Analisi Matematica II

Universit` a degli Studi “LA SAPIENZA” di Roma

INGEGNERIA AEROSPAZIALE

canale A-K A.A. 2008/2009

Programma di

Analisi Matematica II

Prof. Dario Salvitti

Integrali impropri

Integrazione di funzioni non limitate o su domini di integrazione non limitati. Criteri di integrabilit` a al finito ed all’infinito: criterio del con- fronto, criterio asintotico. Integrabilit` a assoluta. L’integrabilit` a asso- luta implica l’integrabilit` a. Il teorema inverso ` e falso. Criterio integrale per le serie numeriche e serie associata ad una funzione. Funzioni non infinitesime integrabili all’infinito. Criterio di integrabilit` a all’infinito per integrali del tipo

Ê

+∞

a x ^m sin x ⁿ d x.

Successioni e serie di funzioni

Convergenza puntuale, convergenza uniforme. Norma ||·|| ∞ nello spazio delle funzioni limitate. Limite uniforme di funzioni continue ` e contin- uo. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale per suc- cessioni di funzioni integrabili. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale per successioni di funzioni continue. Passaggio al limite sotto il segno di derivata. Teorema di Dini per successioni di funzioni monotone. Cenni alle serie di funzioni. Convergenza semplice e convergenza uniforme di una serie di funzioni. Criterio di Weierstrass.

Teorema di Cauchy. Propriet` a di continuit` a, di passaggio al limite e di derivabilit` a sotto il segno di sommatoria. Serie di Taylor.

Equazioni differenziali ordinarie

Definizioni. Problema di Cauchy. Equazioni lineari.

Equazioni differenziali del primo ordine: equazioni a variabili sepa- rabili; equazioni della forma x = f(y ^ ) , y = f(y ^ ) , f(y ^ ) = 0; equazioni omogenee (G. Manfredi); equazioni della forma y ^ = f

_{a 1} ^ax+by+c _{x+b 1 y+c 1}

; equazioni lineari; metodo della variazione delle costanti arbitrarie;

equazione di G. Bernoulli; equazione di J. Riccati; equazione di Clairaut;

equazione di D’Alambert-Lagrange.

Equazioni differenziali di ordine superiore al primo: equazioni delle forme y ⁽ⁿ⁾ = ϕ(x), F (y ⁽ⁿ⁻¹⁾ , y ⁽ⁿ⁾ ) = 0 , F (y ⁽ⁿ⁾ ) = 0; equazioni della forma F (x, y ^ , y ^ , . . . , y ⁽ⁿ⁻¹⁾ , y ⁽ⁿ⁾ ) = 0 ( n
2); equazioni della for- ma F (y, y ^ , y ^ , . . . , y ⁽ⁿ⁻¹⁾ , y ⁽ⁿ⁾ ) = 0 ( n > 1); equazioni della forma F (y ^ , y ^ , . . . , y ⁽ⁿ⁻¹⁾ , y ⁽ⁿ⁾ ) = 0 ( n > 1); equazioni omogenee della for- ma F (x, y, y ^ , y ^ , . . . , y ⁽ⁿ⁻¹⁾ , y ⁽ⁿ⁾ ) = 0 ( n > 1); equazioni differenziali lineari; metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni dif- ferenziali lineari a coefficienti costanti: equazione omogenea associata, polinomio caratteristico, integrali particolari, metodo della somiglianza, principio di sovrapposizione.

Calcolo differenziale per funzioni di pi` u variabili

Richiami sugli spazi auclidei: Basi ortonormali, prodotti scalari, norme e distanze in R ⁿ . Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Richiami di topologia: insiemi aperti o chiusi, punti interni, esterni, di fron- tiera; punti di accumulazione, intorni. Aperti connessi. Teorema di Bolzano-Weierstrass. L’infinito in R ⁿ , l’estensione R ⁿ ∪ {∞}, intorni dell’infinito.

Domini di funzioni scalari di due variabili. Curve parametrizzate.

Limiti e continuit` a di funzioni da R ⁿ a R ^m . Funzioni limitate. Calcolo dei limiti in coordinate polari piane o sferiche. Limiti doppi e limiti iterati.

Derivate parziali. Gradiente. Derivazione di funzioni composte. Re- gola della catena. Derivate successive. Teorema di Schwartz (dell’inver- sione dell’ordine di derivazione). Piano tangente al grafico di una fun- zione scalare di due variabili. Differenziabilit` a. La differenziabilit` a im- plica la continuit` a. Differenziale. Regola della catena generale. Deriva- ta di un determinante. Funzioni di classe C ^k . Teorema del differenziale totale. Derivate direzionali. Gradiente. Formula del gradiente. Di- rezione di massimo e minimo accrescimento. Teorema del valor medio per funzioni scalari di n variabili. Formula di Taylor al secondo ordine per funzioni scalari di due variabili. Differenziale secondo. L’hessiano.

