1_appello_di_geometria_e_algebra_20_gennaio_2015

UNIVERSITA’ DI FOGGIA

C. d. L. Triennale in Ingegneria dei Sistemi Logistici e dell’Agroalimentare

1° Appello di Geometria e Algebra Data: 20 gennaio 2015

COGNOME:_______________________ NOME:__________________ Matr.:________________

1. Dare la definizione di applicazione lineare.

2. Date tre matrici quadrate A,B,C dimostra che A

×

(B+C) = A

×

B + A

×

C.

3. Data la funzione f : R2®_R2 '

'"(x, y)ÎR2

: f (x, y)=(2x+y, x+2y), a) Verificare che f è un’applicazione lineare;

b) Calcolare una base e la dimensione di Im(f); c) Calcolare una base e la dimensione di Ker(f); d) Stabilire se f è ingettiva, surgettiva, bigettiva.

4. Nel riferimento cartesiano ortonormale RC(O,i,j,k) sono dati il punto P(1, -1, 0), la retta r di equazioni 2x + y -1 = 0, x – z = 0 e il piano

p

: 2 x + y – z = 0.

a) Calcolare le equazioni della retta s passante per P e parallela ad r;

b) Calcolare le equazioni della retta t passante per P e perpendicolare al piano

p

; c) L’equazione del piano

p

’ passante per P e parallelo al piano

p

;

d) La distanza fra i piani

p

e

p

’.

5) Classificare la conica di equazione 2x2-_4xy-_y2+_2x-_6y+₁=_0.

Soluzione Q1) Vedi dispensa 4 – Applicazioni Lineari.

Q2) Dimostriamo la proprietà supponendo che le matrici A,B,C siano di ordine 2:

A= a11 a12 a₂₁ a₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷, B= b₁₁ b₁₂ b₂₁ b₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷, C= c₁₁ c₁₂ c₂₁ c₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷. 1. A×(B+C)= a11 a12 a₂₁ a₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷×

[

b₁₁ b₁₂ b₂₁ b₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷+ c₁₁ c₁₂ c₂₁ c₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷

]

= A×(B+C)= a11 a12 a₂₁ a₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷× a₁₁b₁₁+a₁₁c₁₁+a₁₂b₂₁+a₁₂c₂₁ a₁₁b₁₂+a₁₁c₁₂+a₁₂b₂₂+a₁₂c₂₂ a₂₁b₂₁+a₂₁c₂₁+a₂₂b₂₁+a₂₂c₂₁ a₂₁b₁₂+a₂₁c₁₂+a₂₂b₂₂+a₂₂c₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ = = a11(b11+c11)+a12(b21+c21) a11(b12+c12)+a12(b22+c22) a₂₁(b₂₁+c₂₁)+a₂₂(b₂₁+c₂₁) a₂₁(b₁₂+c₁₂)+a₂₂(b₂₂+c₂₂) æ è ç ç ö ø ÷ ÷ = = a11b11+a11c11+a12b21+a12c21 a11b12+a11c12+a12b22+a12c22 a₂₁b₂₁+a₂₁c₂₁+a₂₂b₂₁+a₂₂c₂₁ a₂₁b₁₂+a₂₁c₁₂+a₂₂b₂₂+a₂₂c₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷. 2. A×B+A×C= a11 a12 a₂₁ a₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷× b₁₁ b₁₂ b₂₁ b₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷+ a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷× c₁₁ c₁₂ c₂₁ c₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ = = a11b11+a12b21 a11b12+a12b22 a₂₁b₂₁+a₂₂b₂₁ a₂₁b₁₂+a₂₂b₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ + a₁₁c₁₁+a₁₂c₂₁ a₁₁c₁₂+a₁₂c₂₂ a₂₁c₂₁+a₂₂c₂₁ a₂₁c₁₂+a₂₂c₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ = = a11b11+a11c11+a12b21+a12c21 a11b12+a11c12+a12b22+a12c22 a₂₁b₂₁+a₂₁c₂₁+a₂₂b₂₁+a₂₂c₂₁ a₂₁b₁₂+a₂₁c₁₂+a₂₂b₂₂+a₂₂c₂₂ æ è ç ç ö ø ÷ ÷. Dunque: A

