(i) Dire quante e quali sono le coppie ordinate (x, y) di numeri naturali che sono soluzioni del sistema

Problema 1.

(i) Dire quante e quali sono le coppie ordinate (x, y) di numeri naturali che sono soluzioni del sistema

( MCD(x, y) = 10 xy = 30000

Qui MCD(x, y) denota il massimo comun divisore di x e y.

(ii) Dati due interi positivi a, b, consideriamo il problema di contare tutte le cop- pie ordinate di numeri il cui massimo comun divisore ` e a e tali che il loro prodotto sia uguale a b. Dimostrare che, al variare di a e b, i numeri che si ottengono come soluzioni di questo problema sono 0 e tutte le potenze di 2.

(iii) Cosa accade se in (ii) si cambia ‘coppie ordinate’ con ‘terne ordinate’?

Soluzione. (i) Da MCD(x, y) = 10 segue che x = 10 · x ⁰ e y = 10 · y ⁰ , dove x ⁰ e y ⁰ sono numeri naturali primi tra loro, ossia MCD(x ⁰ , y ⁰ ) = 1. Quindi xy = 30000 equivale a x ⁰ y ⁰ = 300, cio´ e x ⁰ y ⁰ = 2 ² · 3 · 5 ² . Si pu` o avere quindi x ⁰ = 1, 2 ² , 3, 5 ² , 2 ² · 3, 2 ² · 5 ² , 3 · 5 ² , o 2 ² · 3 · 5 ² . Le soluzioni, ossia le coppie (x, y) di numeri naturali che sono soluzioni del sistema, sono quindi 8, vale a dire (10, 3000), (40, 750), (30, 1000), (250, 120), (120, 250), (1000, 30), (750, 40), (3000, 10).

(ii) Con un ragionamento analogo a quello del caso precedente, si osserva che se a ² non divide b non ci sono soluzioni. Invece se a ² divide b, il problema si riduce a quello di contare quante sono le coppie di numeri naturali primi fra loro x ⁰ , y ⁰ tali che il loro prodotto sia uguale a _a ^b

. Sia p ^α ₁

p ^α ₂

· · · p ^α _k

la fattorizzazione in primi di _a ^b

. Allora per ciascuno dei fattori p ^α _i

ci sono solo due possibilit` a: o compare nella fattorizzazione di x <sup>0</sup> (e in tal caso y <sup>0</sup> ` e primo con p i ), oppure compare nella fattorizzazione di y ⁰ (e in tal caso x ⁰ ` e primo con p i ).

Dunque ci sono 2 ^k modi diversi di costruire la coppia (x ⁰ , y ⁰ ).

Per concludere l’esercizio resta solo da osservare che, per ogni intero positivo k, si possono trovare a e b tali che nella fattorizzazione di _a ^b

compaiano esattamente k primi distinti.

(iii) Per prima cosa si osserva che se a ³ non divide b non ci sono soluzioni.

Invece, se a ³ divide b, il problema si riduce a quello di contare quante sono le terne di numeri naturali primi fra loro (x ⁰ , y ⁰ , z ⁰ ) tali che il loro prodotto sia uguale a _a ^b

. Sia p ^α ₁

p ^α ₂

· · · p ^α _k

la fattorizzazione in primi di _a ^b

. Questa volta per ciascuno dei fattori p ^α _i

ci sono le seguenti possibilit` a:

• pu` o accadere che p ^α _i

compaia nella fattorizzazione di uno (e uno solo) fra i numeri x ⁰ , y ⁰ , z ⁰ , mentre gli altri due sono primi con p i . Questi sono 3 casi;

1

2

• oppure pu` o accadere che il primo p i compaia nella fattorizzazione di due fra i numeri x ⁰ , y ⁰ , z ⁰ (ma non nella fattorizzazione di tutti e tre, altrimenti non sono primi fra loro!). Si tratta di 3(α i − 1) casi (infatti in 3 modi si sceglie la coppia di numeri divisi da p _i , poi ci sono α _i − 1 scelte della potenza esatta di p i che divide il primo di tali numeri).

In totale per ogni primo p i abbiamo 3α i scelte, dunque il numero di soluzioni al

problema ` e 3α 1 · 3α 2 · · · 3α k .

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Problema 2.

Una coppia decide di avere sei figli. Qual ` e la probabilit` a che la coppia abbia almeno due figli maschi e almeno una figlia femmina? (Le probabilit` a di avere un figlio che sia maschio o femmina ` e ¹ ₂ in entrambi i casi.)

Soluzione. Dobbiamo andare ad analizzare le sestuple (f 1 , f ₂ , f ₃ , f ₄ , f ₅ , f ₆ ) dove ogni f i ` e M o F . Le sestuple di tale tipo sono 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64. I casi in cui non avviene quanto richiesto sono:

(a) che si abbiano 0 maschi; oppure

(b) che si abbia esattamente un maschio; oppure (c) che si abbiano 6 maschi.

Il caso (a) si ha in una sola delle 64 sestuple possibili, la sestupla (F, F, F, F, F, F );

il caso (b) si ha in 6 sestuple, le sestuple (M, F, F, F, F, F ), (F, M, F, F, F, F ), . . . ,

(F, F, F, F, F, M ); il caso (c) si ha in un’unica delle 64 sestuple possibili, la sestupla

(M, M, M, M, M, M ). Quindi le sestuple che non soddisfano a quanto richiesto nel

testo del problema sono 1 + 6 + 1 = 8. Pertanto le successioni che soddisfano a

quanto richiesto nel testo del problema sono 64 − 8 = 56. Quindi la probabilit` a

richiesta ` e ⁵⁶ ₆₄ = ⁷ ₈ .

