1.2.10
Y.
Domanda 1 [3+2
punti](i)
Dare la definizione di derivata di una funzione .f : lR
-tlRin
Xo ER
(ii) Scrivere lequazione della
rettatangente t a
f(x) =x3/3 nel punto
Xo =1/2.
Risposta
(i) s~~t\(~lL)~~~.~~~~~~·l~~~~_·~~~~~~~~~~~~
\....
---
(ii)
-f: L.'lCl - C--tXì!) ± t (Lx..) ·l~-- x .. ) .. ~ ~
f-tx:, l ~ t!/"\...) 'i ~ t-tt'll ~
xt.=t> ~'t
""'Il...).:~..~
~ - ~
n
'L:"t
:::::t>
!:t't.\ ~ a.
+ ..., ( ..., )
- - ;:r ;L..
-
't:"k1;. ~)(.- L :1 t.. 't
Domanda 2
[3+2 punti](i)
Enunciare il Teorema fondamentale del calcolo integrale.
(ii) Calcolare la derivata eli
f(x) =J
3"-l-c~s(t) dtin
x = 2.Risposta
.(i)
~ t.~ C ["-( L1 ) ~ L.... b h'''"''f.- ~ (e.~
~
)
)
(ii) ~---_._-__:_-
_--4I:~ l~, ~L~U f e ~~lt.-~
~-- ~()() ~ _ ~~ l-"'H-'t}~
_-f ll~l ~ x: - --t> tlJd-=~~~~2...~~-
.. .._-,---_-...."""""'========---===---
Esercizio 1
[3 punti]Sia (an)nEl'l una successione esia 1'0 =inf{a'lI :
n
EN} Allorao
Se 1'0>
-00, allora (an)nEN converge~ VE
>
O :3n
EN tale chea-; -
E<
1'0~ an
>
1'0 definitivarnente[Il
Se (an)nEN converge, allora n-++oolim an =1'0Risoluzione
,-) ~ ~ c---..M~t"'-~·"-l,...- U ~~O
---~~~'~~~~--=-.---
Esercizio 2
[3 punti]La funzione f(x) = (l - e")
'Ixl
éo
pari ~, limitata[Il
non derivabile in O[Il
derivabile in lRRisoluzione
t~ t ~ ~rM b',,-,- À ~b~~': À-~l) ~v-.4""- ~
-=lO.. ~
)(.::'-0 ~ _" ~'"
Esercizio 3
[3 punti]Sia f
É
C(lR) eJ04 f(x)
dx =L Allorao J r
Of (x)
2dx =lj
'O[Il
f(x) dx=
-l -4~
f(x) >
Operx
E [0,4J[Il :3x
E [0,4J tale chef(x)::;
1/4Risoluzione
~ \--'1\ r ~b e-, 1ll+A...
th.... cl) ~ ~ t ~ ClL) '> »;
Lt
""
e
":I:.
L~+~ 1...1(1
~~ c-o
tlt]
~~ ' __ ~ __ '~~~k~~~)~, ~ _
Esercizio 4 [4
punti]Data la funzione
f(:c.y)= ,,,J:~~ se (x,y) i- (0.0).
f(O,O)= 0, stabilire se
• f
écontinua in (O, O),
• f
é dcrivabilc i11 (O,O),• f
édifferenziabile in (O, O).
~~ f-e ~~\.~ .... ' ~ ~. ')~~~ ç ~ ~~L. f~'W..t~k.. ~
l~tOl \,,}. \.o tL.. Ct)(
t(») ~ O ':.. tt O l~) \1)(
t::l E-Ifl. ~~'u. f..- ~
e. ~~ H_e.L~ ~ t".,o) \./'~k, th...
-~t;~5Cn.i1?"O=~~). l~l~ O ~ ~-bO.
--~~ t~~. r~
Esercizio 5 [4
punti]Calcolare
l·In1cos2(3x) - cos(2x) -'- ,
e
x-tO In (cosh(2x))
+
x5Risoluzione t- "l. ( t-~ 'L~,
~ ~~f:ì:: 1.. + T "tal 't'l) ~ t--bo =O ~k( 1.Xl.-j.·=
L)(l-tO()( ') L l::L~{.):. -t ~ Qt -t) ~ f"i o. """
'L)l'l. . ~ Lx: ~
.ç ~ ~'" lv,)~ ~ '" ( 2)() -~ + o ( 'Z:"" l'L){ ) - ì) ~
Z-)(z.. *:
OL)("'t)
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Esercizio 6
[5 punti]Studiare dominio X, simmetrie; zeri, limiti alla frontiera di X ed estremi locali della funzione
2
f(x) =Ixl .e1n(,,·2) tracciandone un grafico approssimativo.
Risoluzione
)( 't '>0 x.~ O
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