×

(B+C) = A

×

B + A

×

C. Q3) Sia f : R2®R2 ''"(x, y)ÎR2: f (x, y)=(2x+y, x+2y) a) Dimostriamo che f è un’applicazione lineare:

"u, vÎR2Ù"kÎR: f (u+v)= f (u)+ f (v) f (k×u)=k×f (u) ì í î . 1. f (u+v)= f ((x, y)+(z, t))= f (x+z, y+t)=(2(x+z)+(y+t), (x+z)+2(y+t))=

=(2x+2z+y+t, x+z+2y+2t)=(2x+y, x+2y)+(2z+t, z+2t)= f (x, y)+f (z, t)= f (u)+ f (v). 2. f (k×u)= f (kx, ky)=(2kx+ky, kx+2ky)=k(2x+y, x+2y)=k×f (x, y)=k×f (u).

Dunque, f è un’applicazione lineare.

b)

Calcoliamo una base e la dimensione di Im(f).

"u'ÎIm( f ) : u'= f (u)= f (x, y)=(2x+y, x+2y)=(2x, x)+(y, 2y)=x(2,1)+y(1, 2)Þ ÞIm( f )=L(u₁, u₂), dove u1 = (2,1) e u2 = (1,2).

Poiché 2 1

1 2 =4-1=3¹0Þ(u1, u2)sono L.I. ne segue che

B

=

{

u₁, u₂

}

è una base di im(f) e che dim Im(f) = 2.

c) Calcoliamo una base e la dimensione di Ker(f).

"uÎKer( f ) : f (u)=0Þ f (x, y)=0Þ(2x+y, x+2y)=(0, 0)Þ 2x+y=0

x+2y=0 ì í î Þ x=0 y=0 ì í î Þ ÞKer( f )=

{ }

0 . La dimensione di Ker(f) è 0.

d) Poiché Ker( f )=

{ }

0 , f è ingettiva e poiché dim Im(f) = 2ÞIm( f )=R2 e la funzione f è anche surgettiva, quindi bigettiva.

Q4) Siano P(1,-1,0), r: 2x+y-1=0

x-z=0

ì í

î e p: 2x+y-z=0.

a) I parametri direttori della retta r sono i minori estratti della matrice

A= 2 1 0 1 0 -1 æ è ç ö ø ÷: ℓ= 1 0 0 -1 = -1; m= -2 0 1 -1 =2;n= 2 1 1 0 = -1.

x-1 ℓ = y+1 m = z-0 n Û x-1 -1 = y+1 2 = z -1Þ x-z-1=0 y+2z+1=0 ì í î .

b) I coefficienti di

p

sono a = 2, b = 1, c = -1. Poiché la retta t è perpendicolare al piano

p

, essa ha parametri direttori

ℓ=a=2, m=b=1, n=c= -1 Di conseguenza le equazioni cartesiane di t sono:

x-1 ℓ = y+1 m = z-0 n Û x-1 2 = y+1 1 = z -1Þ x+2z-1=0 y+z+1=0 ì í î .

c) Poiché p'/ /p Þa'=a=2, b'=b=1, c'=c= -1; di conseguenza, l’equazione del piano

p

'

è: 2(x-1)+1(y+1)-1(z-0)=0Þ2x+y-z-1=0. d) Poiché P(1,-1,0) Î

p

', si ha: d(p',p)=d(P,p)= 2x0+y0-z0 4+1+1 = 2-1-0 6 = 1 6. Q5) Sia C la conica di equazione 2x2

-4xy-y2+

2x-6y+1=0. La matrice associata alla forma quadratica della conica è

A00 = 2 -2 -2 -1 æ è ç ö ø ÷,

la matrice associata alla conica è

A= 2 -2 1 -2 -1 -3 1 -3 1 æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷. Poiché det(A00)= -2-4= -6<0 la conica è un’iperbole e poiché

det(A)=

2 -2 1

-2 -1 -3

1 -3 1

= -2+6+6-(-1+18+4)= -11¹0 l’iperbole è non degenere.