 2 2 Il campo ~E = (sin x + cos y, cos x + sin y) `e gradiente di un potenziale in R² 2 2 f (x, y) = cos x + cos y ha un massimo relativo in (0, 0) 2 2 f (x, y) = cos x + cos y ha un massimo relativo in (π/2, π/2) 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : arctan(x + y) > 0, x − y < 0} `e limitato 2 2 Esiste mine^x^{sin y} + e^y^{sin x} : x²+ y² = 15

2 2

u^′′− 2u^′+ u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . . u^′′− 2u^′+ 10u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . .

• Siano

A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 , B =(x, y) ∈ R² : x² − 1 ≤ y ≤ 0

Calcolare: Z

A

1 dx dy = . . . .

Z

B

x dx dy = . . . .

• Sia ~E = (x, y +√

log 3, x + z). Calcolare:

(4)

Pisa, 15 Febbraio 2000

La soluzione del problema di Cauchy u^′ = 5u², u(0) = 8 `e globale 2 2 La soluzione del probl. di Cauchy u^′ = 5u², u(0) = −8 `e limitata per t ≥ 0 2 2 Se u^′+ arctan u = 3 e u(7) = 20, allora u^′(20) < 7 2 2 La serie di potenze P^∞

n=1(n!)⁻¹xⁿ converge uniformemente in [−8, 15] 2 2 Nella serie di Fourier (reale) di sin(sin x) compaiono solo seni 2 2 Il campo ~E = (x, y, z) `e gradiente di un potenziale in R³ 2 2

f (x, y) = x⁴+ y⁴ ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2

f (x, y) = 4x + 4y ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : x²+ y²+ sin(xe^y) ≤ 2000} `e limitato 2 2

Esiste max {arctan(x² + y²) : (x, y) ∈ R²} 2 2

u^′′− 6u^′+ 9u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . . u^′′− 3u^′ = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . .

• Siano

A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≥ 0 , B =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], x ≤ y ≤ 3x

Calcolare: Z

A

(x²+ y²) dx dy = . . . .

Z

B

1 dx dy = . . . .

• Sia ~E = (x + z + cos 1, y, y). Calcolare:

(5)

Pisa, 30 Maggio 2000

La soluzione del problema di Cauchy u^′+ t²u = sin t, u(0) = 8 `e globale 2 2 La soluzione del problema di Cauchy u^′ = u²− 4, u(0) = −2 `e limitata 2 2

Se u^′′+ u = 0 e u(0) = 0, allora u(π) = 0 2 2

La serie di potenze P^∞

n=1(n!)⁻¹x²ⁿ converge uniformemente in [−8, 20] 2 2 Nella serie di Fourier (reale) di sin²x non ci sono coseni 2 2

Se Φ : R² → R `e di classe C^∞, allora div∇Φ = 0 2 2

f (x, y) = x²− 2xy ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2

x²− 2xy ≥ 0 per ogni (x, y) ∈ R² 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : xy ≤ 1, y ≥ x} `e limitato 2 2

Esiste min {e^x+ e^y + sin xy : x⁴+ y⁴ ≤ 8} 2 2

u^′′+ 9u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . . u^′′− 9u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . .

• Siano

A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4, y ≥ x ≥ 0 , B =(x, y) ∈ R² : x ∈ [−1, 1], 0 ≤ y ≤ x²

Calcolare: Z

A

1 dx dy = . . . .

Z

B

y dx dy = . . . .

• Sia ~E = (x +√

3, x + y +√

6, x + y + z +√

7). Calcolare:

(6)

Pisa, 20 Giugno 2000

La soluzione del problema di Cauchy u^′ = u²− 6, u(0) = 2000 `e globale 2 2 La soluzione del problema di Cauchy u^′ = u⁴− 6, u(0) = 1 `e limitata 2 2 Se u^′′+ 3u^′− 6tu = 0, u(0) = 8 e u^′(0) = 3, allora u^′′(0) < 0 2 2 La serie di potenze P^∞

n=1n²xⁿ converge uniformemente in [−1/3, 0] 2 2 Nella serie di Fourier (reale) di cos⁴⁰x si ha che a₀ = −40 2 2 Il campo ~E = (sin(x²+ y²), sin(x²+ y²)) `e gradiente di un potenziale in R² 2 2

f (x, y) = x³+ y³ ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2

f (x, y) = x³+ y³ ha un minimo relativo in (2, 1) 2 2

L’insieme {(x, y, z) ∈ R³ : x + sin y + z ≥ 0, x²+ y²+ z² ≤ 8} `e limitato 2 2

Esiste min {x²+ 3x sin y² : y = 2x} 2 2

u^′′− 6u^′+ 9u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . . u^′′− 6u^′+ 10u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . .

