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Il piano cartesiano e la retta”
Il piano cartesiano e la retta”
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Il piano cartesiano e la retta”
Il piano cartesiano e la retta”
Mappe, schemi riassuntivi ed esercitazioni
Mappe, schemi riassuntivi ed esercitazioni
Docente: Donatiello AngelaMAPPA DEL MODULO
IL PIANO CARTESIANO
PUNTI E SEGMENTI FUNZIONI LINEARI: LE RETTE
APPLICAZIONI ECONOMICHE PROBLEMI SULLE RETTE COEFFICIENTE ANGOLARE PROBLEMI DI SCELTA
PUNTI NEL PIANO CARTESIANO
IN UN PIANO CONSIDERIAMO DUE RETTE PERPENDICOLARI CHE CHIAMIAMO X E Y, ORIENTATE, NEL SENSO CHE STABILIAMO UN VERSO DI CRESCENZA DEI NUMERI.
SOLITAMENTE, DISEGNIAMO LA RETTA X ORIZZONTALMENTE E
ORIENTATA DA SINISTRA A DESTRA, LA RETTA Y VERTICALMENTE E ORIENTATA DAL BASSO VERSO L'ALTO. LE DUE RETTE SI CHIAMANO ASSI COORDINATI E IL LORO PUNTO D'INTERSEZIONE O SI CHIAMA ORIGINE.
STABILIAMO, INFINE, UNA UNITÀ DI MISURA, U CHE CI CONSENTE DI MISURARE LE LUNGHEZZE SUI DUE ASSI.
IN MATEMATICA, SI PRENDE LA STESSA UNITÀ DI MISURA PER
L'ASSE X E PER L'ASSE Y. SI DICE CHE NEL PIANO È STATO FISSATO UN SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO.
È POSSIBILE STABILIRE UNA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA I PUNTI P DEL PIANO E LE COPPIE DI NUMERI REALI (X,Y).
DAL PUNTO P SI TRACCIA LA PARALLELA PH ALL'ASSE Y E LA PARALLELA PK ALL'ASSE X. LA LUNGHEZZA DI OH RAPPRESENTA L'ASCISSA DEL PUNTO P,
MENTRE LA LUNGHEZZA DI OK RAPPRESENTA L'ORDINATA DEL PUNTO P. CHIAMIAMO X L’ASCISSA E Y L’ORDINATA. LA COPPIA DI NUMERI (X,Y)
VENGONO DETTE COORDINATE DEL PUNTO P.
VICEVERSA, ASSEGNATA UNA COPPIA DI NUMERI REALI (X,Y),
INDIVIDUIAMO PRIMA IL PUNTO H, POI IL PUNTO K, INFINE, TRACCIANDO LE DUE PARALLELE AGLI ASSI, SI OTTIENE IL PUNTO P.
DISTANZA TRA DUE PUNTI
2
1
2
2
1
2
X
)
(
Y
Y
)
X
(
PQ
P (X
1,Y
1) Q (X
2,Y
2)
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
2
X
X
X
M
1
2
2
Y
Y
Y
M
1
2
ESERCITAZIONI
1. DATI I PUNTI A(3,-2) E B(-5,4):
A. RAPPRESENTARLI SUL PIANO;
B. CALCOLARE LA LORO DISTANZA;
C. CALCOLARE LE COORDINATE DEL PUNTO MEDIO.
2. DATI I PUNTI A(0,-7) E B(1,6):
A. RAPPRESENTARLI SUL PIANO;
B. CALCOLARE LA LORO DISTANZA;
EQUAZIONE DI UNA RETTA
FORMA ESPLICITA FORMA IMPLICITA
y = m x + q
ax+by+c = 0
COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA
FORMA ESPLICITA y = m x + q FORMA IMPLICITA ax+by+c = 0m
b
a
Esempio: y = 3 x + 5 m = 3 Esempio: 3x – y + 5 = 0 m = 3 1 3 y = m x + q RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE RETTA NON PASSANTE PER L’ORIGINE q = 0 q 0
y = 4 x Y = 6 x + 9CASI PARTICOLARI DI RETTE
y = k
Rette parallele all’asse x
y = x
Bisettrice del I e III quadrante x = k Rette parallele all’asse y y = - x Bisettrice del II e IV quadrante X = 0 asse y Y = 0 asse x Esempi:
Y = 3 retta parallela all’asse x X = 2 retta parallela all’asse y
y = x y = - x x y x = 2 y = 3 Y = 0 X = 0
ESERCITAZIONI
1. DATE LE SEGUENTI RETTE A. Y = 3X – 1 B. 3 X + 2 Y -5 = 0 C. X + 4 Y – 3 = 0 D. Y = X - E. Y = 5 X F. 6X – Y = 0
• INDICA QUALI TRA ESSE SONO IN FORMA IMPLICITA E QUALI IN FORMA ESPLICITA;
• CALCOLA IL COEFFICIENTE ANGOLARE DI OGNI RETTA; • INDICA QUALI TRA ESSE PASSANO PER L’ORIGINE;
• RAPPRESENTALE NEL PIANO CARTESIANO.
