Rn`e l’insieme delle n − uple ordinate di numeri reali x = (x1, x2

Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Anal- isi)

prof. B.Bacchelli.

04 - Vettori topologia in Rⁿ:

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2.

Cap. 1.2: In Rⁿ: vettori, somma, prodotto scalare, norma.

Cap. 1.3-1.4 : In R³ : equazione della retta, equazione del piano.

Cap.1.1: Cenni di topologia di Rⁿ : intorno di un punto, punti interni, esterni, di frontiera; insiemi aperti, chiusi.

Rⁿ`e l’insieme delle n − uple ordinate di numeri reali x = (x1, x2, ..., xn).

Un elemento di Rⁿ`e detto vettore se n ≥ 2, e lo indichiamo con carattere grassetto; se n = 1 `e detto scalare (carattere.normale).

Se n = 2 un vettore P `e un punto del piano cartesiano, se n = 3 `e un punto dello spazio, e parliamo indifferentemente di punti o vettori.

Ad un vettore P di R² o R³ associamo una direzione, cio`e quella del segmento OP che unisce l’origine degli assi O e il punto P, un verso, da O a P, e una lunghezza data dalla norma di P (vedi pi`u avanti).

Operazioni in Rⁿ.

Somma La somma di vettori `e somma per componenti:

x + y = (x₁+ y₁, x₂+ y₂, ..., x_n+ y_n).

Prodotto esterno. Il prodotto di un vettore x per uno scalare λ ∈ R `e il vettore dato da λx = (λx1, λx2, ..., λxn).

Se λ > 0, x e λx hanno stessa direzione, cio`e sono paralleli, e stesso verso, cio`e sono concordi. Se λ < 0 hanno verso opposto (discordi). I vettori x e −x sono opposti.

Norma (euclidea). La norma di un vettore x = (x₁, x₂, ..., x_n) di Rⁿ `e il numero reale definito da

|x| :=

vu utXⁿ

i=1

(x_i)² Ha le propriet`a seguenti ∀x, y ∈ Rⁿ:

1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ⇔ x = 0;

2) |λx| = |λ| |x| , ∀λ ∈ R;

3) |x + y| ≤ |x| + |y| (disuguaglianza triangolare);

Un versore `e un vettore di norma 1. Dato un vettore v 6= 0, allora u = v

|v| `e un versore, cio`e |u| = 1, parallelo e concorde a v.

Prodotto scalare (o prodotto interno). Il prodotto scalare di due vettori x e y `e il numero reale

x · y :=

Xn i=1

x_i y_i

Propriet`a del prodotto scalare.

a) x · y ∈R b) x · y = y · x

c) λx · y = x · λy =λ(x · y), λ ∈ R d) x · x = |x|²

e) |x · y| ≤ |x| |y| (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz).

In R² e in R³ si dimostra che x · y = |x| |y| cos θ, dove θ ∈ [0, π] `e l’angolo compreso tra i due vettori x e y.

In Rⁿl’angolo compreso tra due vettori x e y `e definito come quell’angolo θ ∈ [0, π] tale che soddisfa

x · y = |x| |y| cos θ cio`e θ := arccos

µ x · y

|x| |y|

¶ .

Ortogonalit`a. Se il prodotto scalare `e nullo, x · y =0, i due vettori si dicono ortogonali (o perpendicolari).

La base canonica di Rⁿ `e costituita dai versori e<sub>1</sub> = (1, 0, ..., 0), e<sub>2</sub> = (0, 1, 0, ..., 0),...,en= (0, ..., 0, 1), e si pu`o scrivere

x = Xn k=1

x_ke_k.

In R²i versori degli assi cartesiani si indicano comunemente con i = (1, 0), j = (0, 1), e sono ortogonali tra loro (verificare con la definizione data sopra).

In R³ i versori degli assi cartesiani si indicano comunemente con i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1), essi sono mutuamente ortogonali, e for- mano una terna destrorsa.

In R³ ( e solo in questo spazio a 3 dimensioni) si definisce il prodotto vettoriale (def 5, cap. 1.3).

Prodotto vettoriale. Il prodotto vettoriale di due vettori x e y `e l’unico vettore, indicato con x × y, che soddisfa le tre condizioni seguenti:

(i) (x × y) · x = 0 e (x × y) · y = 0;

(ii) |x × y| = |x| |y| sin(θ), dove θ `e l’angolo compreso fra x e y;

(iii) x, y e x × y formano una terna destrorsa.

Si dimostra che, se x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3), allora x × y =

¯¯

¯¯

¯¯

i j k

x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃

¯¯

¯¯

¯¯ (determinante)

Si dimostra facilmente dalla (ii) che |x × y| `e uguale all’area del paralle- logramma che ha per lati i vettori x e y (aventi un vertice in comune).

Si dimostra (meno facilmente) che |(x × y) · w| `e uguale al volume del parallelepipedo che ha per lati i vettori x, y e w.