• Siano

A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4, x ≥ 0 , B =(x, y) ∈ R² : x ∈ [−1, 1], −2 ≤ y ≤ x

Calcolare: Z

A

x dx dy = . . . .

Z

B

1 dx dy = . . . .

• Sia ~E = (3x + ey, 3x + 2y, e^z+√

2). Calcolare:

(7)

Pisa, 11 Luglio 2000

La soluzione del problema di Cauchy u^′ = u + cos u, u(0) = 2000 è globale 2 2 La sol. del pb. di Cauchy u^′ = (3 − u)eû, u(0) = 0 è limitata superiormente 2 2

Se u^′+ 3u = t + 4, e u(2) = 0, allora u^′(2) > 4 2 2

n=12⁻ⁿxⁿ ha raggio di convergenza 1/2 2 2 Nella serie di Fourier (reale) di sin(cos x) compaiono solo seni 2 2 Il campo ~E = (x + sin y, y + cos x) `e gradiente di un potenziale in R² 2 2

f (x, y) = x⁸− y⁸ ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2

f (x, y) = |x − 1| + |y − 2| ha un minimo assoluto in (1, 2) 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : x ≥ y², 3x²+ 5y² ≤ 8} `e limitato 2 2

Esiste min {e^x+ e^y : (x, y) ∈ R²} 2 2

u^′′+ 4u^′+ 8u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . . u^′′+ 4u^′+ 4u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . .

• Siano

A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 9, y ≥ 0 , B =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 2], x ≤ y ≤ 2

Calcolare: Z

A

(x²+ y²) dx dy = . . . .

Z

B

1 dx dy = . . . .

• Sia ~E = (x + log 2, y + log 3, x + y). Calcolare:

(8)

Pisa, 5 settembre 2000

La sol. del problema di Cauchy u^′ = 3tu + t², u(0) = 8 `e globale 2 2 La sol. del problema di Cauchy u^′ = arctan u, u(0) = 8 `e limitata 2 2 Se u(0) = 0 e u^′+ 8 sin(tu) = 0, allora u^′(0) > 0 2 2 La serie di potenze P^∞

n=1nxⁿ converge uniformemente in ] − 1, 1[. 2 2

sin x² `e una funzione periodica 2 2

Il campo ~E = (e^x, e^y) `e gradiente di un potenziale in R² 2 2 f (x, y) = x²− y⁴ ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2 f (x, y) = |x²− y⁴| ha un minimo assoluto in (0, 0) 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : x² ≤ 8, y ≥ sin x} `e limitato 2 2

Esiste min {cos x + cos y : |x| + |y| ≤ 25} 2 2

u^′′+ 4u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . . u^′′+ 4u^′+ 4u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . .

• Siano

A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 3, y ≥ x , B =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 2], |x − 1| ≤ y ≤ 1

Calcolare: Z

A

px²+ y²dx dy = . . . .

Z

B

1 dx dy = . . . .

• Sia ~E = (xy + 1, yz + 2, zx + 3). Calcolare:

(9)

Pisa, 19 settembre 2000

La sol. del problema di Cauchy u^′ = u²− 3u, u(0) = 2 `e globale 2 2 La sol. del problema di Cauchy u^′ = arctan u, u(0) = 8 `e limitata 2 2 Se u^′+ 3u + 2t = 0 e u^′(3) = 6, allora u(3) > 0 2 2 La serie di potenze P^∞

n=1n²xⁿ ha raggio di convergenza 2. 2 2 Nella serie di Fourier (reale) di sin(cos x) compaiono solo seni 2 2 Il campo ~E = (e^y, e^x) `e gradiente di un potenziale in R² 2 2 f (x, y) = |x| + y³ ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2 f (x, y) = sin(x²+ y²) ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2 L’insieme {(x, y, z) ∈ R³ : |x| + y²+ z⁴ ≤ 8, sin xy ≤ z} `e limitato 2 2

Esiste min {sin(x² + y²) : (x, y) ∈ R²} 2 2

u^′′+ 2u^′+ 5u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . . 4u^′′+ 4u^′+ u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . .

