Esercizi di trigonometria con risultati

Istituto Superiore “XXV aprile” Pontedera - Prof. Francesco Daddi

Esercizi di trigonometria - 4

_{C Liceo Scientifico - 13/11/2013}

Esercizio 1. Risolvere la disequazione 2 sin x + sin(2 x) < 0 . [R. π + 2 kπ < x < 2 π + 2 kπ ]

Esercizio 2. Risolvere la disequazione sin(2 x) · cos x ≥ 0 . [R. 2 kπ ≤ x ≤ π + 2 kπ ∨ x = 3

2π+ 2 kπ ]

Esercizio 3. Risolvere la disequazione tan x − 2 sin x ≤ 0 sull’intervallo −π₂ < x < 3 2π. [R. −π 2 < x ≤ − π 3 ∨ 0 ≤ x ≤ π 3 ∨ π 2 < x ≤ π ]

Esercizio 4. Trovare il punto di massimo ed il punto di minimo della funzione

f(x) = 5√3 cos x + 5 sin x − 2 sull’intervallo 0 ≤ x ≤ 2 π . [R. Il massimo viene assunto per x = π

6 mentre il minimo per x = 7 6π]

Esercizio 5. Trovare il punto di massimo della funzione f (x) = 1

2 cos(2 x) + √

3 sin x sull’intervallo 0 ≤ x ≤ π₂ . (Suggerimento: per prima cosa si scriva cos(2 x) = 1 − 2 sin2

x.) [R. Il massimo si ottiene per x = π

3]

Esercizio 6. Determinare i punti di massimo e di minimo della funzione

f(x) = 4023 π + e2−

√ 3

5 +√3 sin2

(3 x) − 2 sin(3 x) cos(3 x) −√3 cos2_{(3 x)} sull’intervallo 0 ≤ x ≤

π 3.

(Suggerimento: il numeratore `e costante e > 0 mentre il denominatore `e 6= 0 per ogni x reale; la frazione `e massima

quando `e minimo il denominatore ed `e minima quando `e massimo il denominatore.) [R. Il massimo viene assunto per x = π

36 mentre il minimo viene assunto per x = 7 36π]

Esercizio 7. Risolvi la disequazione sin3

x+ cos3

x ≥ 0. [R. 2 kπ ≤ x ≤ 3

4π+ 2 kπ ∨ 7

4π+ 2 kπ ≤ x ≤ 2 π + 2 kπ]

Esercizio 8. Stabilire per quali k l’equazione sin4

x − cos4

x+ 3 = k non ammette soluzioni. (Suggerimento:

sfruttare la relazione A2

− B2

= (A − B)(A + B) con A = sin2

x e B = cos2

x .) [R. k < 2 ∨ k > 4 .]

Esercizio 9. Si conduca internamente ad un angolo retto AOBÒ una semiretta OC che forma con OA un angolo

AOCÒ = x; presi rispettivamente su OA ed OB due punti M ed N tali che OM = 1, ON =

√

3, siano M′ _{ed N}′

le rispettive proiezioni di M ed N su OC. Detto P il punto medio di M′_N′_{, si determini x in modo che risulti}

massima l’area del triangolo N OP . (* Maturit`a 1975 ordinaria *) [R. Si ha Area(x) = √ 3 4 cos 2 x+3

4 sin x cos x, con 0 < x < π

2; il massimo si ottiene per x = π 6 .]

Esercizio 10. Dato in una circonferenza di raggio r l’angolo al centro AOB, si costruisca sulla corda AB, da parteÒ

opposta rispetto al centro O, il triangolo isoscele ABC avente per base AB e per altezza CH = √

3 2 · AB. a) Si determini il valore dell’angolo AOBÒ per il quale il quadrilatero OACB ha area massima.

b) Si determinino i valori dell’angolo AOBÒ per i quali il quadrilatero OACB ha area pari a

√ 3 2 r

2

. (* Maturit`a 1979 ordinaria * - con modifiche)

[R. Posto x = AOB, con 0 < x < π, si ha Area(x) =Ò

r2 2 €√ 3 + sin x −√3 cos x Š . a) Il massimo si ottiene per x = 5

6π. b) Si ha x = π 3.]

Esercizio 11. Dato il triangolo rettangolo isoscele ABC con BACb = 90◦, AB = a, si conduca per il vertice C la

retta non secante il triangolo tale che risulti massima la somma delle perpendicolari AM e BN condotte su di essa. (* Maturit`a 1984 suppletiva *)

[R. Posto x = ACMÒ (con 0 < x <

π

2) si ha Somma(x) = a (2 sin x + cos x); il massimo della funzione si

trova per x = π

2− arctan 1

2 = arctan 2 .]

Esercizio 12. Considerato il triangolo ABC avente i lati CA = a e CB = 2 a, si costruisca, da parte opposta a C rispetto alla retta AB, il triangolo rettangolo ABD il cui cateto BD sia uguale alla met`a del cateto AB. Si studi come varia l’area del quadrangolo ADBC al variare dell’angolo AÒ

CBe si calcoli il perimetro di detto quadrangolo quando la sua area `e massima. (* Maturit`a 1988 ordinaria *)

[R. Posto x = ACBÒ (con 0 < x < π), si ha Area(x) = a

2



sin x − cos x +5 4

‹

; l’area `e massima per x = 3 4π

ed il perimetro corrispondente `e pari a a6 + ( √ 5 + 1) È 5 + 2√2 2 .] 1