Piano in R³. Un piano passante per P₀ = (x₀, y₀, z₀) con vettore nor- male (al piano) n = (A, B, C) `e l’insieme di tutti i punti P =(x, y, z) di R³ soddisfacenti l’equazione

n · (P − P₀) =0, (forma vettoriale) ovvero

A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0, (forma scalare) o anche

Ax + By + Cz = D, dove D = Ax₀+ By₀+ Cz₀.

Tre punti non allineati P, Q, R, individuano un piano τ . Detti u = P − Q e v = R − Q. Per la (i), il prodotto vettoriale (u × v) `e ortogonale sia a u che a v e quindi `e un vettore parallelo alla normale al piano τ.

Es. Dati i tre punti S = (0, 1, 0), Q = (−1, 2, 1), R = (−1, 0, 1), scrivere l’equazione del piano da essi individuato.

Siano u = P − Q = (1, −1, −1), v = P − R = (1, 1, −1). La direzione della normale al piano `e uguale a

u × v =

¯¯

¯¯

¯¯

i j k

1 −1 −1

1 1 −1

¯¯

¯¯

¯¯= 2i+2k =(2, 0, 2)

Se indichiamo con P =(x, y, z) il generico punto nello spazio tridimen- dionale, allora l’equazione del piano `e (u × v) · (P − S) =0, cio`e nel nostro caso x + z = 0

Retta in Rⁿ.Una retta per passante per a di direzione v ha equazione parametrica vettoriale

x = a + tv, t ∈ R.

La semiretta di origine a e direzione e verso di v ha equazione:

x = a + tv, t ≥ 0.

Il segmento di estremi a, b percorso da a a b ha equazione:

x = ta + (1 − t)b, 0 ≤ t ≤ 1.

In R³ , detto a =(a, b, c), e v = (v₁, v₂, v₃) il vettore direzione, le equazioni parametriche scalari della retta sono





x = a + tv₁ y = b + tv₂ z = c + tv3

, t ∈ R

o anche

x − a

v₁ = y − b

v₂ = z − c v₃

Si noti che in questo modo la retta `e rappresentata dall’intersezione di due piani.

Es. Le equazioni





x = 2 + t y = 3t z = 5

, t ∈ R

rappresentano una retta passante per a =(2, 0, 5) parallela al vettore v =(1, 3, 0), ed `e intersezione del piano z = 5 col piano y = 3(x − 2).

Es.:

La retta in R² di equazione y = mx + q ha la direzione del vettore u = (1, m); il versore parallelo e concorde a u `e v =

µ 1

√1 + m², m

√1 + m²

¶

; il versore parallelo e discorde a u `e −v. Si noti che , se m = tg(θ), allora

√ 1

1 + m² = cos(θ) e m

√1 + m² = sin(θ). Un vettore perpendicolare alla retta `e w = (1, − 1

m).

La retta in R² di equazione ax + by + c = 0 ha la direzione del vettore u = (b, −a); il versore parallelo e concorde a u `e v =

µ b

√a²+ b², −a

√a²+ b²

¶

,.quello discorde `e −v. Un vettore perpendicolare alla retta `e w = (a, b).

Es. In R² trovare i versori u nella direzione della retta 3x − 2y + 5 = 0 e quelli w nella direzione ortogonale:

la retta ha equazione 2y = 3 x + 5 (m = 3/2) ed `e parallela al vettore v =(2, 3), quindi u1= v

|v| = ( 2

√13, 3

√13), u2 = −u1;

la direzione ortogonale a v `e c =(3, −2), (in questo caso m⁰ = −2/3) quindi w₁= c

|c| = ( 3

√13, − 2

√13), w₂ = −w₁. Cenni di topologia di Rⁿ

Siano D, F insiemi di Rⁿ. D^c indica l’insieme complementare di D in Rⁿ. Intorno U_r(a) di un punto a di raggio r > 0 `e l’insieme:

U_r(a) = {x ∈Rⁿ : |x − a| < r}

per esempio: in R, U_r(a) = (a − r, a + r);

in R², se a=(a,b) U_r(a, b) =n

(x, y)∈R² :p

(x − a)²+ (y − b)² < ro cio`e un disco privato del bordo, di centro (a, b) e raggio r;

in R³, a=(a,b,c) Ur(a, b, c) `e una sfera (priva della superficie esterna) di centro (a, b, c) e raggio r.

a `e punto interno a D se esiste un intorno di a tutto contenuto in D.

a `e punto esterno a D se a `e interno a D^c, complementare di D.

a `e di frontiera di D se in ogni intorno di a ci sono punti di D e punti di D^c.

a `e punto di accumulazione di D se in ogni intorno di a ci sono infiniti elementi di D. Un punto di accumulazione di D pu`o essere punto interno o di frontiera.

D `e insieme aperto se ogni suo punto `e punto interno a D.

F `e insieme chiuso se F<sup>c</sup>`e aperto.

L’insieme vuoto e l’insieme totale Rⁿ sono sia aperti che chiusi.