Prof. Chirizzi Marco
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Massimi e minimi relativi
6.1 Massimi e minimi assoluti e relativi
Definizione.
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo chiuso
a,b
. Si dice cheun punto x0, interno all’intervallo
a, b
, è un punto di massimo relativo per la funzione f(x), se esiste un intorno completo I di x0, per ognix
del quale risulti:) ( ) (x0 f x
f
Si dice che x0 è un punto di minimo relativo se esiste un intorno completo I , per ogni
x
del quale si abbia: ) ( ) (x0 f x f E’ bene ricordare che il valore che la funzione f(x) assume in corrispondenza di un puntox0 di
minimo o di massimo relativo non è necessariamente il più piccolo o il più grande fra quelli che essa assume nell’intervallo di definizione, ma certamente è il più piccolo o il più grande valore fra quelli che la funzione assume in un intorno completo, opportunamente piccolo, del puntox0. La
prossima definizione chiarirà ulteriormente questo concetto.
Definizione.
Dicesi massimo assoluto della funzione, il più grande valore fra quelli che essa assume nei punti di massimo relativo ed i valori che essa assume negli estremi a e b dell’intervallo di definizione.Analogamente si procede per determinare il minimo assoluto.
In questo paragrafo ci occuperemo della ricerca dei massimi e minimi relativi, illustrando alcune regole pratiche, dopo aver enunciato, senza dimostrazione, due teoremi fondamentali.
Teorema.
Sia x0 un punto di massimo o di minimo relativo per la funzione f(x), e supponiamo che in tale punto la funzione sia derivabile. Se valgono queste ipotesi, allora si dimostra che la derivata prima f (x) si annulla nel punto x0.Il significato geometrico di questo teorema è il seguente: la retta tangente alla curva y f(x) nel punto x0 di massimo o di minimo relativo, risulta parallela all’asse delle ascisse. Affinché questa
affermazione sia vera, è necessario che il punto x0 sia interno all’intervallo ove la funzione è
definita, cioè non deve coincidere né con l’estremo destro, né con l’estremo sinistro dell’intervallo stesso.
Il teorema enunciato esprime la condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché la funzione ammetta massimi e minimi relativi. Infatti, la funzione y f(x) può avere derivata nulla in un
punto x0, senza che in quel punto sia massima o minima. Il prossimo teorema esprime la
condizione sufficiente per l’esistenza dei massimi e minimi relativi.
Teorema.
La funzione y f(x) sia definita in un intervallo
a,b
ed ivi ammetta derivataprima e seconda continue. Se nel punto x0, interno ad
a,b
, risulta:, 0 ) ( , 0 ) ( 0 0 x f x f
allora x0 è un punto di massimo relativo proprio per la funzione, mentre se risulta:
, 0 ) ( , 0 ) ( 0 0 x f x f
il punto x0 è un punto di minimo relativo proprio per la funzione.
Se la funzione f(x) è tale che risulti:
, 0 ) ( , 0 ) ( 0 0 x f x f
il teorema appena enunciato non ci consente di arrivare ad una conclusione. Esiste però una regola pratica per risolvere questo tipo di problema, ed è la seguente:
Regola pratica per la determinazione dei massimi e minimi relativi
di una
Se ci si trova nella situazione: , 0 ) ( , 0 ) ( 0 0 x f x f
bisogna calcolare, nello stesso punto x0, la derivata di ordine tre e, qualora anche questa dovesse risultare nulla, si calcola la derivata di ordine successivo fin quando non si arriva ad una derivata diversa da zero. Se la derivata che risulta diversa da zero è di ordine dispari, allora la funzione f(x) non ha né massimo, né minimo; se invece è di ordine pari, si ha un massimo in x0,
se tale derivata è negativa, oppure un minimo se essa è positiva.
Un altro modo di determinare i massimi e minimi relativi consiste nello studiare il comportamento della derivata prima in un intorno opportunamente piccolo di x0, cioè se nell’intorno sinistro
x0 , x0
, la derivata f (x) è positiva, mentre nell’intorno destro
x0, x0
, f (x) ènegativa, il punto x0 è di massimo relativo. Se al contrario è f (x) negativa a sinistra di x0 e