4 3
4
1
RETTE PARALLELE RETTE PERPENDICOLARI HANNO LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE Y = m x + q Y = m1 x + q1 PARALLELE
//
m = m
1 Y = m x + q Y = m1 x + q1 PERPENDICOLARIm
1 =
m
1
ESEMPI DI RETTE PARALLELE E
PERPENDICOLARI
1. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE Y = 3 X + 5 E Y = 3 X – 2 SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PARALLELE PERCHE’ HANNO LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE 3
2. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE Y = 5 X -1 E Y = X SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PERPENDICOLARI
5
1
3. DATE LE RETTE IN FORMA IMPLICITA
2X – 4 Y + 1 = 0 E X – 2 Y + 5 = 0
SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PARALLELE POICHE’ HANNO LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE
M = 4. DATE LE RETTE IN FORMA IMPLICITA
3 X – 5 Y + 2 = 0 E 15 X + 9 Y – 2 = 0
SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PERPENDICOLARI POICHE’ I COEFFICIENTI SONO ANTIRECIPROCI:
M1 = M2 =
2
1
5
3
3
5
ESERCITAZIONI
1. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE
X – 5Y + 1 = 0 2X – 4Y + 3 = 0 X -2Y = 0
X – 2Y = 5 Y = X – 6 X – Y + 2 = 0 INDIVIDUA TRA ESSE LE RETTE TRA LORO PARALLELE
2. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE
X – Y + 1 = 0 Y + X – 3 = 0 3X + Y = 2 6X – 2Y – 7 = 0 3X – Y + 5 = 0 X + 3Y – 1 = 0
INDIVIDUA TRA ESSE LE RETTE TRA LORO PERPENDICOLARI
4
3
5
1
3
8
EQUAZIONE DI UNA RETTA NOTO UN PUNTO E
IL COEFFICIENTE ANGOLARE
DATO 1: IL COEFFICIENTE ANGOLARE E’ M = 2 DATO 2: IL PUNTO P(3,4) APPARTIENE ALLA RETTA 1. SCRIVO IL VALORE DI M =2 NELL’EQUAZIONE: Y = 2 X + Q 2. SOSTITUISCO LE COORDINATEDEL PUNTO NELL’EQUAZIONE DELLA RETTA 4 = 2 · 3 + Q
3. TROVO IL VALORE DI Q:
4 = 6 + Q 4 – 6 = Q Q = -2
ESERCITAZIONI
SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO P E AVENTE COEFFICIENTE ANGOLARE M
1. P(7, - 3) M = - 1 2. P(5, -1) M = - 4 3. P(2, 9) M = 4. P(0, 2) M = - 7 3 2
ALCUNE VOLTE NEGLI ESERCIZI IL COEFFICIENTE ANGOLARE NON
VIENE FORNITO IN MANIERA DIRETTA, MA E’ NECESSARIO RICAVARLO
DAL COEFFICIENTE ANGOLARE DI ALTRE RETTE NOTE.
