(1)Es.1 f (x, y

Es.1

f (x, y) = x³− 6xy + 3y²+ 3x Si ha f ∈ C^∞(R²).

Of =0 :

½ 3x²− 6y + 3 = 0

−6x + 6y = 0 ⇒ (1, 1) |H(1, 1)| = 0 ⇒caso dubbio Si osservi che fy(x, x) = 0, quindi innanzi tutto andiamo a indagare lungo quella curva passante per (1, 1).

f (x, x) − f (1, 1) = x³− 3x²+ 3x − 1 = g(x) g^,(x) = 3(x − 1)²> 0 per x 6= 1, ⇒ (1, 1) `e sella.

Si noti che se g(x) avesse avuto un estremo in x = 1, questa sola osservazione non avrebbe portato ad alcuna conclusione.

Es.2

f (x, y) = x⁴− 6x²y + 2y³+ 4x³ Si ha f ∈ C^∞(R²)

Of =0 :

½ 4x³− 12xy + 12x²= 0

−6x²+ 6y²= 0 ⇒ (0, 0), (−6, 6);

|H(−6, 6)| = (72)²

¯¯

¯¯ 3 −1

−1 1

¯¯

¯¯ > 0, f^xx> 0 ⇒minimo

|H(0, 0)| = 0 ⇒caso dubbio

Si osservi che f_x(0, y) = 0 e f_y(x, ±x) = 0 quindi innanzi tutto andiamo a indagare lungo quelle curve passanti per (0, 0).

f (0, y) = 2y³= h(y) ha un flesso (a tangente orizz.) in y = 0

⇒ (0, 0) `e sella.

Es.3

f (x, y) = x⁴− 6xy + 3y²+ 3x² Si ha f ∈ C^∞(R²)

Of =0 :

½ 4x³− 6y + 6x = 0

−6x + 6y = 0 ⇒ (0, 0) |H(0, 0)| = 0 ⇒caso dubbio Si ha che fy(x, x) = 0 quindi andiamo a indagare lungo quella curva passante per (0, 0).

a) f (x, x) − f (0, 0) = x⁴= g(x), e g(x) ha un minimo in x = 0.

Allora si ragiona sul segno delle derivate parziali, come segue.

Si pu`o ragionare sulla f_y come segue.

fy(x, y) > 0, per y > x cio`e f (x, y) = h(y) ha un minimo in y = x.

Quindi unitamente alla a) si ottiene

f (x, y) ≥ f (x, x) ≥ f (0, 0) e possiamo concludere che (0, 0) `e un minimo.

1

Es.4

f (x, y) = 3x⁴− 4x²y + y² Si ha f ∈ C^∞(R²) Of =0 :

½ 12x³− 8xy = 0

−4x²+ 2y = 0 ⇒ (0, 0) |H(0, 0)| = 0 ⇒caso dubbio Si ha che fx(0, y) = 0 e fy(x, 2x²) = 0 quindi andiamo a indagare lungo quelle curve passanti per (0, 0).

f (0, y) − f (0, 0) = 3x⁴= h(x), e h(x) ha un minimo in x = 0.

f (x, 2x²) − f (0, 0) = −x⁴= g(x), e g(x) ha un massimo in x = 0.

Possiamo concludere che (0, 0) `e una sella . Es.5

f (x, y) = xy(x − y) Si ha f ∈ C^∞(R²) Of =0 :

½ y(2x − y) = 0

x(x − 2y) = 0 ⇒ (0, 0) |H(0, 0)| = 0 ⇒caso dubbio f (x, y) − f (00) cambia segno in ogni intorno di (0,0)⇒ (0, 0) `e sella.

Es.6 f (x, y) =p

−x²− y²− xy + 3 dominio di f : D(f ) =©

x²+ y²+ xy − 3 ≤ 0ª , D^∗=©

x²+ y²+ xy − 3 = 0ª

frontiera di D; D^◦ =©

x²+ y²+ xy − 3 < 0ª interno di D

a) D `e compatto, per W. ha minimo e massimo assoluti.

f (D^∗) = 0, f (D^◦) > 0 ⇒i punti di D^∗ sono minimi assoluti.

f ∈ C^∞(D^◦) , in D^◦ cerco i punti stazionari:

Of =0 :

½ −2x − y = 0

−2y − x = 0 ⇒ (0, 0) `e il massimo assoluto per W.

(in questo caso anche con l’Hessiano si pu`o concludere).

Es.7

f (x, y) = x⁴+ y⁴− 2(x − y)² Si ha f ∈ C^∞(R²)

Of =0 :

½ 4x³− 4x + 4y = 0 4y³+ 4x − 4y = 0 ⇒

½ x = −y

y³− 2y = 0 (0, 0), (±√ 2, ∓√

2)

¯¯H(±√ 2, ∓√

2)¯

¯ = 16

¯¯

¯¯ 5 1 1 5

¯¯

¯¯ > 0, f^xx> 0 ⇒ minimi;

|H(0, 0)| = 0 ⇒caso dubbio

f (x, −x) = 2x⁴− 2x²= g(x) ha un massimo in x = 0, f (x, x) = 2x⁴= h(x) ha un minimo in x = 0,

⇒ (0, 0) `e sella.

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Altri esempi:

*f (x, y) = log(1 + x) − x −y³

6 +x³y³ 6

D = {x > 1} , Of =0 : (0, 0), (1, −1); f (0, y) = −y³

6 , ⇒ (0, 0) sella

|H(1, −1)| < 0 ⇒ (1, −1) sella

*f (x, y) = x³− 3xy + y³

Of =0 : (0, 0) f (x, 0) = x³⇒ (0, 0) sella

*f (x, y) = (x²+ y²)e^(x+y)

Of =0 : (0, 0), (1, 1); f (x, y) − f (0, 0) ≥ 0 ⇒ (0, 0) minimo

|H(1, 1)| < 0 ⇒ (1, 1) sella

*f (x, y) =¡

exp(−x³y) − 1¢₃ (0, y), (x, 0), segno del 4f, ⇒selle.

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