Se il gradiente di una funzione continua ` e nullo in un aperto connesso, allora la funzione ` e ivi costante. Formula di Taylor al secondo ordine per funzioni scalari di n variabili.

Problemi di massimo e minimo libero per funzioni di pi` u variabili.

Estremanti relativi propri o non propri. Estremanti assoluti. Punti

stazionari. Condizioni necessarie per l’esistenza di estremanti: teore- ma di Fermat ; la matrice hessiana deve essere semidefinita(positiva o negativa). Condizione sufficiente per l’esistenza di estremanti: la matrice hessiana sia definita (positiva o negativa). Condizioni sugli autovalori della matrice hessiana. Condizioni necessarie e sufficienti affinch` e le radici di un polinomio a coefficienti reali siano dello stes- so segno. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l’esistenza di estremanti relativi riformulate in termini di minori principali della matrice hessiana.

Estremanti vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (caso di un solo vincolo).

Curve e superfici

Curve di classe C ^k , curve regolari, regolari a tratti, chiuse, semplici.

Sostegno di una curva. Il grafico di una funzione f : R → R di classe C ¹

` e una curva regolare semplice in R ² . Diffeomorfismi tra intervalli chiusi, riparametrizzazioni, curve equivalenti. Versore tangente. Due curve equivalenti con stesso orientamento hanno lo stesso versore tangente.

Lunghezza di una curva. Due curve regolari equivalenti hanno stessa lunghezza. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei.

Superfici regolari. Versore normale. Superfici equivalenti. Superfici orientate. Area di una superficie. Formula dell’area di una superficie di rotazione. Integrali di superficie. Superfici regolari a tratti.

Il teorema delle funzioni implicite (Dini) nel caso di un’equazione in due o tre variabili. Il teorema delle funzioni implicite nel caso di un sistema di due equazioni in tre incognite. Il teorema delle funzioni implicite nel caso generale (funzioni vettoriali di pi` u variabili reali).

Integrazione multipla secondo Riemann

Integrazione secondo Riemann di funzioni scalari di pi` u variabili. Pro- priet` a degli integrali doppi. Area di un insieme misurabile secondo Peano-Jordan. Insiemi di misura nulla. Additivit` a rispetto al dominio di integrazione. Domini semplici rispetto ad uno degli assi cartesiani.

Formule di riduzione per rettangoli o per domini semplici. Integrali tripli. Formule di riduzione: integrazione per fili e integrazione per strati. Applicazione dell’integrazione per fili al caso di domini sempli- ci e dell’integrazione per strati al calcolo del volume di solidi di ro- tazione. Misura dell’immagine di un diffeomorfismo e calcolo di aree.

Cambi amenti di variabili negli integrali multipli. Jacobiani. Trasfor- mazioni in coordinate polari, sferiche, cilindriche come diffeomorfismi tra aperti. Baricentro di un insieme. Il teorema di Pappo-Guldino.

Calcolo dell’integrale notevole

Ê

+∞

−∞ e ^{−x 2} d x.

Formula di derivazione sotto il segno di integrale nel caso generale.

Derivata nel caso particolare di F (t) =

_α(t) ^β(t) f(x, t) dx.

Forme differenziali

Forme differenziali di classe C ^k su aperti di R ⁿ . Integrale di forme dif- ferenziali su curve regolari a tratti. Indipendenza dell’integrale dalla parametrizzazione. Forme differenziali esatte. L’integrale di una forma esatta dipende solo dagli estremi della curva. Condizioni necessarie e sufficienti affinch` e una forma differenziale sia esatta. Forme chiuse. Una forma esatta ` e chiusa. Il teorema inverso ` e falso. Domini stellati e do- mini semplicemente connessi. Condizioni sufficienti sul dominio affinch` e una forma chiusa sia esatta.

Aperti regolari. Normale esterna. Campi vettoriali. Teorema della divergenza (Gauss-Green). Formule di Gauss-Green per il piano. Orien- tazione positiva per il bordo di un dominio regolare. Rotore di un campo vettoriale. Il teorema di Stokes e suo significato geometrico. Potenziale vettore.

Gli argomenti in corsivo sono stati dimostrati

TESTI DI RIFERIMENTO

M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi matematica, McGraw- Hill

E. Giusti, Analisi matematica 2, Boringhieri (1 ^a edizione)

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori

L. Moschini, R. Schianchi, Esercizi svolti di Analisi Matematica, Esculapio

M. Amar, A. M. Bersani, Esercizi di Analisi Matematica (2 ^a edizione), Esculapio

D. Andreucci, A. M. Bersani, Risoluzione di problemi d’esame di

Analisi Matematica II (2 ^a edizione), Esculapio