ESEMPIO
SCRIVI L’EQUAZIONE DELLE RETTA PASSANTE PER IL PUNTO P(6,3) E PARALLELA ALLA RETTA DI EQUAZIONE 2X – 5Y +1 = 0 Y = MX + Q
IL COEFFICIENTE ANGOLARE DELLE DUE RETTE SARA’ LO STESSO PERCHE’ SONO PARALLELE: M =
IMPONGO LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA DEL PUNTO P ALLA RETTA: 5 2
5
3
Q
3
Q
5
Q
5
12
15
Q
5
12
15
Q
6
5
2
3
COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI
A B X y m = A B A B
x
x
y
y
EQUAZIONE DI UNA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI
P(X1,Y1) Q(X2,Y2) 2 1 1 1 2 1
X
X
X
X
Y
Y
Y
Y
P(3,2) Q(1,0)3
1
3
X
2
0
2
Y
2
3
X
Y
3
X
2
Y
2
3
X
2
2
Y
ESERCITAZIONI
1. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO P(4,-6) E PARALLELA ALLA RETTA DI EQUAZIONE 2Y – 9 =0
R: [Y + 6 = 0]
2. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO P(3, -2) E PERPENDICOLARE ALLA RETTA DI EQUAZIONE
R:[4X+3Y-6=0] 3. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER I PUNTI A(2,2) E B(-3,-1)
4. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER I PUNTI A E B(-2, -1)
4
9
X
4
3
Y
2 1 , 5 3INTERSEZIONE TRA RETTE
RETTE: 3X - 2Y - 5= 0
X + Y – 5 = 0
L’INTERSEZIONE TRA DUE RETTE E’ UN PUNTO LE CUI COORDINATE SI OTTENGONO RISOLVENDO
IL SISTEMA LINEARE TRA LE EQUAZIONI DELLE DUE RETTE
0
5
–
Y
X
0
5
-2Y
-3X
0
5
10
X
2
X
3
0
5
)
5
X
(
2
X
3
5
X
Y
3
,
2
ESERCITAZIONI
1. DETERMINA L’INTERSEZIONE TRA LE RETTE X + 2Y = 3 E X – Y = 0
R:[(1,1)] 2. DETERMINA L’INTERSEZIONE DELLE RETTE
2X + Y = 5 E Y = 1
FASCI DI RETTE
FASCIO
IMPROPRIO PROPRIOFASCIO
L’INSIEME DELLE INFINITE RETTE DEL PIANO AVENTI
TUTTE LA STESSA
DIREZIONE, OVVERO L’INSIEME DI TUTTE LE INFINITE RETTE DEL PIANO PARALLELE AD UNA
STESSA RETTA, DETTA
L’INSIEME DELLE INFINITE RETTE DEL PIANO PASSANTI
TUTTE PER UNO STESSO PUNTO DETTO
FASCIO IMPROPRIO
RETTA BASE
X Y
Equazione di un fascio improprio y = mx + K
FASCIO PROPRIO
Centro del fascio
X Y
C
C(x0 ; y0) centro del fascio
Equazione di un fascio proprio y – y0 = m (x – x0)
Equazione della retta passante per un punto
P(x0 ; y0)
y – y0 = m (x – x0)
L’equazione di un fascio proprio di rette di centro P coincide con l’equazione di una generica retta passante per P. L’unica retta esclusa da tale fascio è quella
passante per P e parallela all’asse y, in quanto le rette parallele all’asse y non hanno coefficiente angolare.
APPLICAZIONE DELLA RETTA ALL’ECONOMIA:
COSTI, RICAVI, PROFITTI
UN’AZIENDA PER PRODURRE SCATOLE REGALO SOSTIENE
DEI
COSTI FISSI
MENSILI DI 5.164€ E UN
COSTO PER
UNITA’ DI PRODOTTO
PARI A 2€. OGNI SCATOLA VIENE
POI RIVENDUTA AD UN
PREZZO
DI 10€. DETTO
X
IL
NUMERO DI SCATOLE PRODOTTE E VENDUTE
, DETERMINA
LE
FUNZIONI COSTO,
RICAVO E PROFITTO
ED INDIVIDUA
NEL GRAFICO LA ZONA DI
PERDITA
E LA ZONA DI
GUADAGNO
.
COSTO UNITARIO = 2€ COSTO FISSO = 5.164€
COSTO TOTALE = COSTI FISSI + COSTO UNITARIO · QUANTITA’ PRODOTTA CTOT = CFISSI + CUNITARIO · X
CTOT = 5.164 + 2X
RICAVO = PREZZO UNITARIO DI VENDITA · QUANTITA’ PRODOTTA R = PUNITARIO · X
R = 10X
PROFITTO = RICAVO – COSTO P = R – C
1000 5000 € 100 COSTO COSTO RICAVO RICAVO PUNTO DI EQUILIBRIO PERDITA GUADAGNO
SE RICAVO < COSTO PERDITA SE RICAVO = COSTO EQUILIBRIO SE RICAVO > COSTO GUADAGNO