Problema 1. Si consideri un modello statistico parametrico ( ; F; (P ) 2(0;1) ) in cui è de…nita una variabile aleatoria X, avente legge con densità

Elementi di Probabilità e Statistica - 052AA - A.A.

2014-2015

Prova scritta - 10 luglio 2015

Problema 1. Si consideri un modello statistico parametrico ( ; F; (P ) 2(0;1) ) in cui è de…nita una variabile aleatoria X, avente legge con densità

f (x; ) = c I _fx>0g ^x ; x 2 R:

1. Determinare c a¢ nché f (x; ) sia una densità di probabilità.

2. Mostrare che U : ! 7! I [1;1) (X(!)) è una stima corretta della funzione g( ) = , e determinarne il rischio (quadratico).

3. Mostrare che, per ogni k 1, la variabile U k : ! 7! I [k;1) (X(!)) è una stima corretta della funzione g( ) = ^k , e determinarne il rischio (quadratico).

Problema 2. Data una variabile aleatoria X : ! R, diciamo che numero reale m tale che P(X < m) ¹ ₂ e P(X > m)g ¹ 2 è una mediana per X.

1. Mostrare che (almeno) una mediana esiste sempre, ma non è necessari- amente unica.

2. Determinare una mediana nel caso in cui X abbia legge binomiale Bin(n; 1=2) (n 1); similmente, nel caso in cui X abbia legge geo- metrica di parametro p 2 (0; 1) (secondo la de…nizione nelle dispense).

3. Determinare una mediana nel caso in cui X abbia legge gaussiana N (m; ² ) (m 2 R, ² > 0); similmente, nel caso is cui X abbia legge esponenziale Exp( ) ( > 0).

4. Per ogni M > 0, esibire una variabile aleatoria X tale che, per qualunque mediana m di X, valga jE[X] m j M .

Problema 3. Una carta di controllo della qualità è uno strumento gra…co-

statistico con cui viene esaminata ad esempio una produzione industriale per

controllare che la qualità del prodotto non peggiori nel tempo. Ad esempio si

pensi alla produzione di pistoni cilindrici, il cui diametro varia leggermente da

esemplare ad esemplare per motivi di imprecisione di produzione. Si suppone

che, all’inizio dell’utilizzo della carta di controllo, il processo produttivo sia

sotto controllo ed il diametro D sia una v.a. gaussiana di media 2 cm e

deviazione standard 0.1 mm. La carta di controllo è un gra…co cartesiano

t d in cui in ascisse (t) c’è il tempo, in ordinate (d) il valore medio empirico

del diametro calcolato esaminando un campione di n pistoni. Il controllo

viene eseguito ogni 7 giorni, quindi nel gra…co viene segnato un punto in corrispondenza di ogni momento di controllo (t=7, 14, 21 ecc.) e del valore d = _n ¹ (d ₁ + ::: + d _n ) della media empirica del campione esaminato quel giorno lì. Intuitivamente, se il gra…co si allontana troppo dalla retta orizzontale d = 2 (quella della media vera; indicata con CL in …gura), vuol dire che il processo produttivo è fuori controllo.

1. Se il processo è rimasto inalterato, qual’è la probabilità che un singolo pistone abbia diametro maggiore di 2.02 cm?

2. Se il processo è rimasto inalterato, qual’è la probabilità che la media empirica di 9 pistoni abbia diametro maggiore di 2.01 cm? E che, in 5 settimane consecutive, accada che esattamente due volte la media empirica di 9 pistoni abbia diametro maggiore di 2.01 cm?

3. Identi…care, attorno alla retta d = 2, una banda simmetrica (identi…- care cioè due rette d = 2 , quelle indicate con UCL e LCL in …gura) con la proprietà che, se il processo è rimasto inalterato, la media em- pirica di 9 pistoni abbia diametro fuori dalla banda con probabilità 0:05. Interpretare questo calcolo secondo quanto studiato nel corso.

4. Supponiamo che, una certa settimana, il processo sia fuori controllo

(ad es. per un deterioramento di una parte dell’impiano produttivo),

al punto che nella nuova situazione la media vera di D sia 2.02 cm,

sempre con deviazione 0.1 mm. Riesce, quella settimana, la nostra carta

di controllo (cioè quella con la banda costruita al punto precedente) a

scoprire che il sistema è fuori controllo o meglio, con quale probabilità lo

scopre? Interpretare questo calcolo secondo quanto studiato nel corso.

1 Soluzioni

Esercizio 1.

1. Notiamo che, se poniamo := log > 0, possiamo scrivere f (x; ) = c I _fx>0g ^x = c I _fx>0g e ^x

e vediamo che f (x; ) è una densità esponenziale di parametro , per cui necessariamente c = = log .

2. Usiamo la notazione = log , così = e . Vale E [U] =

Z ₁

1

e ^x dx = e = ;

quindi U è una stima corretta. Per calcolare il rischio quadratico, che quindi coincide con la varianza, è su¢ ciente notare che U è una variabile aleatoria a valori in f0; 1g, quindi la sua legge è Bernoulli di parametro

, e quindi il rischio vale Var(U ) = (1 ).

