Complementi di Analisi Matematica

(1)

Complementi di Analisi Polo di Savona

1- PrPzCam.TEX— []

(2)

Complementi di Analisi Polo di Savona Prima Prova parziale 23/11/2011

Si consideri f : R³→ R²definita da

f (x, y, z) = (x²+ 2y²+ z²− 1, x − y)

<A> Stabilire se e dove l’equazione f (x, y, z) = 0 definisce implicitamente una funzione (z, y) = φ(x), φ : R → R².

<B> Calcolare ∇φ

<C> Determinare esplicitamente una espressione di φ in termini di funzioni elementari precisandone la va- lidit`a.

<D> Calcolare massimi e minimi assoluti di g(x, y, z) = x²+ y²vincolato a f (x, y, z) = 0 Sia

V = {(x, y, z ∈ R³ : z²≥ 2(x²+ y²) , z ≥ 0 , z ≤ x + 3}

<E> Calcolare il volume di V

2- PrPzCam.TEX— [PrPzCam13.TEX]

(3)

Complementi di Analisi Polo di Savona Seconda Prova parziale 08/01/2013

Si consideri la curva γ, nel piano (x, z), definita da

z = cos(t)

y = sin(2t) t ∈ [−π, π]

<A> Disegnare γ

<B> Stabilire se γ `e semplice, regolare, chiusa

<C> Calcolare R

γxdy + ydx

Sia S la superficie generata dalla rotazione attorno all’asse z della parte di γ che giace nel semipiano delle ascisse positive

<D> Determinare una parametrizzazione di S

<E> Calcolare l’area della superficie S

3- PrPzCam.TEX— [PrPzCam13.TEX]