Esercitazione 7 (04 Dicembre 2017)
Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica ed Informatica Tutor: Caterina Fenu
1. Calcolare la fattorizzazione P A = LU della matrice dei coefficienti del sistema lineare
4x2 2 x3+ 2x4 = + 4x4 =
x1− x2 2 x4 =
x1 3 x4 = −
ed utilizzarla per risolvere il sistema e per calcolare il determinante della matrice A.
2. Assegnato il sistema lineare Ax = b dipendente da un parametro a ∈ R, con
A =
1 a 0 a 2 1 0 1 1
, b =
3 7 4
,
dire per quali valori del parametro il sistema ammette una sola soluzione, per quali valori la matrice A `e definita positiva, e per quali valori il metodo iterativo di Ja- cobi applicato al sistema risulta convergente. Fissato a = 12, calcolare le prime due iterazioni del metodo, a partire dal vettore iniziale x(0) = (0, 0, 0)T
3. Siano a, b, c, d ∈ R e si consideri la matrice
A =
a 0 d b c 0 d 0 a
.
Si stabilisca per quali valori reali dei parametri a, b, c, d la matrice data `e simmetrica e per quali `e definita positiva. Si consideri successivamente il caso simmetrico con a = 1 e c = 1/2. Si dica per quali valori del parametro d il metodo di Jacobi applicato al sistema Ax = y con y = (1, 2, 1)T converge e si calcolino, infine, le prime due iterazioni del metodo a partire dal vettore iniziale x(0) = (1, 1, 1)T
4. Assegnati
A =
1 2 a 0 a 0 a 2 1
, b =
1 1 1
,
dire per quali valori del parametro reale a la matrice A `e invertibile e per quali valori il metodo di Gauss-Seidel risulta convergente se applicato al sistema Ax = b. Posto a = 12, calcolare le prime due iterazioni del metodo di Jacobi, utilizzando il vettore iniziale x(0) = (1, 1, 1)T
x1 2
− + x2
−2
4 2 +2x3− 2
2 − x2 + 5x3− 8
7
1. Soluzione:
P =
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
L =
1 0 0 0 0 1 0 0
1
2 0 1 0
1 2
1
2 0 1
U =
4 −2 2 −2
0 4 −2 2
0 0 4 −2
0 0 0 4
.
x = [1, −2, −1, 2]T, det (A) = −256
2. Soluzione: Il sistema ammette una sola soluzione ∀a 6= ±1, `e definita positiva per
−1 < a < 1, il metodo di Jacobi risulta convergente per −1 < a < 1.
x(1)=
3,7
2, 4
T
, x(2) = 5 4,3
2,1 2
T
3. Soluzione: La matrice `e simmetrica se b = 0 ed `e definita positiva se c > 0 e a > |d|.
Il metodo di Jacobi converge se −1 < d < 1.
x(1) = [1 − d, 4, 1 − d]T , x(2) =d2− d + 1, 4, d2− d + 1T
4. Soluzione: La matrice `e invertibile ∀a 6= ±1, il metodo di Gauss-Seidel converge per −1 < a < 1.
x(1) =
−3
2, 2, −3 2
T
, x(2) =
−9 4, 2, −9
4
T