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Problema 3.

Si considerino le soluzioni reali positive della equazione tan x = x

e le si rappresentino mediante una successione a _n , n ∈ N, ove a n < a _n+1 per ogni n ∈ N. Si dica se il limite

n→∞ lim (a _n+1 − a _n ) esiste e in caso affermativo lo si calcoli.

Soluzione. Supponiamo direttamente che la successione sia indiciata in modo tale che ^(2n+1)π ₂ < a n < ⁽²ⁿ⁺³⁾ ₂ π per ogni n ∈ N 0 . Dalla uguaglianza

tan a n = a n

segue che

arctan tan a _n = arctan a _n . Si noti che

arctan tan a n = a n − (n + 1)π.

Dalle due precedenti ricaviamo dunque

a _n − (n + 1)π = arctan a n , e a _n+1 − (n + 2)π = arctan a n+1

da cui per sottrazione

a n+1 − a n = π + arctan a n+1 − arctan a n . Dalla precedente si vede subito che il limite richiesto esiste e vale

n→∞ lim (a n+1 − a n ) = π + lim

n→∞ (arctan a n+1 − arctan a n ) = π + π/2 − π/2 = π.

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Problema 4.

Sia n > 3 un numero naturale fissato. Dati n numeri positivi c ₁ , c ₂ , . . . , c _n , si denoti con S(c 1 , c 2 , . . . , c n ) la somma definita da

S(c 1 , c 2 , . . . , c n ) = c ₁ c 1 + c 2 + c 3

+ c ₂

c 2 + c 3 + c 4

+ · · · + c _n c n + c n+1 + c n+2

ove si ` e posto c n+1 = c 1 , c n+2 = c 2 . Pi` u precisamente, usando il simbolo di som- matoria

S(c ₁ , c ₂ , . . . , c _n ) =

n

X

k=1

c k

c _k + c _k+1 + c _k+2 .

(i) Provare che qualunque sia la scelta dei numeri positivi c 1 , . . . , c n si ha 1 < S(c 1 , c 2 , . . . , c n ) < n − 2 .

(ii) Dimostrare che l’intervallo aperto (1, n − 2) ` e il pi` u piccolo intervallo che contiene tutte le somme S(c ₁ , c ₂ , . . . , c _n ) al variare di tutte le possibili scelte di nu- meri positivi c 1 , c 2 , . . . , c n .

Soluzione (i) Poniamo s = c 1 + c 2 + . . . c n . Ovviamente c _k

s < c _k c k + c k+1 + c k+2

da cui sommando per k che va da 1 a n si ottiene 1 < S(c ₁ , c ₂ , . . . , c _n ).

Inoltre

c _k c k + c k+1 + c k+2

= c _k + c _k+1 + c _k+2 − c _k+1 − c _k+2 c k + c k+1 + c k+2

= 1 − c k+1 + c k+2

c k + c k+1 + c k+2

< 1 − c k+1

s − c k+2

s ovvero

c _k c k + c k+1 + c k+2

< 1 − c _k+1

s − c _k+2 s da cui sommando per k che va da 1 a n si ottiene

S(c ₁ , c ₂ , . . . , c _n ) < n − 2.

(ii) Scegliendo i numeri c k = x ^k ove x > 0, avremo S(x, x ² , . . . , x ^k ) = x

x + x ² + x ³ + · · · + x ⁿ⁻² x ⁿ⁻² + x ⁿ⁻¹ + x ⁿ

+ x ⁿ⁻¹

x ⁿ⁻¹ + x ⁿ + x + x ⁿ x ⁿ + x + x ² . Semplificando nei primi n − 2 addendi, si ottiene

S(x, x ² , . . . , x ^k ) = n − 2

1 + x + x ² + x ⁿ⁻¹

x ⁿ⁻¹ + x ⁿ + x + x ⁿ

x ⁿ + x + x ²

da cui passando al limite otteniamo

x→0 lim S(x, x ² , . . . , x ^k ) = n − 2, lim

x→∞ S(x, x ² , . . . , x ^k ) = 1

da cui segue che l’intervallo (1, n − 2) non pu` o essere rimpicciolito.

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Problema 5

Ogni punto nel mare la cui distanza dal contorno di un’isola ` e minore o uguale a 5 Km appartiene alle acque territoriali dell’isola. Calcolare l’area della superfi- cie ricoperta dalle acque territoriali di una isola a forma di poligono convesso di perimetro p.

Soluzione. L’area A ` e data dalla formula A = 5p + 5 ² π. Il primo addendo

esprime l’area della parte di acque territoriali ottenuta costruendo rettangoli di

altezza 5 km sui lati dell’isola. Il second addendo esprime il fatto che se si uniscono

i settori circolari che si aggiungono ai vertici si ottiene esattamente un cerchio

di raggio 5 km. Infatti gli angoli di tali settori circolari sono supplementari ai

corrispettivi angoli interni del poligono. Visto che la somma degli angoli interni di

un poligono convesso con n lati ` e (n − 2)π, la somma degli angoli supplementari ` e

uguale a nπ − (n − 2)π = 2π