Prof. Roberto Capone Esercizi di Matematica 1 Corso di studi in Ingegneria Chimica
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Funzioni ed Equazioni Esponenziali - Esercizi di consolidamento
1 Considera la funzione
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2
𝑥+3− 4𝑥
22𝑥− 5 ∙ 2𝑥+ 4
a. Determina il Campo di esistenza della funzione
b. Studia il segno della funzione e rappresenta nel piano cartesiano le regioni cui appartiene il suo grafico. Specifica quali sono gli eventuali zeri della funzione c. Deduci qual è il campo di esistenza della funzione 𝑦 = √𝑓(𝑥)
d. Determina l’espressione analitica 𝑦 = 𝑔(𝑥) della funzione simmetrica di quella data rispetto alla retta di equazione 𝑦 = −1
e. Stabilisci se il grafico della funzione data e quello della sua simmetrica rispetto alla retta di equazione 𝑦 = −1 hanno punti di intersezione e, in caso affermativo, calcola le coordinate di tali punti
2 Considera la funzione
𝑓(𝑥) = |4 − 2−𝑥|
a. Traccia il grafico della funzione, specificando campo di esistenza e immagine. b. Discuti, al variare di k, il numero delle soluzioni dell’equazione |4 − 2−𝑥| = 𝑘
c. Determina a e b in modo che il grafico della funzione 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 2𝑥+𝑎+ 𝑏
intersechi gli assi cartesiani negli stessi punti del grafico di 𝑦 = 𝑓(𝑥)
d. Traccia il grafico di 𝑦 = 𝑔(𝑥) specificando il campo di esistenza, l’immagine e risolvi graficamente la disequazione 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)
e. Determina l’espressione analitica e traccia il grafico della funzione 𝑦 =𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) Specificandone il campo di esistenza e l’immagine. 3 Dimostra che log56 è irrazionale
Risolvi la disequazione 𝑒−𝑥(𝑒 𝑥 𝑒 − 𝑒 2√𝑒𝑥) ≥ 0
4 Determina per quali valori di a la funzione di equazione 𝑦 = |𝑎 + 2|𝑥
è strettamente crescente
5 Determina il campo di esistenza della funzione 𝑦 =√100 − 𝑥
2
√2𝑥
3
− 8
6 Senza utilizzare la calcolatrice, poni in ordine crescente i seguenti numeri, dando esauriente spiegazione del procedimento eseguito:
(0,1)√7; (√7)0,1; (0,1)2√2; (2√2)0,1; (0,1)3; 30,1
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2 {
2𝑥∙ 4𝑦= 1 √2𝑥
8𝑦 = 2
8 Determina il campo di esistenza della seguente funzione
𝑦 = 1
√2𝑥+1− 1 − √2 − 2𝑥2
9 Risolvi la seguente disequazione (3 4) 𝑥 + (4 3) 𝑥 ≥ 0
10 Date le funzioni 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 e 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 1|, determinare l’espressione analitica e tracciare il grafico delle funzioni
𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓
MATEMATICA PER L’INGEGNERIA CHIMICA
Crescita di microrganismi
Le tecniche per la coltivazione dei microrganismi possono essere sistemi chiusi o sistemi
aperti all’immissione di nutrienti o all’eliminazione delle cellule. Il sistema più semplice di
crescita in ambiente chiuso è quello costituito dalla crescita di un solo microrganismo in un
ambiente completamente favorevole che fornisce tutte le risorse richieste per la crescita in
quantità illimitate e che mantiene costanti le condizioni fisico chimiche. Il microbo utilizza i
nutrienti e produce, a seguito di una serie di complesse sequenze biosintetiche, nuovo
materiale cellulare o biomassa. Di conseguenza l'organismo aumenta in grandezza e dopo un
periodo di tempo durante il quale la biomassa si raddoppia, avviene la divisione cellulare e si
costituisce una popolazione contenente due individui.
La velocità di incremento della biomassa e del numero di individui, aumenta con il tempo e
la velocità di accelerazione dipende dalla composizione e dalla natura fisica del mezzo
colturale, così come dipende dalla capacità intrinseca dei microrganismi di sintetizzare nuova
biomassa ad una data velocità. Se le condizioni ambientali sono costanti, il tempo necessario
per completare ciascuna generazione e raddoppiare le dimensioni della popolazione, è
costante. Questo periodo caratteristico si chiama tempo di duplicazione della coltura (t
d)
espresso in ore. Le dimensioni della popolazione, dopo un certo periodo di crescita, x
t,
dipende dalle dimensioni della popolazione iniziale, x
o, e dal periodo di tempo, t, in cui la
crescita avviene e può essere formulata matematicamente:
𝒙𝒕 = 𝒙𝟎∙ 𝟐 𝒕 𝒕𝒅
L'equazione descrive una funzione esponenziale e caratterizza il comportamento di una popolazione microbica in un ambiente di crescita ideale.
a. Rappresenta graficamente la funzione
b. Scrivi la stessa funzione in “versione” logaritmica
c. Quanto deve essere la dimensione della popolazione iniziale per ottenere un periodo di crescita doppio in metà tempo?
Popolazione di batteri
Se una popolazione di batteri, inizialmente di 100 individui, raddoppia ogni tre ore, il numero di batteri dopo t ore è 𝑁 (𝑡) = 100 · 2𝑡/3.
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3 b. Quando la popolazione raggiunge quota 50000?