• Siano

A =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 8, y ≥ |x| , B =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 2], 0 ≤ y ≤ x²

Calcolare: Z

A

x dx dy = . . . .

Z

B

x dx dy = . . . .

• Sia ~E = (x + 2y + 3z, 4x + 5y + 6z, 7x + 8y + 9z). Calcolare:

(10)

Pisa, 9 gennaio 2001

La sol. del problema di Cauchy u^′ = t + sin u, u(0) = 2 `e globale 2 2 La sol. del problema di Cauchy u^′ = 3 + sin u, u(0) = 2 `e monotona 2 2

Se u^′ = u e u^′(0) = 3, allora u^′′(0) = 3 2 2

n=12ⁿnxⁿ ha raggio di convergenza 2. 2 2 Nella serie di Fourier (reale) di | sin x| compaiono solo seni 2 2 Il campo ~E = (x²+ y, x − y²) `e gradiente di un potenziale in R² 2 2 f (x, y) = x⁵− y⁵ ha un massimo relativo in (0, 0) 2 2 f (x, y) = x²− 2x + y² ha un minimo relativo in (1, 0) 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : 2x²+ 3y² ≤ 25, y ≥ x − 1} `e limitato 2 2 Esiste maxcos x + sin |xy| : x²+ y⁴+ sin²x ≤ 8

2 2

u^′′+ 4u^′ = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . . u^′′+ 4u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . .

• Siano

A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ x² , B =(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x²+ y² ≤ 4

Calcolare: Z

A

y dx dy = . . . .

Z

B

1 dx dy = . . . .

• Sia ~E = (x − y +√

2, y − z +√

3, z − x −√

5). Calcolare:

(11)

Pisa, 30 gennaio 2001

La sol. del problema di Cauchy u^′ = eû, u(0) = 10 è globale 2 2 La sol. del problema di Cauchy u^′ = arctan²(u + t), u(0) = 2 è monotona 2 2 La sol. del problema di Cauchy u^′ = arctan(tu), u(0) = 0 è costante 2 2 La serie di potenze P^∞

n=1(−1)ⁿxⁿ converge uniformemente in [−1/2, 0]. 2 2 Nella serie di Fourier (reale) di e^{cos x} non compaiono seni 2 2 Il campo ~E = (e^x+y, e^x+y, 0) `e gradiente di un potenziale in R³ 2 2 f (x, y) = x²− 2x + y² ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2

f (x, y) = |x| + |y| ha un minimo assoluto in (0, 0) 2 2

L’insieme {(x, y, z) ∈ R³ : x² + y² ≤ 8, |z| ≤ 5} `e limitato 2 2

Esiste min {x² + sin y² : (x, y) ∈ R²} 2 2

u^′′− 5u^′+ 6u = 2e^t u(t) = c1e^3t+ c2. . . + . . . . u^′′+ 4u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . .

• Siano

A = [0, 2] × [1, 2], B =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 3, y ≤ x Calcolare: Z

A

xy dx dy = . . . .

Z

B

(x²+ y²) dx dy = . . . .

• Sia ~E = (y, y², y³). Calcolare:

(12)

Pisa, 13 febbraio 2001

La sol. del problema di Cauchy u^′ = u²− 3, u(0) = 2 è globale 2 2 La sol. del problema di Cauchy u^′ = u²− 3, u(0) = 0 è limitata 2 2 La sol. generale di u^′ = u + 4t, è u(t) = ae^t+ 2t² 2 2 La serie di potenze P^∞

n=1(−1)ⁿnxⁿ ha raggio di convergenza +∞. 2 2 La serie di Fourier (reale) di cos(sin²x) converge uniformemente in R 2 2 Il campo ~E = (x², y², z²) è gradiente di un potenziale in R³ 2 2 f (x, y) = |x − 2| + |y − 3| ha un minimo assoluto in (2, 3) 2 2 f (x, y) = x²+ xy + y² ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : |x| ≤ 5, y ≥ 8} è limitato 2 2 Il max di f (x, y) = y sull’insieme {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1} è 1 2 2

9u^′′+ 6u^′+ u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . . u^′′− 2u^′+ 10u = 0 u(t) = c1. . . + c2. . . .

• Siano

A =(x, y) ∈ R² : x ∈ [−1, 1], 0 ≤ y ≤ x² , B =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4, x ≥ 0 .

Calcolare: Z

A

y dx dy = . . . .

Z

B

x dx dy = . . . .

• Sia ~E = (x + y, x²+ y², z +√

2). Calcolare: