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Dare la definizione di derivata di una funzione .f : lR

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Academic year: 2021

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(1)

1.2.10

Y.

Domanda 1 [3+2

punti]

(i)

Dare la definizione di derivata di una funzione .f : lR

-tlR

in

Xo E

R

(ii) Scrivere lequazione della

retta

tangente t a

f(x) =x3

/3 nel punto

Xo =

1/2.

Risposta

(i) s~~t\(~lL)~~~.~~~~~~·l~~~~_·~~~~~~~~~~~~

\....

---

(ii)

-f: L.'lCl - C--tXì!) ± t (Lx..) ·l~-- x .. ) .. ~ ~

f-tx:, l ~ t!/"\...) 'i ~ t-tt'll ~

xt.

=t> ~'t

""'Il...).:~..

~

~ - ~

n

'L:

"t

:::::t>

!:t't.\ ~ a.

+ ..., ( ..., )

- - ;:r ;L..

-

't:"k

1;. ~)(.- L :1 t.. 't

Domanda 2

[3+2 punti]

(i)

Enunciare il Teorema fondamentale del calcolo integrale.

(ii) Calcolare la derivata eli

f(x) =

J

3"-l-c~s(t) dt

in

x = 2.

Risposta

.

(i)

~ t.~ C ["-( L1 ) ~ L.... b h'''"''f.- ~ (e.~

~

)

)

(ii) ~---_._-__:_-

_--4I:~ l~, ~L~U f e ~~lt.-~

~-- ~()() ~ _ ~~ l-"'H-'t}~

_-f ll~l ~ x: - --t> tlJd-=~~~~2...~~-

.. .._-,---_-...."""""'========---===---

(2)

Esercizio 1

[3 punti]

Sia (an)nEl'l una successione esia 1'0 =inf{a'lI :

n

EN} Allora

o

Se 1'0

>

-00, allora (an)nEN converge

~ VE

>

O :3

n

EN tale che

a-; -

E

<

1'0

~ an

>

1'0 definitivarnente

[Il

Se (an)nEN converge, allora n-++oolim an =1'0

Risoluzione

,-) ~ ~ c---..M~t"'-~·"-l,...- U ~~O

---~~~'~~~~--=-.---

Esercizio 2

[3 punti]

La funzione f(x) = (l - e")

'Ixl

é

o

pari ~, limitata

[Il

non derivabile in O

[Il

derivabile in lR

Risoluzione

t~ t ~ ~rM b',,-,- À ~b~~': À-~l) ~v-.4""- ~

-=lO.. ~

)(.::'-0 ~ _" ~

'"

Esercizio 3

[3 punti]

Sia f

É

C(lR) e

J04 f(x)

dx =L Allora

o J r

O

f (x)

2dx =l

j

'O

[Il

f(x) dx

=

-l -4

~

f(x) >

Oper

x

E [0,4J

[Il :3x

E [0,4J tale che

f(x)::;

1/4

Risoluzione

~ \--'1\ r ~b e-, 1ll+A...

th.... cl) ~ ~ t ~ ClL) '> »;

Lt

""

e

":I:.

L~+~ 1...1(1

~~ c-o

t

lt]

~~ ' __ ~ __ '~~~k~~~)~, ~ _

(3)

Esercizio 4 [4

punti]

Data la funzione

f(:c.y)

= ,,,J:~~ se (x,y) i- (0.0).

f(O,O)

= 0, stabilire se

f

é

continua in (O, O),

f

é dcrivabilc i11 (O,O),

f

é

differenziabile in (O, O).

~~ f-e ~~\.~ .... ' ~ ~. ')~~~ ç ~ ~~L. f~'W..t~k.. ~

l~tOl \,,}. \.o tL.. Ct)(

t

(») ~ O ':.. tt O l~) \1)(

t

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e. ~~ H_e.L~ ~ t".,o) \./'~k, th...

-~t;~5Cn.i1?"O=~~). l~l~ O ~ ~-bO.

--~~ t~~. r~

Esercizio 5 [4

punti]

Calcolare

In1cos2(3x) - cos(2x) -'- ,

e

x-tO In (cosh(2x))

+

x5

Risoluzione t- "l. ( t-~ 'L~,

~ ~~f:ì:: 1.. + T "tal 't'l) ~ t--bo =O ~k( 1.Xl.-j.·=

L)(

l-tO()( ') L l::L~{.):. -t ~ Qt -t) ~ f"i o. """

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~.

(4)

Esercizio 6

[5 punti]

Studiare dominio X, simmetrie; zeri, limiti alla frontiera di X ed estremi locali della funzione

2

f(x) =Ixl .e1n(,,·2) tracciandone un grafico approssimativo.

Risoluzione

)( 't '>0 x.~ O

(, ~, f"~ Tl' I I

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h

~M'...t~ lb---

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_____________ ~~t~~~~~~~~~>~~~~~---

o

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7

/

-1.

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============

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