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Y 1≤i<j≤n  1 + 2aiaj ai+ aj

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Academic year: 2021

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Problem 11971

(American Mathematical Monthly, Vol.124, April 2017) Proposed by S. P. Andriopoulos (Greece).

For n ≥2, let a1, . . . , an be positive real numbers. Prove

n

Y

i=1

(1 + ai)

!n−1

≥

 Y

1≤i<j≤n



1 + 2aiaj

ai+ aj



2

.

Solution proposed by Roberto Tauraso, Dipartimento di Matematica, Universit`a di Roma “Tor Vergata”, via della Ricerca Scientifica, 00133 Roma, Italy.

Solution. We first note that if x, y > 0 then

(1 + x)(1 + y) −



1 + 2xy x+ y

2

= (x + xy + y)(x − y)2 (x + y)2 ≥0.

Hence

n

Y

i=1

(1 + ai)

!n−1

= Y

1≤i<j≤n

(1 + ai)(1 + aj) ≥ Y

1≤i<j≤n



1 + 2aiaj

ai+ aj

2

=

 Y

1≤i<j≤n



1 + 2aiaj

ai+ aj



2

.



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