reale avente la densità f (x) dell’esercizio 1

Esercizio 1. Dopo aver dichiarato per quali valori del parametro la funzione f (x) = C 1_x<1(2 x) ²

è integrabile (preliminarmente, chiarire dove può esserci un problema di integrabilità), trovare C per cui essa è una densità di probabilità. Dire perché, per = 1, il valore atteso esiste …nito (senza calcolarlo) e stabilire se la varianza è …nita o in…nita.

1

Esercizio 2. Sia X una v.a. reale avente la densità f (x) dell’esercizio 1. Trovare la densità di Y = 1 X, arrivando alla formula …nale esplicita. Trovare inoltre la densità f_Z(z) di Z = jXj, esplicitando il risultato …nale nella forma

fZ(z) = 8<

:

::: per z :::

::: per z :::

::: per z :::

2

1 Soluzioni

1. La funzione f (x) = C 1_x<1(2 x) ² è limitata perché per x < 1 risulta 2 x > 1, quindi jf (x)j C . Il problema dell’integrabilità è solo per x ! 1. E’integrabile se 2 + > 1, cioè se > 1. Vale

Z

f (x) dx = C Z 1

1

(2 x) ² dx^{y=2 x}= C Z ₁

1

y ² dy

= C y ¹

1

1 1

= C 1

1 + da cui C = 1 + .

Per = 1 la speranza è …nita, perché la funzione xC 1_x<1(2 x) ³è integrabile a 1 (decade come jxj ²) ma la varianza è in…nita perché, detta la media,

Z

(x )²f (x) dx

diverge in quanto (x )²f (x) decade come jxj ¹ per x ! 1.

2. La densità f_Y (y) si trova con la formula

f_Y (y) = f_X(x) jy=1 x= f_X(1 y) = (1 + ) 1_{1 y<1}(2 (1 y)) ²

= (1 + ) 1_y>0(1 + y) ²

(il denominatore nel primo passaggio è il modulo della derivata della trasformazione).

Per Z vale

F_Z(z) = P (Z z) = P (jXj z) uguale a zero per z 0, mentre per z > 0

= P ( z X z) = FX(z) FX( z) da cui f_Z(z) = 0 per z 0, mentre per z > 0

fZ(z) = F_Z⁰ (z) = F_X⁰ (z) + F_X⁰ ( z) = fX(z) + fX( z)

= (1 + ) 1_z<1(2 z) ² + (1 + ) 1_{z> 1}(2 + z) ² : Pertanto

fZ(z) = 8>

<

>:

0 per z 0

(1 + ) (2 z) ² + (2 + z) ² per 0 < z 1 (1 + ) (2 + z) ² per z > 1

:

3