3. Il ragionamento è simile al punto precedente, la notazione = log , così = e . Vale

E [U ^k ] = Z ₁

k

e ^x dx = e ^k = ^k ;

quindi U k è una stima corretta. Similmente, il rischio vale Var(U k ) =

k (1 ^k ).

Esercizio 2.

1. Basta ricordare la de…nizione di quantile per una v.a. generale: sia m :=

inf t 2 R : P(X t) > ¹ ₂ e mostriamo che m è una mediana. Infatti, data una successione t n # m, vale P(X m) = lim _n!1 P(X t) ¹ ₂ , quindi P (X > m) ¹ ₂ . D’altra parte, se consideriamo una successione t _n " m, vale P(X < m) = lim n!1 P(X t _n ) ¹ ₂ . Per mostrare che non è unica, basta considerare una v.a. con legge Bin(1; 1=2): ogni m 2 [0; 1] è una mediana.

2. La legge Bin(n; 1=2) è simmetrica rispetto ad n=2: se X ha legge Bin(n; 1=2), vale P(X k) = P(n X k) (oltre dall’espressione esplicita, questo si vede anche notando che X P n

i=1 X _i con X i i.i.d.

con legge Bin(1; 1=2) e X i 1 X _i , da cui X P n

i=1 (1 X _i ) n X).

In particolare, vale P(X < n=2) = P(n X < n=2) = P(X > n=2), che necessariamente è minore o uguale a ¹ ₂ , perché P(X < n=2) + P(X >

n=2) = P(X 6= n=2) 2 [0; 1]. Pertanto m = n=2 è una mediana.

Per la legge geometrica di parametro p, basta trovare il minimo m tale che

P(X > m) = X 1 n=0

p(1 p) ^m+n = (1 p) ^m 1 2

ossia m è il minimo intero maggiore o uguale a log 2= log(1 p).

3. Nel caso di legge gaussiana N (m; ² ), la mediana è unica e coincide con la media m (per via della simmetria 2m X X). Per la legge esponenziale, basta risolvere

P(X > m) = e ^m = 1 2 ; da cui m = log 2= .

4. Consideriamo una v.a. Y con legge Bin(1; 1=3), e poniamo X = 3M Y , il cui valore atteso è M , ma la sua unica mediana è m = 0.

Esercizio 3.

1. Osservando che essendo D N (2; 0:01 ² ) (esprimiamo tutte le grandezze numeriche in cm), quindi Z := ^{D 2} _0:01 N (0; 1), vale

P (D > 2:02) = 1 P (D 2:02) = 1 P D 2 0:01

2:02 2 0:01

= 1 P (Z 2) = 1 0:9772 = 0:0228:

2. Dette D 1 ; :::; D ₉ nove v.a. indipendenti distribuite come D e detta D = ¹ ₉ (D ₁ + ::: + D ₉ ) la loro media empirica, sappiamo dalla teoria che D N 2; ^0:01 ₉

= N 2; ^0:01 ₃ ² , quindi Z := ^{D 2} _0:01 3 N (0; 1).

Pertanto

P D > 2:01 = 1 P D 2:01 = 1 P D 2

0:01 3 2:01 2 0:01 3

= 1 P (Z 3) = 1 0:9986 = 0:0014:

Il numero N di volte, in 5 settimane, che D supera 2.01 è una B (5; p), con p = 0:0014. Pertanto

P (N = 2) = 5

2 p ² (1 p) ³ = 10 0:0014 ² 0:9986 ³ = 1:9518 10 ⁵ :

3. Vogliamo che

P D 2 > " 0:05:

Come sopra, il problema è

P D 2

0:01 3 > 3"

0:01 0:05

ovvero, detto = _0:01 ^3" , P (jZj > ) 0:05, P (Z > ) 0:025, P (Z ) 0:975,

= q _0:975 = 1:96 quindi in…ne

" = 0:01 1:96

3 = 0:00653:

E’un problema di test d’ipotesi: H ⁰ ) media = 2, H ¹ ) media 6= 2, regione di ri…uto di livello 0:05: D 2 > " . Matematicamente equivale a trovare un intervallo di …ducia, ma concettualmente ciò che stiamo facendo tramite la carta di controllo è un test.

4. Sempre con " = 0:00653, essendo ora Z := ^{D 2:02} _0:01 3 N (0; 1), dobbi- amo calcolare

P m=2:02; =0:01 D 2 > "

che approssimiamo a

P m=2:02; =0:01 D > 2 + " = 1 P m=2:02; =0:01 D 2 + "

= 1 P m=2:02; =0:01 D 2:02

0:01 3 2 + " 2:02 0:01 3

= 1 P (Z 4:041)

= P (Z 4:041) = 0:99997:

E’il problema della potenza del test: essa è P ^{m= ; =0:01} D 2 > "

al variare di 6= 2; qui è chiesto speci…camente il valore della potenza

in = 2:02.