Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica ed Informatica Tutor: Caterina Fenu

Esercitazione 8 (11 Dicembre 2017)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica ed Informatica Tutor: Caterina Fenu

1. Dire se il problema di Cauchy

(y⁰ = xy, x ∈ R, y(0) = 1

ammette una e una sola soluzione, e calcolare i primi due passi η₁ e η₂ della formula (η_i+1 = η_i+^h₃ f (x_i, η_i) + 2f (x_i+³₄h, η_i+³₄hf (x_i, η_i))

η₀ = y₀, utilizzando il passo h = 1.

2. Dire se il problema di Cauchy

(y⁰ = −2xy²

y(1) = 1, x ∈ [1, 5].

ammette una e una sola soluzione. Calcolare, inoltre, i primi due passi del seguente metodo alle differenze finite

(η_j+1 = η_j + hf (x_j+ ^h₂, η_j +^h₂f (x_j, η_j)) η₀ = y₀,

utilizzando il passo h = ¹₂.

3. Si classifichi il seguente schema alle differenze finite η_k+1 = η_k+h

3



f (x_k, η_k) + 1 2f



x_k+ 1

3h, η_k+ 1

3hf (x_k, η_k)



.

Inoltre, fissato h = ¹₂, si calcolino i primi due passi del metodo al seguente problema di Cauchy, dopo avere dimostrato che ammette una e una sola soluzione

(y⁰(x) = −4xy, x ∈ [0, 5], y(0) = −1.

4. Si classifichi il seguente schema alle differenze finite η_k+1 = η_k+h

4



f (x_k, η_k) + 3f



x_k+ 2

3h, η_k+2

3hf (x_k, η_k)



. Considerato poi il seguente problema di Cauchy

(y⁰(x) = 2x − y, x ∈ [0, 3], y(0) = 1,

si dica se ammette un’unica soluzione e si calcoli la soluzione approssimata nel punto x = 1 mediante il metodo alle differenze introdotto in precedenza, nel caso in cui h = ¹₂.

5. Dire se il problema di Cauchy

(y⁰− _x−2^2y

y(0) = 1, x ∈ [0, 5]

ammette una ed una sola soluzione. Calcolare, inoltre, i primi due passi del metodo alle differenze finite di Heun, con passo h = ¹₂.