Esercitazione 10 (08 Gennaio 2018)
Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica ed Informatica Tutor: Caterina Fenu
1. Risolvere, mediante la fattorizzazione P A = LU , il sistema lineare
4x1+ 2x3 = 0
x1+ 2x2+13x3 + x4 = −3 2x2+ 14x3+ 5x4 = −7 2x1+ 32x3+ 2x4 = −2
e utilizzarla per calcolare il determinante della matrice dei coefficienti.
Di che ordine `e il costo computazionale del metodo utilizzato?
2. Sia
A =
γ 1 0 2 γ 2 0 1 γ
.
Stabilire per quali valori del parametro γ la matrice A `e invertibile e per quali i suoi autovalori sono positivi. Si consideri poi il sistema Ax = b con b = [1 2 3]T. Si studi al variare del parametro γ la convergenza del metodo di Jacobi applicato a tale sistema e si calcolino le prime due iterate partendo dal vettore iniziale x(0) = [0 1 0]T. Senza fare calcoli e motivando opportunamente la risposta si dica se nel caso in cui γ = 5 il metodo di Gauss-Seidel converge.
3. Calcolare il numero di condizionamento rispetto alle norme con indice ∞ e 2, al variare del parametro α > 0, della matrice
A =2 0 1 α
.
4. Trasformare il seguente problema del secondo ordine in un sistema del primo ordine (y00 = −5xy x ∈ [0, 5]
y(0) = 2, y0(0) = 0
e calcolare la soluzione con il metodo di Eulero esplicito nel punto di ascissa x = 23 con passo h = 13.
5. Dire per quali valori dei parametri α ∈ R il seguente metodo alle differenze finite `e stabile, per quali `e convergente e per quali `e del secondo ordine
ηk+1 = ηk+ hh
1 − α 2
f (xk, ηk) + α
2f (xk+ αh, ηk+ αhf (xk, ηk))i . Stabilire, inoltre, se il seguente metodo multistep
ηk+1 = −ηk−1+ 2hf (xk, ηk)
`e stabile. ´E possibile stabilire a priori l’ordine di convergenza?
