PROGRAMMA DEL CORSO DI
ANALISI MATEMATICA III
Prof.ssa L. Caso (a.a. 2017/18)
1) Successioni di funzioni: Convergenza puntuale e uniforme. Criteri di
convergenza. Proprietà del limite uniforme di una successione di funzioni. Teoremi di passaggio al limite: inversione dei limiti; passaggio al limite sotto il segno di derivata (senza dim.); passaggio al limite sotto il segno di integrale. Convergenza uniforme e monotonia (senza dim.).
2) Serie di funzioni: Definizioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Criteri di
convergenza puntuale e uniforme. Limite di una serie; derivazione termine a termine; integrazione termine a termine. Serie di potenze; raggio di convergenza e intervallo di convergenza. Convergenza uniforme e totale delle serie di potenze, teoremi di Abel (senza dim.). Teorema di Cauchy – Hadamard e teorema di D’Alembert per la determinazione del raggio di convergenza. Derivazione e integrazione delle serie di potenze. Serie di Taylor. Sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi in serie di Taylor.
3) Funzioni di più variabili: Richiami di topologia in Rn . Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate successive e teorema di Schwarz. Differenziale; continuità delle funzioni differenziabili. Teorema sulla differenziabilità (senza dim.). Gradiente e derivate direzionali. Funzioni composte; derivazione delle funzioni composte (senza dim.); differenziabilità delle funzioni composte (senza dim.). Funzioni omogenee. Differenziali di ordine superiore. Formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di più variabili; formula di Taylor di ordine 2 con resto di Peano (senza dim.); formula di Taylor di ordine k con resto di Lagrange (senza dim.). Richiami sulle forme quadratiche e matrici. Massimi e minimi relativi. Condizione necessaria del primo ordine; condizione necessaria del secondo ordine. Condizione sufficiente nel caso di n variabili; condizione sufficiente nel caso di 2 variabili. Funzioni convesse; locale lipschitzianità delle funzioni convesse (senza dim.). Criterio di convessità per le funzioni differenziabili (senza dim.).
4) Equazioni differenziali ordinarie: Definizioni e terminologia. Teorema di
esistenza e unicità locale di Cauchy. Regolarità delle soluzioni. Prolungamento delle soluzioni. Esistenza intervallo massimale (senza dim.). Teorema di esistenza e unicità globale (senza dim.). Equazioni differenziali del primo ordine: equazioni lineari; equazione di Bernoulli; equazioni a variabili separabili; equazioni omogenee. Equazioni differenziali lineari di ordine n: definizioni, teorema di esistenza e unicità. Equazioni lineari omogenee: Wronskiano; teorema del Wronskiano; esistenza di n integrali linearmente indipendenti; integrale generale di un’equazione lineare omogenea. Integrale particolare; integrale generale di un’equazione lineare. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: polinomio caratteristico; integrale generale dell’equazione omogenea (senza dim.). Integrale particolare: principio di somiglianza; metodo della variazione delle costanti. Equazioni lineari di Eulero.
Riferimenti bibliografici
[1] Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, - Analisi Matematica II – Liguori editore
[2] Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa - Analisi matematica 1 – Zanichelli [3] Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa - Analisi matematica 2 – Zanichelli
Ulteriori riferimenti bibliografici
[4] Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, - Esercitazioni di Matematica, 2° volume – Liguori editore
